复数知识点
复数知识点如下：
1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=-1.
⑵复数及其相关概念：复数—形如a + bi的数（其中a，b∈R）；实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；虚数—当b≠0时的复数a + bi；纯虚数—当a = 0且b≠0时的复数a + bi，即bi.复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）.复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义：a+bi=c+di<=>a=c且b=d(其中,a,b,c,d∈R)特别的a+bi=0<=>a=b=0.
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：若z₁,z₂为复数，则1°若z₁+z₂>0，则z₁>-z₂.（×）[z₁,z₂为复数，而不是实数] 2°若z₁<z₂，则z₁-z₂<0.（√）若a,b,c∈C，则(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0是a=b=c的必要不充分条件.（当(a-b)²=i²，(b-c)²=1,(c-a)²=0时，上式成立）
2. ⑴复平面内的两点间距离公式：d=|z₁-z₂|.其中z₁,z₂是复平面内的两点z₁和z₂所对应的复数，d表示z₁和z₂间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：|z-z0|=r(r>0).
⑵曲线方程的复数形式：①|z-z0|=r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②|z-z₁|=|z-z₂|表示线段z₁z₂的垂直平分线的方程.③|z-z₁|+|z-z₂|=2a(a>0且2a>|z₁z₂|表示以Z₁,Z₂为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示线段Z₁,Z₂）.
④||z-z₁|-|z-z₂||=2a(0<2a<|z₁z₂|,表示以Z₁,Z₂为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示两条射线）.
⑶绝对值不等式：设z₁,z₂是不等于零的复数，则||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,λ>0).||z₁|-|z₂||≤|z₁-z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ>0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0).
3. 共轭复数的性质：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]
4.复数的乘方：zⁿ=z·z·z...z}n(n∈N_),对任何z，z₁,z₂∈C及m,n∈N_注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i²=-1,i的4次方=1若由就会得到-1=1的错误结论.在实数集成立的|x|=x₂. 当x为虚数时，|x|≠x²，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.
5.复数z是实数及纯虚数的充要条件：z∈R<=>z=z¯.②若z≠0，z是纯虚数<=>z+z¯=0.模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：|z|=|z¯|.
6.复数的三角形式：z=r(cosθ+isinθ).辐角主值：θ适合于0≤θ＜2π的值，记作argz.注：z为零时，argz可取[0,2π]内任意值.辐角是多值的，都相差2π的整数倍.设a∈R_则arga=0,arg(-a)=π,argai=π/2,arg(-ai)=3/2π.
复数的代数形式与三角形式的互化：a+bi=r(cosθ+isinθ)，r=√(²+b²)，cosθ=a/r,sinθ=b/r.几类三角式的标准形式：r(cosθ-isinθ)=r[cos(-θ)+isin(-θ)]-r(cosθ+isinθ)=r[cos(π+θ)+isin(π+θ)]r(-cosθ+isinθ)=r[cos(π-θ)+isin(π-θ)]r(sinθ+icosθ)=r[cos(π/2-θ)+isin(π/2-θ)]
7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)时，应注意下述问题：
①当a,b,c∈R时，若△＞0，则有二不等实数根x₁,₂=(-b±√△)/2a；若△=0，则有二相等实数根x₁,₂=-b/2a；若△＜0，则有二相等复数根x₁,₂=(-b±√|△|i)/2a（x₁,₂为共轭复数）.
②当a,b,c不全为实数时，不能用△方程根的情况.不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.
8. 复数的三角形式运算：r₁(cosθ₁ +isinθ₂)·r₂(cosθ₂+isinθ₂)=r₁r₂[cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂)]
[r₁(cosθ₁+isinθ₂)]/[r₂(cosθ₂+isinθ₂)]=r₁/r₂[cos(θ₁-θ₂)+isin(θ₁-θ₂)]
棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]ⁿ=rⁿ(cosnθ+isinnθ)
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