1的平方+2的平方+3的平方……+18的平方，结果是多少。最简便的算法，要详解 1的平方+2的平方+3的平方+4的平方……+99的平方＝多少...
1\u7684\u5e73\u65b9+2\u7684\u5e73\u65b9+3\u7684\u5e73\u65b9+\u2026\u2026+99\u7684\u5e73\u65b9\uff0c\u6c42\u7b80\u4fbf\u7b97\u6cd5\u516c\u5f0f\uff1a
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
1²+2²+...+99²=99\u00d7(99+1)\u00d7(2\u00d799+1)/6=328350
\u5982\u679c\u4f7f\u7528\u7b97\u672f\u65b9\u6cd5\u53ef\u4ee5\u63a8\u5bfc\u51fa\u6765\uff1a
\u6211\u4eec\u77e5\u9053 (k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1
(1 + 1)^3 - 1^2 = 3*1^2 + 3*1 + 1
(2 + 1)^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
(3 + 1)^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.............
(n + 1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1
\u4ee5\u4e0a\u76f8\u52a0\u5f97\u5230\uff1a
(n + 1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n + 1)/2 + n ... \u6b64\u5904\u5f15\u7528\uff1a1 + 2 + 3 + .... + n = n(n + 1)/2
\u6574\u7406\u5316\u7b80\u5373\u53ef\u5f97\u5230\uff1a
Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
\u52191\u7684\u5e73\u65b9+2\u7684\u5e73\u65b9+3\u7684\u5e73\u65b9+4\u7684\u5e73\u65b9\u2026\u2026+99\u7684\u5e73\u65b9
=1/6*99*(99+1)*(99*2+1)
=1/6*99*100*199
=328350
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方)
证明方法
证法一
（归纳猜想法）： 1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1 2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5 3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6 则当N＝x＋1时， 1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2 ＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6 ＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6 ＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6 ＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6 也满足公式 4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。
证法二
（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1） ： (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1, n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 .............................. 3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1. 把这n个等式两端分别相加，得： (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n, 由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2, 代入上式得： n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n 整理后得： 1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)
N*(N+1)*(2N+1)/6
把18代换成N就行了。不用我再给你算出来了吧？
公式：1^2+2^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
所以，原式＝18*(18+1)*(2*18+1)/6=2109
1/6*18*(18+1)(2*18+1)
绛旓細1^2=1锛2^2=4锛3^2=9锛4^2=16 5^2=25锛6^2=36锛7^2=49锛8^2=64 9^2=81锛10^2=100 浣欎笅閮ㄥ垎瑙佷笅鍥撅細
绛旓細1鍒20鐨勫钩鏂瑰垎鍒负锛1鐨勫钩鏂涓1锛2鐨勫钩鏂涓4锛3鐨勫钩鏂涓9锛4鐨勫钩鏂逛负16锛5鐨勫钩鏂逛负25锛6鐨勫钩鏂逛负36锛7鐨勫钩鏂逛负49锛8鐨勫钩鏂逛负64锛9鐨勫钩鏂逛负81锛10鐨勫钩鏂逛负100锛11鐨勫钩鏂逛负121锛12鐨勫钩鏂逛负144锛13鐨勫钩鏂逛负169锛14鐨勫钩鏂逛负196锛15鐨勫钩鏂逛负225锛16鐨勫钩鏂逛负256锛17鐨勫钩鏂逛负289锛18鐨勫钩鏂逛负324...
绛旓細鍦ㄦ暟瀛 1 鍒 40 涓紝姣忎釜鏁板瓧瀵瑰簲鐨勫钩鏂规暟鍙互鍛堢幇鍑轰竴涓寰嬨傝寰嬪涓嬶細1 鐨勫钩鏂 = 1锛2 鐨勫钩鏂 = 4锛3 鐨勫钩鏂 = 9锛4 鐨勫钩鏂 = 16锛5 鐨勫钩鏂 = 25锛6 鐨勫钩鏂 = 36锛7 鐨勫钩鏂 = 49锛8 鐨勫钩鏂 = 64锛9 鐨勫钩鏂 = 81锛10 鐨勫钩鏂 = 100 瑙傚療涓婅堪骞虫柟鏁扮殑涓綅鏁帮紝鍙互鐪嬪嚭杩欎簺...
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绛旓細鈥+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 鍒╃敤绔嬫柟宸叕寮 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ... n^3-(n-1)^3=2*n...
绛旓細瑙ｇ瓟杩囩▼濡備笅锛氳S=1^2+2^2+...+n^2 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ...2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 鎶婁笂闈涓紡瀛愮浉鍔犲緱锛(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+...+n] +n 鎵浠= (1/3)*[(n+1...
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