怎样证明高中数学组合问题Cn1+2Cn2+3Cn3+……+nCnn=n/2(Cn0+Cn1+……+Cnn)？ 作业题 证明：Cn1+2Cn2+3Cn3+。。。+n C...
\u6c42\u8bc1Cn1-2Cn2+3Cn3+\u2026\u2026+(-1)nCnn=0 \u600e\u4e48\u8bc1\u660e\uff1f\u8bbe S=Cn1-2Cn2+3Cn3+\u2026\u2026+(n-1)Cn(n-1)+(-1)nCnn\u800c -0Cn0=0\u5219 S= -0Cn0+Cn1-2Cn2+3Cn3+\u2026\u2026+(n-1)Cn(n-1)+(-1)nCnn S= -nCnn+(n-1)Cn(n-1)-(n-2)Cn(n-2)+\u2026\u2026+Cn1-0Cn0\u4e24\u5f0f\u76f8\u52a0\u5f97\uff1a2S= -nCn0+nCn1-nCn2+nCn3+\u2026\u2026+(n-1)Cn(n-1)+(-1)nCnn = -n[Cn0-Cn1+Cn2+Cn3+\u2026\u2026-Cn(n-1)+Cnn] = -n*[(1-1)^n] =0 \u6545 S=0 \u6240\u4ee5Cn1-2Cn2+3Cn3+\u2026\u2026+(-1)nCnn=0 \u5f97\u8bc1.
\u8981\u77e5\u9053:
kCnk=k*n!/[k!(n-k)!]=n(n-1)...(n-k+1)/(k-1)!=n C(n-1)(k-1)
k Cnk=n C(n-1)(k-1)
\u5219:
Cn1+2Cn2+3Cn3+\u3002\u3002\u3002+n Cnn
=1*Cn1+2Cn2+3Cn3+\u3002\u3002\u3002+n Cnn
=nC(n-1)0+nC(n-1)1+...+nC(n-1)(n-1)
=n[C(n-1)0+C(n-1)1+...+C(n-1)(n-1)]
=n*2^(n-1)
如图，该式可以证明
kc(n,k)=k*n!/[k!(n-k)!]=n!/[(k-1)!(n-1-k+1)!] = n*(n-1)!/[(k-1)!(n-1-k+1)!] = nc(n-1,k-1).
c(n,1)+2c(n,2)+3c(n,3)+...+nc(n,n)=n[c(n-1,0)+c(n-1,1)+c(n-1,2)+...+c(n-1,n-1)]
(1+1)^(n-1) = c(n-1,0)+c(n-1,1)+c(n-1,2)+...+c(n-1,n-1) = 2^(n-1),
(1+1)^n = c(n,0) + c(n,1)+...+c(n,n) = 2^n =
= 2*2^(n-1)
c(n,1)+2c(n,2)+3c(n,3)+...+nc(n,n)=n[c(n-1,0)+c(n-1,1)+c(n-1,2)+...+c(n-1,n-1)]
=n*2^(n-1)
=(n/2)2^n
=(n/2)[c(n,0) + c(n,1)+...+c(n,n)]
绛旓細鍊掑簭鐩稿姞娉曪紝 鍜屽鏁板ソ璞℃病鍏崇郴鍚э紒 绗竴涓猄鐨Cn1瀵瑰簲绗簩涓猄鐨(n-1)Cnn-1鍊掑簭杩囧悗閿欎竴涓綅鐩稿姞锛屽氨鍙互浜嗐備护S=Cn1 +2Cn2+鈥︹+nCnn鍒橲涔熷彲nCnn+锛坣-1锛塁nn-1+鈥︹+2Cn2+Cn1 +锛堝掑簭锛2S=(n+1)(Cn0+Cn1+...+Cnn)S=(1/2)*n*2^n=n*2^(n-1) (S+S=2S, S...
绛旓細1 鍖栨垚闃朵箻褰㈠紡灏卞嚭鏉ヤ簡 2 锛1锛2鐨刵娆℃柟 璇佹槑锛氾紙1+1锛夌殑n娆℃柟=Cn0+Cn1+Cn2+鈥︹+Cn^n-1+Cn^n 锛2锛夎兘锛屼竴涓泦鍚堟湁N涓厓绱狅紝褰撳瓙闆嗕负0涓厓绱犳椂鏄疌n0锛屼竴涓厓绱犳椂鏄疌n1鈥︹涓厓绱犳椂鏄疌n^n 鍔犺捣鏉ュ氨鏄疌n0+Cn1+Cn2+鈥︹+Cn^n-1+Cn^n=2鐨刵娆℃柟 ...
绛旓細Cn0+Cn1+Cn2+...+Cn(n-1)+Cnn鐨勫间负2鐨刵娆℃柟 璇佹槑:鎴戞槸鐢ㄤ簩椤瑰紡瀹氱悊璇佹槑鐨 璁(x+1)^n 灏嗗叾鏍规嵁浜岄」寮忓畾鐞嗗睍寮 鐨(x+1)^n=Cn0*x^n+Cn1*x^(n-1)+Cn2*x^(n-2)...+Cn(n-1)*x^(n-1)+Cnn*x^0 杩欐槸鍙浠=1鍒欏彲寰 2^n=Cn0+Cn1+Cn2+...+Cn(n-1)+Cnn 濡傛灉娌＄湅鎳...
绛旓細Ci/n:浠巒涓厓绱犻噷姣忔鍙栧嚭i涓殑缁勫悎鏁般侰0/n=1锛汣1/n锛汣i/n=n!/[i!锛坣-i)!]锛汣n/n=1銆備粠n涓厓绱犻噷姣忔鍙栧嚭i涓殑鎺掑垪鏁般侫0/n=1锛汚1/n=n锛汚i/n=i!/(n-i) 锛丄n/n=n!姹傞噰绾
绛旓細鍏舵璇佹槑浣犵殑鏃犵煡銆傛寜浣犵殑璇存硶锛屽厛鍙朅n=N锛岄偅鏄剧劧鍏跺畠鐨凙i閮藉彧鑳藉彇0锛屾棦鐒跺姝わ紝缁撴灉鏄敮涓鐨勶紝涔熷氨璋堜笉涓婁粈涔Cn1浜嗐傚線涓嬬殑缁撹鏇存槸瓒婃潵瓒婅繙銆傛渶鍚庯紝灏辩畻寰楀埌鐨勭粨鏋滄槸浠涔圕n2+Cn3+Cn4鈥︹︼紝鏍规嵁鐗涢】浜岄」寮忓畾鐞嗭紝涔熷彲鍖栨垚涓涓潪甯哥畝鍗曠殑鎸囨暟寮忎笌甯告暟鐨勫樊銆傜涓夛紝璇蜂綘鍥炵瓟涔嬪墠鍏堢湅鐪嬫彁闂呯殑闂锛...
绛旓細1/Cnm=m!(n-m)!/n!=(n 1)鈭玔0,1]x^m(1-x)^(n-m)dx n,m鏄暣鏁帮紝涓婂紡鍒╃敤鍒嗛儴绉垎閫掓帹鍏崇郴鍙互璇佹槑.鐒跺悗浣跨敤绛夋瘮鏁板垪姹傚拰鍏紡,灏唌鐢1姹傚拰鑷硁鍗冲彲.
绛旓細缁勫悎鐨勬柟娉璇佹槑锛氳鏈塶涓皬鐞冩斁鍒颁袱涓笉鍚岀殑鐩掑瓙涓紝鐩掑瓙鍙互涓虹┖銆傝嫢瀵瑰皬鐞冭繘琛岃璁猴紝姣忎釜灏忕悆鏈変袱涓夋嫨锛屽叡鏈2^n绉嶆斁娉曘傝嫢鐢ㄥ垎绫诲師鐞嗭紝涓鍙风洅瀛愪腑娌℃湁灏忕悆鐨勬斁娉曟湁cn0绉嶏紝鏈変竴涓皬鐞冪殑鏀炬硶鏈cn1绉嶏紝鏈変袱涓皬鐞冪殑鏀炬硶鏈塩n2绉嶏紝鏈塶涓皬鐞冪殑鏀炬硶鏈塩nn绉嶏紝鍏辨湁鏀炬硶cn0+cn1+cn2+鈥+cnn绉嶆樉鐒...
绛旓細锛3x2)/(2x1) x 5/1 + (3x2x1)/(3x2x1)= 3x5+1 =16 Cnm = Anm / Amm Anm = n(n-1) (n-2)... (n-m+1)鍡ぇ鑷村氨鏄繖鏍蜂簡鍚 Cnm = Cn(m-1) 鍍忎笂闈㈢殑C32 灏卞彲浠ュ寲涓篊31鏉ョ洿鎺ョ畻 Cn1 = n 妤间富鍔犳补鍝 ^ - ^ ...
绛旓細Pnm=n脳(n-1)鈥︹(n-m+1)锛汸nm=n!/(n-m)!(娉細锛佹槸闃朵箻绗﹀彿)锛汸nn(涓や釜n鍒嗗埆涓轰笂鏍囧拰涓嬫爣)=n!锛0!=1锛汸n1(n涓轰笅鏍1涓轰笂鏍)=n銆缁勫悎(Cnm(n涓轰笅鏍囷紝m涓轰笂鏍))锛孋nm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!锛汣nn(涓や釜n鍒嗗埆涓轰笂鏍囧拰涓嬫爣)=1锛Cn1(n涓轰笅鏍1涓轰笂鏍)=n锛汣nm=Cnn-m銆
