有关四面体的性质 正四面体的性质有哪些？
\u56db\u9762\u4f53\u6709\u4ec0\u4e48\u6027\u8d28\u5b9a\u7406\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28\uff1a\u8bbe\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3aa\uff0c\u5219\u8fd9\u4e2a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684
(1)\u5168\u9762\u79ef S\u5168= 32a\uff1b (2)\u4f53\u79ef V=
3
212
a
\uff1b
(3)\u5bf9\u68f1\u4e2d\u70b9\u8fde\u7ebf\u6bb5\u7684\u957f d=
22
a
\uff1b(\u6b64\u7ebf\u6bb5\u4e3a\u5bf9\u68f1\u7684\u8ddd\u79bb\uff0c\u82e5\u4e00\u4e2a\u7403
\u4e0e\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u76846\u6761\u68f1\u90fd\u76f8\u5207\uff0c\u5219\u6b64\u7ebf\u6bb5\u5c31\u662f\u8be5\u7403\u7684\u76f4\u5f84\u3002) (4)\u76f8\u90bb\u4e24\u9762\u6240\u6210\u7684\u4e8c\u9762\u89d2 =1
arccos3
(5)\u5bf9\u68f1\u4e92\u76f8\u5782\u76f4\u3002
(6)\u4fa7\u68f1\u4e0e\u5e95\u9762\u6240\u6210\u7684\u89d2\u4e3a=1
arccos3
(7)\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84 R=
64
a
\uff1b
(8)\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84 r=
612
a
.
(9)\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5185\u4efb\u610f\u4e00\u70b9\u5230\u56db\u4e2a\u9762\u7684\u8ddd\u79bb\u4e4b\u548c\u4e3a\u5b9a\u503c(\u7b49\u4e8e\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u9ad8). \u76f4\u89d2\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28
\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28
\u5982\u679c\u4ece\u9762\u7684\u6570\u76ee\u4e0a\u6765\u8bf4\uff0c\u56db\u9762\u4f53\u662f\u6700\u7b80\u5355\u7684\u591a\u9762\u4f53\u3002
\u4e00\uff0e\u56db\u9762\u4f53\u6027\u8d28
1\uff0e\u56db\u9762\u4f53\u7684\u5c04\u5f71\u5b9a\u7406\uff1a\u5982\u679c\u8bbe\u56db\u9762\u4f53ABCD\u7684\u9876\u70b9A\u5728\u5e73\u9762BCD\u4e0a\u7684\u5c04\u5f71\u4e3aO\uff0c\u25b3ABC\u7684\u9762\u79ef\u4e3aS1\uff0c\u25b3ADC\u7684\u9762\u79ef\u4e3aS2\uff0c\u25b3BCD\u7684\u9762\u79ef\u4e3aS3\uff0c\u25b3ABD\u7684\u9762\u79ef\u4e3aS4\uff0c\u4e8c\u9762\u89d2A-BC-D\u4e3a\u03b81-3\uff0c\u4e8c\u9762\u89d2A-DC-B
\u4e3a\u03b82-3\uff0c\u4e8c\u9762\u89d2
A-BD-C\u4e3a\u03b83-4\uff0c\u4e8c\u9762\u89d2C-AB-D\u4e3a\u03b81-4\uff0c\u4e8c\u9762\u89d2C-AD-B\u4e3a\u03b8
2-4\uff0c\u4e8c\u9762\u89d2B-AC-D\u4e3a
\u03b8
1-2\uff0c\u5219
S1 = S2cos\u03b81-2 + S3cos\u03b81-3 + S4cos\u03b81-4 S2 = S1cos\u03b81-2 + S3cos\u03b82-3 + S4cos\u03b82-4 S3 = S1cos\u03b81-3 + S2cos\u03b82-3 + S4cos\u03b83-4 S4 = S1cos\u03b8
1-4 + S2cos\u03b8
2-4 + S3cos\u03b8
3-4
2\uff0e\u6027\u8d282(\u7c7b\u4f3c\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406)
S12
= S22 + S32 +S42 - 2S2S3 cos\u03b82-3 - 2S2S4 cos\u03b82-4 - 2S3S4 cos\u03b83-4 S22 = S12 + S32 +S42 - 2S1S3 cos\u03b81-3 - 2S1S4 cos\u03b81-4 - 2S3S4 cos\u03b83-4 S32 = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cos\u03b81-2 - 2S1S4 cos\u03b81-4 - 2S2S4 cos\u03b82-4 S42 = S12 + S22 +S32 - 2S1S2 cos\u03b81-2 - 2S1S3 cos\u03b81-3 - 2S2S3 cos\u03b82-3
\u7279\u522b\u5730\uff0c\u5f53cos\u03b8
1-2 = cos\u03b81-4 = cos\u03b82-4 = 0\uff0c\u5373\u4e8c\u9762\u89d2C-AB-D\u3001 C-AD-B\u3001B-AC-D\u5747\u4e3a\u76f4\u4e8c
\u9762\u89d2\uff08\u4e5f\u5c31\u662fAB\u3001AC\u3001BC\u4e24\u4e24\u5782\u76f4\uff09\u65f6\uff0c\u6709S32 = S12 + S22 +S42\uff0c
\u8bc1\u660e\uff1aS32
= S3S1cos\u03b8
1-3 + S3S2cos\u03b82-3 + S3S4cos\u03b83-4 = S1 S3cos\u03b8
1-3 + S2 S3cos\u03b82-3 + S3 S4cos\u03b83-4
= S1\uff08S1 - S2cos\u03b8
1-2 + S4cos\u03b81-4\uff09+S2\uff08S2 - S1cos\u03b81-2 + S4cos\u03b82-4\uff09+S4\uff08S4 - S1cos\u03b81-4 +
S2cos\u03b82-4\uff09
= S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cos\u03b8
1-2 - 2S1S4 cos\u03b81-4 - 2S2S4 cos\u03b82-4
\u4e8c\uff0e\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28
\u8bbe\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a\uff0c\u5219\u8fd9\u4e2a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684
a
\u6b22\u8fce\u5149\u4e34Magiccube1\u53f7\u7684\u514d\u8d39\u767e\u5ea6\u6587\u5e93\u2014\u2014\u2014\u2014\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28
\u7248\u6743\u6240\u6709@\u6dee\u5357\u4e00\u4e2d
(1)\u5168\u9762\u79ef S\u5168= 32a\uff1b (2)\u4f53\u79ef V=
3
212
a\uff1b (3)\u5bf9\u68f1\u4e2d\u70b9\u8fde\u7ebf\u6bb5\u7684\u957f d=
2
2
\uff1b(\u6b64\u7ebf\u6bb5\u4e3a\u5bf9\u68f1\u7684\u8ddd\u79bb\uff0c\u82e5\u4e00\u4e2a\u7403\u4e0e\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u76846\u6761\u68f1\u90fd\u76f8\u5207\uff0c\u5219\u6b64\u7ebf\u6bb5\u5c31\u662f\u8be5\u7403\u7684\u76f4\u5f84\u3002)
(4)\u76f8\u90bb\u4e24\u9762\u6240\u6210\u7684\u4e8c\u9762\u89d2 =1
arccos3
(5)\u5bf9\u68f1\u4e92\u76f8\u5782\u76f4\u3002
(6)\u4fa7\u68f1\u4e0e\u5e95\u9762\u6240\u6210\u7684\u89d2\u4e3a=1
arccos3
(7)\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84 R=
6
4
\uff1b (8)\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84 r=
6
12
. (9)\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5185\u4efb\u610f\u4e00\u70b9\u5230\u56db\u4e2a\u9762\u7684\u8ddd\u79bb\u4e4b\u548c\u4e3a\u5b9a\u503c(\u7b49\u4e8e\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u9ad8). \u4e09\uff0e\u76f4\u89d2\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28
\u6709\u4e00\u4e2a\u4e09\u9762\u89d2\u7684\u5404\u4e2a\u9762\u89d2\u90fd\u662f\u76f4\u89d2\u7684\u56db\u9762\u4f53\u53eb\u505a\u76f4\u89d2\u56db\u9762\u4f53. \u76f4\u89d2\u56db\u9762\u4f53\u6709\u4e0b\u5217\u6027\u8d28\uff1a \u5982\u56fe\uff0c\u5728\u76f4\u89d2\u56db\u9762\u4f53AOCB\u4e2d\uff0c\u2220AOB=\u2220BOC=\u2220COA=90\u00b0\uff0cOA=,OB=,OC=.\u5219 \u2460\u4e0d\u542b\u76f4\u89d2\u7684\u5e95\u9762ABC\u662f\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff1b
\u2461\u76f4\u89d2\u9876\u70b9O\u5728\u5e95\u9762\u4e0a\u7684\u5c04\u5f71H\u662f\u25b3ABC\u7684\u5782\u5fc3\uff1b
\u2462\u4f53\u79ef V= 1
6
\uff1b
\u2463\u5e95\u9762\u9762\u79efS\u25b3ABC=22
222212abbcca\uff1b \u2464S2\u25b3BOC
=S\u25b3BHC\u00b7S\u25b3ABC\uff1b
\u2465S2
\u25b3BOC+S2
\u25b3AOB+S2
\u25b3AOC=S2
\u25b3ABC
\u2466
2222
1111
OHabc; \u2467\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84 R= 2
2212abc\uff1b \u2468\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84 r=AOBBOCAOCABC
SSSSabc
\u4e09\uff0e\u5e94\u7528
\u7531\u8bfe\u672c\u65b0\u6559\u6750\u7b2c\u4e8c\u518c\u4e0b(A)53\u9875\u7b2c8\u9898\u53ef\u77e5\uff0c\u6b63\u65b9\u4f53\u622a\u53bb\u56db\u4e2a\u4e09\u68f1\u9525\u540e,\u5f97\u5230\u4e00\u4e2a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u3002 \u82e5\u8bbe\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a,\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a\u2032\uff0c\u6b63\u65b9\u4f53\u53ca\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84\u5206\u522b\u4e3aR\u3001R\u2032,
aaaabcabcaaA
B
C
D
O H
\u6b22\u8fce\u5149\u4e34Magiccube1\u53f7\u7684\u514d\u8d39\u767e\u5ea6\u6587\u5e93\u2014\u2014\u2014\u2014\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28
\u7248\u6743\u6240\u6709@\u6dee\u5357\u4e00\u4e2d
\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5185\u5207\u7403\uff0e\uff0e\uff0e\u53ca\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u5207\u7403\uff0e\uff0e\uff0e
\u534a\u5f84\u5206\u522b\u4e3ar\u3001r',\u6613\u77e5\u6709\u5982\u4e0b\u7ed3\u8bba\uff1a \u6027\u8d28\u2460\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5185\u63a5\u4e8e\u4e00\u6b63\u65b9\u4f53\uff0c\u4e14a\u2032=a2
\u6027\u8d28\u2461V\u6b63\u56db\u9762\u4f53=31V\u6b63\u65b9\u4f53=3
1
a3
\u6027\u8d28\u2462R'=R =
2
3a \u6027\u8d28\u2463r'=r=2
1
(\u8bc1\u660e\u7565)
\u5229\u7528\u4e0a\u8ff0\u7ed3\u8bba\u53ef\u8fc5\u901f\u89e3\u51b3\u5982\u4e0b\u5404\u9898:
\u4f8b1.\u6b63\u4e09\u68f1\u9525S-ABC\u7684\u4fa7\u68f1\u4e0e\u5e95\u9762\u8fb9\u957f\u76f8\u7b49\uff0c\u5982\u679c E\u3001F\u5206\u522b\u4e3aSC\u3001AB\u7684\u4e2d\u70b9\uff0c\u90a3\u4e48\u5f02\u9762\u76f4\u7ebfEF\u4e0eSA\u6240\u6210\u7684\u89d2\u7b49( ) (90\u5e74\u5168\u56fd\u9ad8\u8003\u8bd5\u9898)
(A) 90\u00b0 \uff08B\uff0960\u00b0 \uff08C\uff0945\u00b0 \uff08D\uff0930\u00b0
\u5206\u6790\uff1a\u672c\u9898\u82e5\u4ed4\u7ec6\u89c2\u5bdf\u5df2\u77e5\u6761\u4ef6\uff0c\u6613\u77e5S-ABC\u4e3a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u3002\u800c\u4e00\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5fc5\u53ef\u8865\u6210\u6b63\u65b9\u4f53\uff08\u5982\u56fe2)\uff0c\u663e\u7136\uff0cEF\u5728\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u4e24\u5e95\u9762\u7684\u4e2d\u5fc3\u8fde\u7ebf\u4e0a\uff0c\u4e0e\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u4fa7\u68f1SD\u5e73\u884c\uff0c\u7531\u2220ASD=45\u00b0\uff0c\u77e5\u9009(C).
\u4f8b2.\u68f1\u957f\u4e3a2\u7684\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u4f53\u79ef\u4e3a_____________.(98\u5e74\u4e0a\u6d77\u9ad8\u8003\u9898)
\u672c\u9898\u82e5\u76f4\u63a5\u8ba1\u7b97,\u6709\u4e00\u5b9a\u7684\u96be\u5ea6\u4e0e\u8ba1\u7b97\u91cf,\u82e5\u5229\u7528\u4e0a\u8ff0\u4e60\u9898\u7ed3\u8bba,\u5c06\u5176\u8865\u6210\u6b63\u65b9\u4f53,\u53ef\u53d6\u5f97\u4e8b\u534a\u529f\u500d\u4e4b\u6548.
\u89e3: \u5c06\u8be5\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u8865\u6210\u6b63\u65b9\u4f53,\u7531\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a2,\u6613\u77e5\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a2.\u6545V
\u6b63\u65b9\u4f53
=(2)3=22 \u2234V\u6b63\u56db\u9762\u4f53=31V\u6b63\u65b9\u4f53=3
3
2 \u3002
\u4f8b3.\u4e00\u4e2a\u7403\u4e0e\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u76846\u6761\u68f1\u90fd\u76f8\u5207,\u82e5\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3aa,\u5219\u8fd9\u4e2a\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u4e3a__________. (2000\u5e74\u5168\u56fd\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u7ade\u8d5b\u8bd5\u9898)
\u672c\u9898\u6240\u7ed9\u7684\u53c2\u8003\u7b54\u6848\u8f83\u590d\u6742,\u82e5\u80fd\u628a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u8865\u6210\u6b63\u65b9\u4f53\uff0c\u7136\u540e\u518d\u5229\u7528\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u5207\u7403\u534a\u5f84\u7b49\u4e8e\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84\u89e3\u51b3,\u5c31\u4f1a\u6709\u610f\u60f3\u4e0d\u5230\u7684\u89e3\u9898\u529f\u6548.
\u89e3:(\u5982\u56fe)\u5c06\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u8865\u6210\u6b63\u65b9\u4f53,\u7531\u4e0a\u8ff0\u7ed3\u8bba\u53ef\u77e5\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u5207\u7403\u5373\u4e3a\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5185\u5207\u7403.
\u2235\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3aa \u2234\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3a
2
2a \u2234\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84 r=
4
2a \u2234V\u68f1\u5207\u7403=34\u03c0r3=34\u03c0\u00d7(42a)3=24
2a3
.
\u4f8b4.\u5982\u56feS-ABC \u662f\u4e00\u4f53\u79ef\u4e3a72\u7684\u6b63\u56db\u9762\u4f53,\u8fde\u63a5\u4e24\u4e2a\u9762\u7684\u91cd\u5fc3E\u3001F\uff0c\u5219\u7ebf\u6bb5EF\u7684\u957f\u662f____.(2000
A
B
C
D
E
F
G
HAD
B
C
S
E
F
\u6b22\u8fce\u5149\u4e34Magiccube1\u53f7\u7684\u514d\u8d39\u767e\u5ea6\u6587\u5e93\u2014\u2014\u2014\u2014\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28
\u7248\u6743\u6240\u6709@\u6dee\u5357\u4e00\u4e2d
\u5e74\u6625\u5b63\u9ad8\u8003\u9898)
\u5206\u6790\uff1a\u8fde\u63a5SE\u3001SF\u5ef6\u957f\u5206\u522b\u4ea4AB\u3001BC \u4e8eG\u3001H\uff0c\u6613\u77e5 EF=32GH=3
1
AB\uff0c\u6545\u53ea\u9700\u6c42\u51fa\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u5373\u53ef\uff0c\u672c\u9898\u82e5\u76f4\u63a5\u7531\u4f53\u79ef\u6c42\u68f1\u957f\u6709\u4e00\u5b9a\u7684\u96be\u5ea6\uff0c\u82e5\u6839\u636e\u4e60
\u9898\u7ed3\u8bba\u2460\u2461\uff0c\u5148\u628a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u8865\u6210\u6b63\u65b9\u4f53\uff0c\u5219V\u6b63\u65b9\u4f53=3V\u6b63\u56db\u9762\u4f53=216\uff0c\u6545\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u68f1\u4e3a6\uff0c\u800c\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1
\u957f\u4e3a62\uff0c\u6240\u4ee5EF=3
1
AB=22.
\u4f8b5.\u6b63\u4e09\u68f1\u9525A- BCD\u5f97\u4fa7\u68f1\u957f\u4e0e\u5e95\u9762\u8fb9\u957f\u76f8\u7b49,\u9876\u70b9A\u3001B\u3001C\u3001D\u5728\u540c\u4e00\u4e2a\u7403\u9762\u4e0a\uff0cCC1\u548cDD1\u662f\u8be5\u7403\u5f97\u76f4\u5f84\uff0c\u5219\u5e73\u9762ABC\u4e0e\u5e73\u9762AC1D1\u6240\u6210\u89d2\u7684\u6b63\u5f26\u503c\u4e3a____________.(\u7b2c\u5341\u4e00\u5c4a\u201c\u5e0c\u671b\u676f\u201d\u9ad8\u4e00\u57f9\u8bad\u9898)
\u5206\u6790:\u5229\u7528\u4e60\u9898\u7ed3\u8bba\u2460\u2462\u53ef\u77e5,\u6b63\u4e09\u68f1\u9525A-BCD\u4e0e\u5b83\u5916\u63a5\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5404\u9876\u70b9\u5171\u7403\u9762.\u6545\u6784\u9020\u5982\u56fe5\u7684\u6b63\u65b9\u4f53AD1CB1- C1BA1D,\u6613\u77e5CC1\u4e0eDD1\u5c31\u662f\u8be5\u7403\u7684\u76f4\u5f84.\u53d6AB\u7684\u4e2d\u70b9O,\u8fdeD1O\u3001CO\uff0c\u5219\u2220COD1\u662f\u5e73\u9762ABC\u4e0e\u5e73\u9762AC1D1\u6240\u6210\u7684\u9510\u89d2\u4e8c\u9762\u89d2\uff0c\u4e8e\u662f
sin\u2220COD1=COCD1=3
6
\u4f8b6.\u534a\u5f84\u4e3aR\u7684\u7403\u7684\u5185\u63a5\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u4f53\u79ef\u7b49\u4e8e___________. (\u7b2c\u5341\u4e00\u5c4a\u201c\u5e0c\u671b\u676f\u201d\u9ad8\u4e00\u57f9\u8bad\u9898)
\u5206\u6790:\u7531\u4e0a\u8ff0\u7ed3\u8bba\u2460\u2461\u2462\u53ef\u77e5,\u534a\u5f84\u4e3aR\u7684\u7403\u7684\u5185\u63a5\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u5bf9\u89d2\u7ebf\u957f\u4e3a2R,\u6545\u5176\u68f1\u957f\u4e3a
R3
3
2,\u5176\u4f53\u79ef\u4e3aV\u6b63\u65b9\u4f53=(
R332)3=R2734,V\u6b63\u56db\u9762\u4f53=R27
38.
\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5c31\u662f\u7531\u56db\u4e2a\u5168\u7b49\u6b63\u4e09\u89d2\u5f62\u56f4\u6210\u7684\u7a7a\u95f4\u5c01\u95ed\u56fe\u5f62\u3002\u5b83\u67096\u6761\u68f1\uff0c4\u4e2a\u9876\u70b9\u3002\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u662f\u4e00\u79cd\u67cf\u62c9\u56fe\u591a\u9762\u4f53\uff0c\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u4e0e\u81ea\u8eab\u5bf9\u5076\u3002 \u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u91cd\u5fc3\u3001\u56db\u6761\u9ad8\u7684\u4ea4\u70b9\u3001\u5916\u63a5\u7403\u3001\u5185\u5207\u7403\u7403\u5fc3\u5171\u70b9\uff0c\u6b64\u70b9\u79f0\u4e3a\u4e2d\u5fc3\u3002 \u6b63\u56db\u9762\u4f53\u6709\u4e00\u4e2a\u5728\u5176\u5185\u90e8\u7684\u5185\u5207\u7403\u548c\u4e03\u4e2a\u4e0e\u56db\u4e2a\u9762\u90fd\u76f8\u5207\u7684\u65c1\u5207\u7403\uff0c\u5176\u4e2d\u6709\u4e09\u4e2a\u65c1\u5207\u7403\u7403\u5fc3\u5728\u65e0\u7a77\u8fdc\u5904\u3002 \u6b63\u56db\u9762\u4f53\u6709\u56db\u6761\u4e09\u91cd\u65cb\u8f6c\u5bf9\u79f0\u8f74\uff0c\u516d\u4e2a\u5bf9\u79f0\u9762\u3002 \u6b63\u56db\u9762\u4f53\u53ef\u4e0e\u6b63\u516b\u9762\u4f53\u586b\u6ee1\u7a7a\u95f4\uff0c\u5728\u4e00\u9876\u70b9\u5468\u56f4\u6709\u516b\u4e2a\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u548c\u516d\u4e2a\u6b63\u516b\u9762\u4f53\u3002\u5f53\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u957f\u4e3aa\u65f6\uff0c\u4e00\u4e9b\u6570\u636e\u5982\u4e0b\uff1a\u9ad8\uff1a\u221a6a/3\u3002\u4e2d\u5fc3\u628a\u9ad8\u5206\u4e3a1:3\u4e24\u90e8\u5206\u3002\u8868\u9762\u79ef\uff1a\u221a3a^2\u4f53\u79ef\uff1a\u221a2a^3/12\u5bf9\u68f1\u4e2d\u70b9\u7684\u8fde\u7ebf\u6bb5\u7684\u957f\uff1a\u221a2a/2\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84\uff1a\u221a6a/4\uff0c\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u4f53\u79ef\u5360\u5916\u63a5\u7403\u4f53\u79ef\u76842*3^0.5/9*\u03c0\uff0c\u7ea612.2517532%\u3002\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84\uff1a\u221a6a/12\uff0c\u5185\u5207\u7403\u4f53\u79ef\u5360\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u4f53\u79ef\u7684\u03c0*3^0.5/18\uff0c\u7ea630.2299894%\u3002\u68f1\u5207\u7403\u534a\u5f84\uff1a\u221a2a/4.\u4e24\u6761\u9ad8\u5939\u89d2\uff1a2ArcSin\uff08\u221a6/3\uff09=ArcCos(-1/3)=\u22481.91063 32362 49\uff08\u5f27\u5ea6\uff09\u6216109\u00b028\u203216\u203339428 41664 889\u3002\u8fd9\u4e00\u6570\u503c\u4e0e\u4e09\u7ef4\u7a7a\u95f4\u4e2d\u6c42\u6700\u5c0f\u9762\u6709\u5173\uff0c\u4e5f\u662f\u8702\u5de2\u5e95\u83f1\u5f62\u7684\u949d\u89d2\u7684\u89d2\u5ea6.\u4e24\u90bb\u9762\u5939\u89d2\uff1a2ArcSin\uff08\u221a3/3\uff09=ArcCos(1/3)\u22481.23095 94173 4077\uff08\u5f27\u5ea6\uff09\u621670\u00b031\u203243\u203360571 58335 111\uff0c\u4e0e\u4e24\u6761\u9ad8\u5939\u89d2\u5728\u6570\u503c\u4e0a\u4e92\u8865\u3002\u4fa7\u68f1\u4e0e\u5e95\u9762\u7684\u5939\u89d2\uff1aArcCos\uff08\u221a3/3\uff09
四面体作为最简单、最基本的几何体，了解它的性质是必要的．与四面体关系密切的多面体是其外接平行六面体(过四面体三组对棱所作的三组平行平面围成的平行六面体)，通过外接平行六面体，可以得出四面体下面的(1)，(2)性质．由反证法等，还可以得到下面的(3)，(4)等性质． (1)四面体各棱长的平方和，等于三组对棱中点连线的平方和的四倍； (2)四面体四中线(连四面体各顶点与其对面重心的线段)交于一点，这点称为四面体的重心，重心分各中线从顶点算起的两部分之比为3∶1． (3)任何一个四面体总有一个端点，从这个端点发出的三条棱为三边可以作成一个三角形； (4)除四面体外，不存在任何一种凸多面体，它的每一个顶点和所有其余的顶点之间都有棱相连接； (5)若四面体四个面的面积相等，则四面体的对棱分别相等(对棱分别相等的四面体称为等腰四面体或等面四面体)； (6)若四面体的外接球球心与内切球球心重合，则四面体的对棱分别相等； (7)若四面体的两组对棱互相垂直(有两组对棱互相垂直的四面体称为重心四面体或正交四面体)，则第三组对棱也互相垂直； (8)若四面体的两组对棱互相垂直，则三组对棱中点连线(段)都相等正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的
(1)全面积 S全= 32a； (2)体积 V=
3
212
a
；
(3)对棱中点连线段的长 d=
22
a
；(此线段为对棱的距离，若一个球
与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 =1
arccos3
(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为=1
arccos3
(7)外接球半径 R=
64
a
；
(8)内切球半径 r=
612
a
.
(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质
四面体的性质
如果从面的数目上来说，四面体是最简单的多面体。
一．四面体性质
1．四面体的射影定理：如果设四面体ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为O，△ABC的面积为S1，△ADC的面积为S2，△BCD的面积为S3，△ABD的面积为S4，二面角A-BC-D为θ1-3，二面角A-DC-B
为θ2-3，二面角
A-BD-C为θ3-4，二面角C-AB-D为θ1-4，二面角C-AD-B为θ
2-4，二面角B-AC-D为
θ
1-2，则
S1 = S2cosθ1-2 + S3cosθ1-3 + S4cosθ1-4 S2 = S1cosθ1-2 + S3cosθ2-3 + S4cosθ2-4 S3 = S1cosθ1-3 + S2cosθ2-3 + S4cosθ3-4 S4 = S1cosθ
1-4 + S2cosθ
2-4 + S3cosθ
3-4
2．性质2(类似余弦定理)
S12
= S22 + S32 +S42 - 2S2S3 cosθ2-3 - 2S2S4 cosθ2-4 - 2S3S4 cosθ3-4 S22 = S12 + S32 +S42 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S3S4 cosθ3-4 S32 = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S2S4 cosθ2-4 S42 = S12 + S22 +S32 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S2S3 cosθ2-3
特别地，当cosθ
1-2 = cosθ1-4 = cosθ2-4 = 0，即二面角C-AB-D、 C-AD-B、B-AC-D均为直二
面角（也就是AB、AC、BC两两垂直）时，有S32 = S12 + S22 +S42，
证明：S32
= S3S1cosθ
1-3 + S3S2cosθ2-3 + S3S4cosθ3-4 = S1 S3cosθ
1-3 + S2 S3cosθ2-3 + S3 S4cosθ3-4
= S1（S1 - S2cosθ
1-2 + S4cosθ1-4）+S2（S2 - S1cosθ1-2 + S4cosθ2-4）+S4（S4 - S1cosθ1-4 +
S2cosθ2-4）
= S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cosθ
1-2 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S2S4 cosθ2-4
二．正四面体的性质
设正四面体的棱长为，则这个正四面体的
a
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(1)全面积 S全= 32a； (2)体积 V=
3
212
a； (3)对棱中点连线段的长 d=
2
2
；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。)
(4)相邻两面所成的二面角 =1
arccos3
(5)对棱互相垂直。
(6)侧棱与底面所成的角为=1
arccos3
(7)外接球半径 R=
6
4
； (8)内切球半径 r=
6
12
. (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 三．直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 直角四面体有下列性质： 如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=,OB=,OC=.则 ①不含直角的底面ABC是锐角三角形；
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；
③体积 V= 1
6
；
④底面面积S△ABC=22
222212abbcca； ⑤S2△BOC
=S△BHC·S△ABC；
⑥S2
△BOC+S2
△AOB+S2
△AOC=S2
△ABC
⑦
2222
1111
OHabc; ⑧外接球半径 R= 2
2212abc； ⑨内切球半径 r=AOBBOCAOCABC
SSSSabc
三．应用
由课本新教材第二册下(A)53页第8题可知，正方体截去四个三棱锥后,得到一个正四面体。 若设正方体的棱长为,正四面体的棱长为′，正方体及正四面体的外接球半径分别为R、R′,
aaaabcabcaaA
B
C
D
O H
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正方体的内切球．．．及正四面体的棱切球．．．
半径分别为r、r',易知有如下结论： 性质①正四面体内接于一正方体，且a′=a2
性质②V正四面体=31V正方体=3
1
a3
性质③R'=R =
2
3a 性质④r'=r=2
1
(证明略)
利用上述结论可迅速解决如下各题:
例1.正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果 E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等( ) (90年全国高考试题)
(A) 90° （B）60° （C）45° （D）30°
分析：本题若仔细观察已知条件，易知S-ABC为正四面体。而一正四面体必可补成正方体（如图2)，显然，EF在正方体的两底面的中心连线上，与正方体的侧棱SD平行，由∠ASD=45°，知选(C).
例2.棱长为2的正四面体的体积为_____________.(98年上海高考题)
本题若直接计算,有一定的难度与计算量,若利用上述习题结论,将其补成正方体,可取得事半功倍之效.
解: 将该正四面体补成正方体,由正四面体的棱长为2,易知正方体的棱长为2.故V
正方体
=(2)3=22 ∴V正四面体=31V正方体=3
3
2 。
例3.一个球与正四面体的6条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积为__________. (2000年全国高中数学竞赛试题)
本题所给的参考答案较复杂,若能把正四面体补成正方体，然后再利用正四面体的棱切球半径等于正方体的内切球半径解决,就会有意想不到的解题功效.
解:(如图)将正四面体补成正方体,由上述结论可知正四面体的棱切球即为正方体的内切球.
∵正四面体的棱长为a ∴正方体的棱长为
2
2a ∴正方体的内切球半径 r=
4
2a ∴V棱切球=34πr3=34π×(42a)3=24
2a3
.
例4.如图S-ABC 是一体积为72的正四面体,连接两个面的重心E、F，则线段EF的长是____.(2000
A
B
C
D
E
F
G
HAD
B
C
S
E
F
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年春季高考题)
分析：连接SE、SF延长分别交AB、BC 于G、H，易知 EF=32GH=3
1
AB，故只需求出正四面体的棱长即可，本题若直接由体积求棱长有一定的难度，若根据习
题结论①②，先把正四面体补成正方体，则V正方体=3V正四面体=216，故正方体的棱为6，而正四面体的棱
长为62，所以EF=3
1
AB=22.
例5.正三棱锥A- BCD得侧棱长与底面边长相等,顶点A、B、C、D在同一个球面上，CC1和DD1是该球得直径，则平面ABC与平面AC1D1所成角的正弦值为____________.(第十一届“希望杯”高一培训题)
分析:利用习题结论①③可知,正三棱锥A-BCD与它外接正方体的各顶点共球面.故构造如图5的正方体AD1CB1- C1BA1D,易知CC1与DD1就是该球的直径.取AB的中点O,连D1O、CO，则∠COD1是平面ABC与平面AC1D1所成的锐角二面角，于是
sin∠COD1=COCD1=3
6
例6.半径为R的球的内接正四面体的体积等于___________. (第十一届“希望杯”高一培训题)
分析:由上述结论①②③可知,半径为R的球的内接正方体的对角线长为2R,故其棱长为
R3
3
2,其体积为V正方体=(
R332)3=R2734,V正四面体=R27
38.
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