大一高数题 不定积分 大一高数题不定积分

\u5927\u4e00\u9ad8\u6570\u95ee\u9898\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206

\u222bcos(\u221ax)dx
\u4ee4\u221ax=u,\u5219dx/2\u221ax=du,dx=2(\u221ax)du=2udu,
\u539f\u5f0f=2\u222bucosudu
=2\u222bud(sinu)
=2[usinu-\u222bsinudu]
=2(usinu+cosu)+C
=2[(\u221ax)sin(\u221ax)+cos(\u221ax)]+C
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\u222b\u221ax(x+1)^2dx

\u4ee4\u221ax=t, \u5219dx=2tdt\uff0c\u5e26\u5165
=\u222bt(t^2+1)^2*2tdt
=\u222b2t^6+4t^4+2t^2dt
=2/7t^7+4/5t^5+2/3t^3+c
\u53cd\u5e26\u56de
=2/7(\u221ax)^7+4/5(\u221ax)^5+2/3(\u221ax)^3+c
~~~~~~~~~~~~
\u222be^x/(1+e^x)^(1/2)dx
=\u222b2d[(1+e^x)^(1/2)]
=2(1+e^x)^(1/2)+c

\u5982\u56fe

设f(x)=e^x，
则f'(x)=e^x

显然，
f(x)在[0，x]上连续，
在(0，x)内可导，
应用拉格朗日中值定理，
存在ξ∈(0，x)，使得
[f(x)-f(0)]/(x-0)=f'(ξ)
即：(e^x-1)/x=e^ξ

∵0＜ξ＜x
∴1＜e^ξ＜e^x
∴1＜(e^x-1)/x＜e^x
即：x＜e^x-1＜x·e^x

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