1平方加2平方加3平方一直加到n平方等于多少 1平方加2平方加3平方一直加到n平方等于多少
\u6570\u5b66\uff0c\u4e00\u5e73\u65b9\u52a0\u4e8c\u5e73\u65b9\u4e00\u76f4\u52a0\u5230n\u5e73\u65b9\uff0c\u8bf7\u95ee\u5982\u4f55\u63a8\u51fa\u89c4\u5f8b\uff1fSn=1²+2²+....+n²\uff0c \u662f\u7528\u7acb\u65b9\u6765\u6c42\u548c\u7684\u3002
\u8bb0Tn=1+2+...+n=n(n+1)/2
\u7531\u7acb\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f\uff1a(n+1)³-n³=3n²+3n+1
\u4ee3\u5165n=1, 2, ...,n\u5f97\uff1a
2³-1³=3*1²+3*1+1
3³-2³=3*2²+3*2+1
...
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
\u4ee5\u4e0an\u4e2a\u5f0f\u5b50\u76f8\u52a0\u5f97\uff1a
(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n
\u5316\u7b80\u5373\u5f97\uff1aSn=n(n+1)(2n+1)/6
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u5e38\u89c1\u6570\u5217\u6c42\u548c\u7684\u65b9\u6cd5\uff1a
1\u3001\u516c\u5f0f\u6cd5\uff1a
\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u6c42\u548c\u516c\u5f0f:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u6c42\u548c\u516c\u5f0f\uff1a
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an\u00d7q)/(1-q) (q\u22601)
2\u3001\u9519\u4f4d\u76f8\u51cf\u6cd5
\u9002\u7528\u9898\u578b\uff1a\u9002\u7528\u4e8e\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u4e3a\u7b49\u5dee\u7684\u4e00\u6b21\u51fd\u6570\u4e58\u4ee5\u7b49\u6bd4\u7684\u6570\u5217\u5f62\u5f0f { an }\u3001{ bn }\u5206\u522b\u662f\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u548c\u7b49\u6bd4\u6570\u5217.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
\u4f8b\u5982\uff1aan=a1+(n-1)d bn=a1\u00b7q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an\u00b7b1\u00b7q^n+d\u00b7b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=\u4e0a\u8ff0\u5f0f\u5b50/(1-q)
3\u3001\u88c2\u9879\u6cd5
\u9002\u7528\u4e8e\u5206\u5f0f\u5f62\u5f0f\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f,\u628a\u4e00\u9879\u62c6\u6210\u4e24\u4e2a\u6216\u591a\u4e2a\u7684\u5dee\u7684\u5f62\u5f0f,\u5373an=f(n+1)\uff0df(n),\u7136\u540e\u7d2f\u52a0\u65f6\u62b5\u6d88\u4e2d\u95f4\u7684\u8bb8\u591a\u9879\u3002
1^2+2^2+3^2+..+n^2=\u5229\u7528\u7acb\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
\u5404\u7b49\u5f0f\u5168\u76f8\u52a0
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
证明过程：
根据立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，则有：
a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
.
·
·
a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。
扩展资料：
立方差公式与立方和公式统称为立方公式，两者基本描述如下:
1、立方和公式，即两数立方和等于这两数的和与这两数平方和与这两数积的差的积。也可以说两数立方和等于这两数积与这两数差的不完全平方的积。
2、立方差公式，即两数立方差等于这两数差与这两数平方和与这两数积的和的积。也可以说，两数立方差等于两数差与这两数和的不完全平方的积 。
参考资料：百度百科_立方差公式
1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
证明过程：
根据立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，则有：
a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1.··
a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。
扩展资料：
立方差公式与立方和公式统称为立方公式，两者基本描述如下:
1、立方和公式，即两数立方和等于这两数的和与这两数平方和与这两数积的差的积。也可以说两数立方和等于这两数积与这两数差的不完全平方的积。
2、立方差公式，即两数立方差等于这两数差与这两数平方和与这两数积的和的积。也可以说，两数立方差等于两数差与这两数和的不完全平方的积 。
1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6
证明如下：
（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
.
a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.
我来一个不同的：Sn=1²+2²+3²+……+n²
Sn是一个递增函数，对Sn求导=2·1+2·2+.....+2·n=n（n-1），是一个二次函数型，所以大胆猜测Sn是一个三次函数型，于是假设Sn=an³+bn²+cn+d，把S1=1，S2=5，S3=14，S4=30代入Sn得出四个方程式，求出Sn=1/3n³+1/2n²+1/6n，把S5代入验证是正确的！但毕竟是猜的，所以要证明，证明方法如下：
当n=1时此等式成立，n=2时也成立。
假设当n=k时（n>1）也成立，即
Sk=1/3k³+1/2k²+1/6k，只需证明n=k+1时也成立即可，又Sk+1-Sk=（k+1）²，是成立的所以原等式成立。
1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
1^2+2^2+3^2+..+n^2=利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
拓展资料：
推导公式 n－﹙n－1﹚＝3n－3n＋1，﹙n－1﹚－﹙n－2﹚＝3﹙n－1﹚－3﹙n－1﹚＋1 写出1到n－1的式子，将这n－1个式子叠加得 n－1＝3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2﹚]－3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2]＋n－1 由此不难得出1＋2＋……﹙n－1﹚＝﹙n－1﹚n﹙2n－1﹚／6。
绛旓細1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
绛旓細n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+...
绛旓細瑙ｏ細1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/6 n(n+1)(2n+1)璇佹槑杩囩▼鐣 甯﹀叆a=1999 鍙緱鍘熷紡=1/6*(1999+1)(3998+1)=1/6*799800 =1333000
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绛旓細=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)鐢变簬n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 鎵浠1*2+2*3+...+n(n+1)=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+...+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 [鍓嶅悗娑堥」]=[n(n+1)(n+2)]/3 鎵浠1^2+2^2+3^2+...+n^2 =...
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绛旓細n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 鍚勭瓑寮忓叏鐩稿姞 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+.+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/鍒╃敤绔嬫柟宸叕寮 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=...
绛旓細1²+2²+3²+4²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 鍙敤鏁板褰掔撼娉曡瘉鏄庛
