简述变量间的相关分析有哪些方法 在相关分析中要求2个变量都是什么
\u53cc\u53d8\u91cf\u76f8\u5173\u5206\u6790\u4e00\u822c\u7528\u4ec0\u4e48\u65b9\u6cd5\u53cc\u53d8\u91cf\u5206\u6790\u76ee\u6807\u662f\u786e\u5b9a\u4e24\u4e2a\u53d8\u91cf\u4e4b\u95f4\u7684\u76f8\u5173\u6027\uff0c\u6d4b\u91cf\u5b83\u4eec\u4e4b\u95f4\u7684\u9884\u6d4b\u6216\u89e3\u91ca\u7684\u80fd\u529b\u3002\u53cc\u53d8\u91cf\u7edf\u8ba1\u5206\u6790\u6280\u672f\u5305\u62ec\uff1a\u76f8\u5173\u5206\u6790\u548c\u56de\u5f52\u5206\u6790\u3002
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最小二乘法的优点是:有效利用了全部测量数据,使误差平方和达到最小,防止了某一极端误差对决定参数估计值取得支配性地位.在计算上只需对参数求偏导数求解线性方程组即可. 5.回归直线与回归方程当两个变量之间具有线性相关关系时,散点图中的点大致分布在一条直线附近,这条直线叫做回归直线,这条直线的方程叫做回归方程.数学模型:假设因变量y主要受自变量x的影响,它们之间的数量关系为,其中x是非随机变量,是未知的常数.是随机误差项,它反映了未列入方程的其它各种因素对y的影响.从而y是随机变量,它可以用由x的值完全确定的部分和随机误差部分来解释.当由观测数据估计出和b时,得到直线回归方程为.将观测数据代入中,得,或,其中为n次观测的误差.求的估计值,使“从整体上看各点与直线的距离最小”.应用最小二乘思想,就是求使误差平方和达到最小的的值.可以用配方法或求偏导数的方针求出的估计值. 6.相关系数—变量间线性关系密切程度的度量相关系数是用来衡量两个变量之间线性关系密切程度(强与弱)的一个数量指标.只有了解构造相关系数的统计思想,才能对相关系数有较深刻的理解.下面对相关统计量的意义及构造相关系数的统计思想做一简述.设回归方程为,与对应的回归值为.称为偏差,称为偏差方和.的值越小,反映各偏差普遍较小,数据点整体上比较接近回归直线,说明变量间线性关系比较密切.但是一个绝对量,需要进行调整.为方便引入以下记号:,,,.衡量数据的波动大小,衡量数据的波动大小.,反映主要由的变化引起的间的波动,反映除线性关系之外的各种随机因素引起的间的波动.可以证明:.令,显然,而且越接近1,就越接近0,说明x和y之间的线性关系越密切.当时,x和y正相关,当时,x和y负相关.但由于只与有关,所以不能反映相关的方向.因此定义相关系数如下: ,一般越接近1,x和y之间的线性关系越密切.需要注意的两点是:(1)相关系数只衡量变量间线性关系的密切程度,即使变量间具有确定的非线性函数关系,也可能非常接近0.(2)当n很小时,即使非常接近1,也不表明变量间的线性关系强.例如,无论x和y之间是何种关系,当n=2时,总有.二、教学建议1.“相关关系”的有关概念及定性描述相关关系的概念是描述性的,不必追求形式化上的严格.建议采用案例教学法.对比函数关系,重点突出相关关系的两个本质特征:关联性和不确定性.关联性是指当一个变量变化时,伴随另一个变量有一定的变化趋势;不确定性是指当一个变量取定值时,与之相关的变量的取值仍具有随机性.因为有关联性,才有研究的必要性.因为其不确定性,从少量的变量观测值,很难估计误差的大小,因此必须对变量作大量的观测.但每个观测值都有一定误差,为了消除误差的影响,揭示变量间的本质联系,就必须要用统计分析方法.判断两个变量间是否具有相关关系,一是凭经验及学科专业知识,二是借助散点图.下面是一些可供选择的例子,教学时可先逐一分析其关联性和不确定性,然后结合散点图,进一步判断相关关系的类型和方向.实例变量X和Y关联性不确定性相关类型例1家庭收入X,消费支出Y收入高的家庭消费支出相应也较高.收入相同的家庭,消费支出未必相同.正线性相关例2人的身高X,脚的长度Y一般身材较高者,脚的尺寸也较大同样身高的人,脚的尺寸不一定相同.正线性相关例3数学成绩X,英语成绩Y数学成绩高者,一般英语成绩也较高,反之也对.存在数学成绩高(低)而英语成绩低(高)的学生.正线性相关(虚假相关)例4气温X,热饮销量Y随着气温的升高,热饮的销量相应会减少.温度相同的日期内,热饮的销量也未必相同.负线性相关例5(非线性相关和不相关的例子)对0到18岁之间的未成年人来说,年龄和身高之间具有非线性的相关关系.对成年人来说,年龄和身高之间没有相关关系(散点图略).例6 吸烟和患肺部疾病之间不具有因果关系,但具有相关关系.我们引入两值变量X和Y: 如果调查了700人,其中400个不吸烟者中有40人患肺部疾病(10%),300个吸烟者中有60个人患肺部疾病(20%),说明吸烟对患肺部疾病有一定的影响.但不吸烟者也可能患肺部疾病,吸烟者也可能不患肺部疾病,因此X和Y之间具有相关关系.例7 有人曾经观察过某一国家历年的国内生产总值与精神病患者的人数的关系,发现两者之间存在较强的正相关.实际上国内生产总值与精神病患者的人数之间没有内在联系,是一种典型的虚假相关.这是因为它们都和人口总量有内在的相关关系.说明:(1)适当例举非线性相关和不相关的例子,有助于对相关关系的全面了解,但我们研究的重点是线性相关关系,而且正相关或负相关只对线性相关有意义.(2)讨论“相关关系”时,对中学生来说,不要求说明哪个变量是随机变量,哪个变量是普通变量.(3)根据学生实际情况,可以从散点图判断线性关系的强弱,进行适当拓展.2.相关关系的定量描述——求回归直线方程本小节的重点是用最小二乘法求回归直线方程.采用探究式教学方式.在给出回归直线和回归直线方程的定义后,提出如下问题:如何求回归直线方程,要求这条直线在整体上与数据点最接近?许多统计思想和方法都比较直观,学生可能提出各种不同的方法,包括教材上列举的方法.为了防止漫无目的,对求回归直线的方法应提出一些基本要求:尽可能利用全部数据,体现整体偏差最小,便于数学计算,结果确定等.离这些要求越来越远的方法,不必多加考虑.通过对有些方法逐步修正,最后引导到使用最小二乘法求回归直线方程.方法1:逐渐移动直线,测量各点到直线的距离,使距离和最小.该方法体现了整体偏差最小的思想,缺点是难以实现,而且测量的方法很难得到确定的结果.方法2:选择两点画直线,使直线两侧的点的个数基本相同.这种方法没有利用全部数据信息,其结果会因人而异.方法3:用多条直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距.这种方法既没有利用全部数据信息,也没有体现整体误差最小的思想,结果也不确定.设回归方程为,,是第i个观测值的偏差,是第i个观测点到回归直线的距离.设是回归直线的倾斜角,则.方法4:距离和最小.求a,b使达到最小.这是方法1的数学严格化.方法5:总的偏差和最小.求a,b使达到最小.方法4和方法5是等价的.方法5利用了全部数据,体现整体偏差最小的思想,结果是唯一确定的.唯一的缺点是不便数学计算.方法6偏差平方和最小.求a,b使达到最小.该方法克服了方法5的缺点.这种方法称为最小二乘法.说明:(1)我们的目的是通过探究找到一个求回归方程的“较优”的方法,这里所说的“较优”也是基于直观的思想,在学生现有的知识水平下,无法严格证明.如果对用上面的方法得到直线的“优劣”进行评判,我认为是理解上的偏差,况且也做不到.(2)应用最小二乘法求回归方程是一个纯数学的问题,用配方法显得繁琐,用求偏导数的方法超出了学生的能力要求.对此不做要求,直接给出a,b的公式,不影响对统计方法的理解.(3)也可以按下面的过程展开教学.①提供实际问题情境,从测量数据出发,采用偏差平方和最小的思想(最小二乘思想)求参数的估计值.②通过类比用最小二乘法求回归直线方程.3.回归方程的计算回归方程中a,b的计算公式比较复杂,要求利用计算器或计算机进行计算.为了熟悉公式的构成及相关量的计算过程,建议使用Excel软件中的公式进行计算.以年龄和脂肪含量的关系为例.如下表所示:在相应的单元格内输入数据,第15行为合计.先计算,,在单元格C1,D1,E1中输入相应的公式.通过公式复制然后求和得到:(C15)(D15)(E15),相关系数,,回归方程为.作为拓展还可以计算与对应的回归值,与实际观测值进行比较,了解偏差的大小.由相关系数的大小判断线性关系的强弱. ABCDEFG1239.5628.50445.24315.4212.81-3.3122717.8443.94199.3289.4915.112.6933921.282.2654.9636.7222.03-0.8344125.949.989.621.8523.192.7154527.59.42-0.740.0625.492.0164926.30.86-0.890.9227.80-1.5075028.23.721.810.8828.37-0.1785329.624.3011.545.4830.10-0.5095430.235.1617.438.6430.68-0.48105631.462.8832.8317.1431.83-0.43115730.879.7431.6112.5332.41-1.61125833.598.6061.9638.9432.990.51136035.2142.3294.7263.0434.141.06146134.6167.1894.9153.8834.72-0.1215673381.71828.931054.34644.99———— 4.回归方程的意义及应用回归直线方程作为变量x和y之间线性关系的代表,它近似描述了x和y之间的数量关系.利用回归方程,当已知x的值时,可以推断y的取值.回归方程中b的意义为:当自变量x改变一个单位时,因变量y的平均改变量.为当时y的估计值,也可以理解为当时y的可能取值的平均值.在教学中下面的实例可供选择.例1主要解释系数b和回归值的意义;例2说明回归方程用于预测时的作用;例3介绍“回归”一词的由来的背景知识,同时也说明了回归方程在揭示了变量间的依存规律时的作用.例1 年龄和脂肪含量之间的回归方程为.(1)解释b(0.5765)的意义;(2)当x=37时,计算相应的值并解释其意义.解 (1)回归直线方程中b是直线的斜率,b>0表示随年龄的增长,人体脂肪含量呈现增长的趋势,b=0.5765说明年龄每增加1岁,身体脂肪含量平均增加0.5765%.(2)当x=37时,%,20.9%是37岁的人脂肪含量的一个估计值,可以理解为众多37岁人脂肪含量的平均值.说明:年龄的取值范围为23—61岁,一般在这个年龄范围内估计脂肪含量时误差相对较小,如果估计80岁人的脂肪含量,误差会很大,结果不可靠.例2 某博物馆发现文物被盗,公安刑侦人员经过分析,推测案犯的身高在175㎝左右.刑侦人员是如何推断的呢?原来在现场发现了案犯的脚印,测量脚印的长度为25.5㎝,已知成年人的脚印长x和身高y之间存在线性相关关系,回归方程为.因此可以从脚印的长度,推断其大致身高,为破案提供重要线索.例3 英国遗传学家高尔顿(Francis Galton,1822-1911年)在子女与父母相像程度遗传学研究方面,取得了重要进展.高尔顿的学生卡尔·皮尔逊(Karl Pearson,1857-1936年)在继续这一遗传学研究的过程中,测量了1078个父亲及其成年儿子的身高.用x表示父亲的身高,y表示儿子的身高(单位为英寸).求得回归方程为(如图所示),发现了一个重要的规律.主要计算结果及描述见下表: 计算结果关系描述 子代的平均身高大于父代的平均身高,大约高1英寸.父亲的身高与儿子的身高线性正相关,相关关系较弱.一般高个子的父亲儿子身材也较高,而矮个子父亲的儿子身材也较矮.时,时,较矮父亲的儿子们的平均身高比父亲要高.较高父亲的儿子们的平均身高比父亲要矮.有回归到一般高度的趋势.高尔顿和皮尔逊把这种现象称为“回归效应”,现在人们把由一个变量的变化去推断另一个变量变化的方法统称为回归分析.
《变量间的相关关系》的主要内容为采用定性和定量相结合的方法研究变量之间的相关关系,主要研究线性相关关系.主要概念有“相关关系”、“散点图”、“回归直线和回归直线方程”、“相关系数”等。
变量之间除了函数关系外,还有相关关系。
例:
(1)商品销售收入与广告支出经费之间的关系
(2)粮食产量与施肥量之间的关系
(3)人体内脂肪含量与年龄之间的关系 不同点:函数关系是一种确定的关系;而 相关关系是一种非确定关系。
分类
按相关的形式分为线性相关和非线性相关
1、一种现象的一个数值和另一现象相应的数值在指教坐标系中确定为一个点,称为线性相关。
2、按影响因素的多少分为单相关和复相关
3、如果研究的是一个结果标志同某一因素标志相关,就称单相关。
4、如果分析若干因素标志对结果标志的影响,称为复相关或多元相关。
以上内容参考:百度百科-相关分析
3变量间的相关关系1
1、变量之间除了函数关系外,还有相关关系。 例:(1)商品销售收入与广告支出经费之间的关系 (2)粮食产量与施肥量之间的关系 (3)人体内脂肪含量与年龄之间的关系 不同点:函数关系是一种确定的关系;而 相关关系是一种非确定关系. 相关关系与函数关系的异同点: 相同点:均是指两个变量的
绛旓細鐩稿叧鎬у垎鏋愮殑涓昏鏂规硶鍖呮嫭鐨皵閫婄浉鍏崇郴鏁般佹柉鐨皵鏇肩瓑绾х浉鍏炽佽偗寰峰皵绉╃浉鍏冲拰鍋忕浉鍏崇郴鏁銆1. 鐨皵閫婄浉鍏崇郴鏁帮細杩欐槸鏈甯哥敤鐨勭浉鍏虫у害閲忔柟娉曪紝閫傜敤浜庤繛缁彉閲忎笖鏁版嵁鍛堟鎬佸垎甯冪殑鎯呭喌銆傚畠璁$畻鐨勬槸涓や釜鍙橀噺涔嬮棿鐨勭嚎鎬х浉鍏崇▼搴︼紝鍏跺艰寖鍥村湪-1鍒1涔嬮棿锛0琛ㄧず鏃犵浉鍏筹紝姝e艰〃绀烘鐩稿叧锛岃礋鍊艰〃绀鸿礋鐩稿叧锛岀粷瀵瑰艰秺澶...
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