高数 定积分的应用 面积问题 高数 不定积分的应用 求面积问题

\u9ad8\u6570\u5b9a\u79ef\u5206\u6c42\u9762\u79ef\u95ee\u9898

\u5df2\u77e5\u629b\u7269\u7ebfy=px²+qx\uff1b(p0)\u5728\u7b2c\u4e00\u8c61\u9650\u5185\u4e0e\u76f4\u7ebfx+y=5\u76f8\u5207\uff1b\u4e14\u6b64\u629b\u7269\u7ebf\u4e0ex\u8f74\u6240\u56f4
\u56fe\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u4e3aA\uff1b\u95eep\uff0cq\u4e3a\u4f55\u503c\u65f6\u6b64\u9762\u79ef\u8fbe\u6700\u5927\u503c\uff0c\u5e76\u6c42\u51fa\u6b64\u6700\u5927\u503c\u3002
\u89e3\uff1a\u4ee4y=px²+qx=x(px+q)=0\uff0c\u5f97x₁=0\uff0cx₂=-q/p\uff1b
\u6545\u629b\u7269\u7ebf\u4e0ex\u8f74\u6240\u56f4\u56fe\u5f62\u7684\u9762\u79efA\uff1a

\u5c06\u76f4\u7ebf\u65b9\u7a0by=5-x\u4ee3\u5165\u629b\u7269\u7ebf\u65b9\u7a0b\u5f97\uff1a5-x=px²+qx\uff0c\u5373\u6709px²+(q+1)x-5=0\uff1b
\u56e0\u4e3a\u76f8\u5207\uff0c\u6545\u9f50\u5224\u522b\u5f0f∆=(q+1)²+20p=0............(2);
\u73b0\u5728\u8981\u6c42\u65b9\u7a0b(1)\u5728\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6(2)\u7684\u60c5\u51b5\u4e0b\u6c42A\u7684\u6700\u5927\u503c\uff0c\u56e0\u6b64\u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u6761\u4ef6\u6781\u503c\u95ee\u9898\u3002
\u4e3a\u6b64\u6211\u4eec\u7528\u62c9\u683c\u6717\u65e5\u4e58\u6570\u6cd5\u6c42\u89e3\u3002\u4e3a\u7167\u987e\u4e66\u5199\u4e60\u60ef\uff0c\u4e0b\u9762\u628aA\u6539\u540d\u4e3az\uff1bq\uff0cp\u6539\u540d\u4e3ax\uff0cy;
\u8fd9\u6837\u5c31\u6709z=x³/6y²\u548c\u6761\u4ef6\uff1a(x+1)²+20y=0\uff1b\u4f5c\u51fd\u6570F(x\uff0cy)=(x³/6y²)+\u03bb[(x+1)²+20y];
\u4ee4∂F/∂x=(x²/2y²)+2\u03bb(x+1)=0......\u2460\uff1b∂F/∂y=-(x³/3y³)+20\u03bb=0......\u2461\uff1b(x+1)²+20y=0.......\u2462
\u4e09\u5f0f\u8054\u7acb\u6c42\u89e3\uff0c\u5f97\uff1ax=3\uff0cy=-4/5\uff0czmax=225/32\uff1b\u3010\u6c42\u89e3\u8fc7\u7a0b\u7565\u3011
\u5373\u5f53q=3\uff0cp=-4/5\u65f6\u53ef\u83b7\u5f97\u9762\u79efA\u7684\u6700\u5927\u503c225/32\uff1b

\u66f4\u6b63\uff1aS=\u540e\u9762\uff0c\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u79ef\u5206\u53f7\u7684\u4e0a\u4e0b\u9650\u5e94\u8be5\u5012\u7f6e\u3002

\u661f\u5f62\u7ebf

根据直角坐标与极坐标的关系式：x=ρcosθ，y=ρsinθ，xx+yy=ρρ★

ρ=3cosθ就是ρρ=3ρcosθ，就是xx+yy=3x，配方就得圆（x-1.5）^2+yy=1.5*1.5。

同理，ρ=√2sinθ就是ρρ=√2ρsinθ，就是xx+yy=√2y，配方就得圆xx+（y-√2/2）^2=0.5。

ρ=1+cosθ是心形线（应该是光滑的对称的象心脏形状）

ρρ=cos2θ是伯努利双纽线（应该是光滑的对称的象两片树叶）

心形线ρ=1+ρcosθ与伯努利双纽线ρρ=cos2θ一般都会讲到，或者在书的附录上查看有没有，自学的话查看数学手册记下即可。

题1草图

解题1，根据对称性，只求上面的面积，再2倍即可。

上面的面积用绿线分成右左2部分来计算，为此，

先求出交点：联列2个极坐标方程，解得θ=∏/3，

所以，利用极坐标系下的面积公式，

上面的面积=右面积+左面积

=1/2∫（0到∏/3）（黑的心形线的1+cosθ）^2dθ

+1/2∫（∏/3到∏/2▲）（红的圆的3cosθ）^2dθ=。。。

题1的结果=5∏/4。

下面解释一下第二个积分上限为什么是∏/2▲：

这是圆上点ρ=0处的θ的坐标，故而在圆的方程中代入ρ=0来解θ【这是方法★★】：

解0=3cosθ，得θ=±∏/2，红线是圆的上半支，取θ=+∏/2。

 

题2草图

解题2，根据对称性，只求右面的面积，再2倍即可。

右面的面积用绿线分成=下上2部分来计算，为此，

先求出交点：将ρ=√2sinθ两边平方，与ρρ=cos2θ联列，解得θ=∏/6，

所以，利用极坐标系下的面积公式，

右面的面积=下面积+上面积

=1/2∫（0到∏/6）（红的圆的√2sinθ）^2dθ

+1/2∫（∏/6到∏/4▲▲）（黑的伯努利双纽线的cos2θ）dθ=。。。

题2的结果=0.5（1-√3）+∏/6。

其中▲▲处的积分上限∏/4同方法★★得到。

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