韩信点兵主要说明了怎样的一个数学道理？ 韩信点兵的数学原理
\u97e9\u4fe1\u70b9\u5175\u4e3b\u8981\u8bf4\u660e\u4e86\u600e\u6837\u7684\u4e00\u4e2a\u6570\u5b66\u9053\u74061\uff0c\u4e3b\u8981\u662f\u540c\u4f59\u7406\u8bba\uff1a\u4e24\u4e2a\u6570\u9664\u6570\u76f8\u540c\uff0c\u4f59\u6570\u7684\u548c\u7b49\u4e8e\u548c\u7684\u4f59\u6570\uff0c\u4f59\u6570\u7684\u79ef\u7b49\u4e8e\u79ef\u7684\u4f59\u6570\u3002
2\uff0c\u97e9\u4fe1\u70b9\u5175\u53ea\u662f\u201c\u4e09\u4e09\u6570\u4e4b\u4f59\u4e8c\uff0c\u4e94\u4e94\u6570\u4e4b\u4f59\u4e09\uff0c\u4e03\u4e03\u6570\u4e4b\u4f59\u4e8c\u201d\uff0c\u8fd9\u79cd\u6bd4\u8f83\u5c0f\u7684\u6570\u503c\uff0c\u5982\u679c\u53d8\u6210\u6bd4\u8f83\u5927\u7684\u6570\uff0c\u5c31\u9700\u8981\u540c\u4f59\u7406\u8bba\u6765\u8ba1\u7b97\u4e86\u3002
\u79e6\u738b\u6697\u70b9\u5175\u95ee\u9898\u548c\u97e9\u4fe1\u4e71\u70b9\u5175\u95ee\u9898\uff0c\u90fd\u662f\u540e\u4eba\u5bf9\u7269\u4e0d\u77e5\u5176\u6570\u95ee\u9898\u7684\u4e00\u79cd\u6545\u4e8b\u5316\u3002
\u7269\u4e0d\u77e5\u5176\u6570\u95ee\u9898\u51fa\u81ea\u4e00\u5343\u516d\u767e\u5e74\u524d\u6211\u56fd\u53e4\u4ee3\u6570\u5b66\u540d\u8457\u300a\u5b59\u5b50\u7b97\u7ecf\u300b\u3002\u539f\u9898\u4e3a\uff1a"\u4eca\u6709\u7269\u4e0d\u77e5\u5176\u6570\uff0c\u4e09\u4e09\u6570\u4e4b\u4e8c\uff0c\u4e94\u4e94\u6570\u4e4b\u4e09\uff0c\u4e03\u4e03\u6570\u4e4b\u4e8c\uff0c\u95ee\u7269\u51e0\u4f55\uff1f"
\u8fd9\u9053\u9898\u7684\u610f\u601d\u662f\uff1a\u6709\u4e00\u6279\u7269\u54c1\uff0c\u4e0d\u77e5\u9053\u6709\u51e0\u4ef6\u3002\u5982\u679c\u4e09\u4ef6\u4e09\u4ef6\u5730\u6570\uff0c\u5c31\u4f1a\u5269\u4e0b\u4e24\u4ef6\uff1b\u5982\u679c\u4e94\u4ef6\u4e94\u4ef6\u5730\u6570\uff0c\u5c31\u4f1a\u5269\u4e0b\u4e09\u4ef6\uff1b\u5982\u679c\u4e03\u4ef6\u4e03\u4ef6\u5730\u6570\uff0c\u4e5f\u4f1a\u5269\u4e0b\u4e24\u4ef6\u3002\u95ee\uff1a\u8fd9\u6279\u7269\u54c1\u5171\u6709\u591a\u5c11\u4ef6\uff1f
\u53d8\u6210\u4e00\u4e2a\u7eaf\u7cb9\u7684\u6570\u5b66\u95ee\u9898\u5c31\u662f\uff1a\u6709\u4e00\u4e2a\u6570\uff0c\u75283\u9664\u4f592\uff0c\u75285\u9664\u4f593\uff0c\u75287\u9664\u4f592\u3002\u6c42\u8fd9\u4e2a\u6570\u3002
\u8fd9\u4e2a\u95ee\u9898\u5f88\u7b80\u5355\uff1a\u75283\u9664\u4f592\uff0c\u75287\u9664\u4e5f\u4f592\uff0c\u6240\u4ee5\u75283\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u657021\u9664\u4e5f\u4f592\uff0c\u800c\u752821\u9664\u4f592\u7684\u6570\u6211\u4eec\u9996\u5148\u5c31\u4f1a\u60f3\u523023\uff1b23\u6070\u597d\u88ab5\u9664\u4f593\uff0c\u6240\u4ee523\u5c31\u662f\u672c\u9898\u7684\u4e00\u4e2a\u7b54\u6848\u3002
\u8fd9\u4e2a\u95ee\u9898\u4e4b\u6240\u4ee5\u7b80\u5355\uff0c\u662f\u7531\u4e8e\u6709\u88ab3\u9664\u548c\u88ab7\u9664\u4f59\u6570\u76f8\u540c\u8fd9\u4e2a\u7279\u6b8a\u6027\u3002\u5982\u679c\u6ca1\u6709\u8fd9\u4e2a\u7279\u6b8a\u6027\uff0c\u95ee\u9898\u5c31\u4e0d\u90a3\u4e48\u7b80\u5355\u4e86\uff0c\u4e5f\u66f4\u6709\u8da3\u5f97\u591a\u3002
\u6211\u4eec\u6362\u4e00\u4e2a\u4f8b\u5b50\uff1b\u97e9\u4fe1\u70b9\u4e00\u961f\u58eb\u5175\u7684\u4eba\u6570\uff0c\u4e09\u4eba\u4e00\u7ec4\u4f59\u4e24\u4eba\uff0c\u4e94\u4eba\u4e00\u7ec4\u4f59\u4e09\u4eba\uff0c\u4e03\u4eba\u4e00\u7ec4\u4f59\u56db\u4eba\u3002\u95ee\uff1a\u8fd9\u961f\u58eb\u5175\u81f3\u5c11\u6709\u591a\u5c11\u4eba\uff1f
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"\u6b63\u534a\u6708"\u6697\u630715\u3002"\u9664\u767e\u96f6\u4e94"\u7684\u539f\u610f\u662f\uff0c\u5f53\u6240\u5f97\u7684\u6570\u6bd4105\u5927\u65f6\uff0c\u5c31105\u3001105\u5730\u5f80\u4e0b\u51cf\uff0c\u4f7f\u4e4b\u5c0f\u4e8e105\uff1b\u8fd9\u76f8\u5f53\u4e8e\u7528105\u53bb\u9664\uff0c\u6c42\u51fa\u4f59\u6570\u3002
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\u6309\u8fd9\u56db\u53e5\u53e3\u8bc0\u6697\u793a\u7684\u65b9\u6cd5\u8ba1\u7b97\u97e9\u4fe1\u70b9\u7684\u8fd9\u961f\u58eb\u5175\u7684\u4eba\u6570\u53ef\u5f97\uff1a
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70m+21n+15k (1\u2264m\uff1c3, 1\u2264n\uff1c5,1\u2264k\uff1c7)
\u80fd\u540c\u65f6\u6ee1\u8db3"\u75283\u9664\u4f59m \u3001\u75285\u9664\u4f59n \u3001\u75287\u9664\u4f59k"\u7684\u8981\u6c42\u3002\u9664\u4ee5105\u53d6\u4f59\u6570\uff0c\u662f\u4e3a\u4e86\u6c42\u5408\u4e4e\u9898\u610f\u7684\u6700\u5c0f\u6b63\u6574\u6570\u89e3\u3002
\u6211\u4eec\u5df2\u7ecf\u77e5\u9053\u4e8670\u300121\u300115\u8fd9\u4e09\u4e2a\u6570\u7684\u6027\u8d28\u548c\u7528\u5904\uff0c\u90a3\u4e48\uff0c\u662f\u600e\u4e48\u628a\u5b83\u4eec\u627e\u5230\u7684\u5462\uff1f\u8981\u662f\u6362\u4e86\u4e00\u4e2a\u9898\u76ee\uff0c\u4e09\u4e2a\u9664\u6570\u4e0d\u518d\u662f3\u30015\u30017\uff0c\u5e94\u8be5\u600e\u6837\u53bb\u6c42\u51fa\u7c7b\u4f3c\u7684\u6709\u7528\u7684\u6570\u5462\uff1f
\u4e3a\u4e86\u6c42\u51fa\u662f5\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75283\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff0c\u6211\u4eec\u770b\u770b5\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f\u5426\u5408\u4e4e\u8981\u6c42\u30025\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f5\u00d77=35\uff0c35\u9664\u4ee53\u4f592\uff0c35\u76842\u500d\u9664\u4ee53\u4f592\uff0c35\u76842\u500d\u9664\u4ee53\u5c31\u80fd\u4f591\u4e86\uff0c\u4e8e\u662f\u6211\u4eec\u5f97\u5230\u4e86"\u4e09\u4eba\u540c\u884c\u4e03\u5341\u7a00"\u3002
\u4e3a\u4e86\u6c42\u51fa\u662f3\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75285\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff0c\u6211\u4eec\u770b\u770b3\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f\u5426\u5408\u4e4e\u8981\u6c42\u30023\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f3\u00d77=21\uff0c21\u9664\u4ee55\u6070\u597d\u4f591\uff0c\u4e8e\u662f\u6211\u4eec\u5f97\u5230\u4e86"\u4e94\u6811\u6885\u82b1\u7518\u4e00\u679d"\u3002
\u4e3a\u4e86\u6c42\u51fa\u662f3\u4e0e5\u7684\u500d\u6570\u800c\u75287\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff0c\u6211\u4eec\u770b\u770b3\u4e0e5\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f\u5426\u5408\u4e4e\u8981\u6c42\u30023\u4e0e5\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f3\u00d75=15\uff0c15\u9664\u4ee57\u6070\u597d\u4f591\uff0c\u56e0\u800c\u6211\u4eec\u5f97\u5230\u4e86"\u4e03\u5b50\u56e2\u5706\u6b63\u534a\u6708"\u3002
3\u30015\u30017\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f105\uff0c\u6240\u4ee5"\u9664\u767e\u96f6\u4e94\u4fbf\u5f97\u77e5"\u3002
\u4f8b\u5982\uff1a\u8bd5\u6c42\u4e00\u6570\uff0c\u4f7f\u4e4b\u75284\u9664\u4f593\uff0c\u75285\u9664\u4f592\uff0c\u75287\u9664\u4f595\u3002
\u89e3\uff1a\u6211\u4eec\u5148\u6c42\u662f5\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75284\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff1b5\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f5\u00d77=35\uff0c35\u9664\u4ee54\u4f593\uff0c3\u00d73\u9664\u4ee54\u4f591\uff0c\u56e0\u800c35\u00d73=105\u9664\u4ee54\u4f591\uff0c105\u662f5\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75284\u9664\u4f591\u7684\u6570\u3002
\u6211\u4eec\u518d\u6c424\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75285\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff1b4\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f4\u00d77=28\uff0c28\u9664\u4ee55\u4f593\uff0c3\u00d77\u9664\u4ee55\u4f591\uff0c\u56e0\u800c28\u00d77=196\u9664\u4f595\u4f591\uff0c\u6240\u4ee5196\u662f4\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75285\u9664\u4f591\u7684\u6570\u3002
\u6700\u540e\u6c42\u7684\u662f4\u4e0e5\u7684\u500d\u6570\u800c\u75287\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff1a4\u4e0e5\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f4\u00d75=20\uff0c20\u9664\u4ee57\u4f596\uff0c6\u00d76\u9664\u4ee57\u4f591\uff0c\u56e0\u800c20\u00d76=120\u9664\u4ee57\u4f591\uff0c\u6240\u4ee5120\u662f4\u4e0e5\u7684\u500d\u6570\u800c\u75287\u9664\u4f591\u7684\u6570\u3002
\u5229\u7528105\u3001196\u3001120\u8fd9\u4e09\u4e2a\u6570\u53ef\u4ee5\u6c42\u51fa\u7b26\u5408\u9898\u76ee\u8981\u6c42\u7684\u89e3\uff1a
105\u00d73+196\u00d72+120\u00d75=1307\u3002
\u7531\u4e8e4\u30015\u30017\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f4\u00d75\u00d77=140\uff0c1307\u5927\u4e8e140\uff0c\u6240\u4ee51307\u4e0d\u662f\u5408\u4e4e\u9898\u76ee\u8981\u6c42\u7684\u6700\u5c0f\u7684\u89e3\u3002\u75281037\u9664\u4ee5140\u5f97\u5230\u7684\u4f59\u6570\u662f47\uff0c47\u662f\u5408\u4e4e\u9898\u76ee\u7684\u6700\u5c0f\u7684\u6b63\u6574\u6570\u89e3\u3002
\u4e00\u822c\u5730\uff0c
105m+196n+120k (1\u2264m\uff1c4,1\u2264n\uff1c5,1\u2264k\uff1c7)
\u662f\u75284\u9664\u4f59m,\u75285\u9664\u4f59n,\u75287\u9664\u4f59k\u7684\u6570(105m+196n+120k)\u9664\u4ee5140\u6240\u5f97\u7684\u4f59\u6570\u662f\u6ee1\u8db3\u4e0a\u9762\u4e09\u4e2a\u6761\u4ef6\u7684\u6700\u5c0f\u7684\u6b63\u6570\u3002
\u4e0a\u9762\u6211\u4eec\u662f\u4e3a\u4e86\u5199\u51fa105m+196n+120k\u8fd9\u4e2a\u4e00\u822c\u8868\u8fbe\u5f0f\u624d\u6c42\u51fa\u4e86105\u8fd9\u4e2a\u7279\u5f81\u6570\u3002\u5982\u679c\u53ea\u662f\u4e3a\u4e86\u89e3\u7b54\u6211\u4eec\u8fd9\u4e2a\u5177\u4f53\u7684\u4f8b\u9898\uff0c\u7531\u4e8e5\u00d77=35\u65e2\u662f5\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u9664\u4ee54\u53c8\u4f593\uff0c\u5c31\u4e0d\u5fc5\u6c42\u51fa105\u518d\u4e58\u4ee53\u4e86\u3002
35+196\u00d72+120\u00d75=1027
\u5c31\u662f\u7b26\u5408\u9898\u610f\u7684\u6570\u3002
1027=7\u00d7140+47\uff0c
\u7531\u6b64\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5f97\u51fa\u7b26\u5408\u9898\u610f\u7684\u6700\u5c0f\u6b63\u6574\u6570\u89e347\u3002
\u300a\u7b97\u6cd5\u7edf\u5b97\u300b\u4e2d\u628a\u5728\u4ee53\u30015\u30017\u4e3a\u9664\u6570"\u7269\u4e0d\u77e5\u5176\u6570"\u95ee\u9898\u4e2d\u8d77\u91cd\u8981\u4f5c\u7528\u768470\u300121\u300115\u8fd9\u51e0\u4e2a\u7279\u5f81\u6570\u7528\u51e0\u53e5\u53e3\u8bc0\u8868\u8fbe\u51fa\u6765\u4e86\uff0c\u6211\u4eec\u4e5f\u53ef\u4ee5\u628a\u5728\u4ee54\u30015\u30017\u4e3a\u9664\u6570\u7684\u95ee\u9898\u4e2d\u8d77\u91cd\u8981\u4f5c\u7528\u7684105\u3001196\u3001120\u8fd9\u51e0\u4e2a\u7279\u5f81\u6570\u7f16\u4e3a\u53e3\u8bc0\u3002\u7559\u7ed9\u8bfb\u8005\u81ea\u5df1\u53bb\u7f16\u5427\u3002
\u51e1\u662f\u4e09\u4e2a\u9664\u6570\u4e24\u4e24\u4e92\u8d28\u7684\u60c5\u51b5\uff0c\u90fd\u53ef\u4ee5\u7528\u4e0a\u9762\u7684\u65b9\u6cd5\u6c42\u89e3\u3002
\u4e0a\u9762\u7684\u65b9\u6cd5\u6240\u4f9d\u636e\u7684\u7406\u8bba\uff0c\u5728\u4e2d\u56fd\u79f0\u4e4b\u4e3a\u5b59\u5b50\u5b9a\u7406\uff0c\u56fd\u5916\u7684\u4e66\u7c4d\u79f0\u4e4b\u4e3a\u4e2d\u56fd\u5269\u4f59\u5b9a\u7406\u3002
如：3个一数余1粒，5个一数余2粒，7个一数余2粒，那么原有棋子是多少呢？
它的算法很简单，而且在我国古代就有。宋朝周密叫它“鬼谷算”或“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；而“韩信点兵”是较通行的名称。至于它的算法，在《孙子算经》上早有说明，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫“大衍一术”。这就是外国人所称的“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题。
那么到底怎样来计算呢？
A×70+b×21+c×15-105
其中a、b、c分别为3个、5个、7个一数的余数。如果得出数还是比105大，就再减去105，一直到得数比105小为止。
因此你可以很容易地知道，前面问题的答案了
1×70+2×21+2×15-105=37（粒）。
那么“韩信点兵”里为什么要3个一数，5个一数，7个一数呢？周其它的数可以吗？我们先研究一下“韩信点兵”的解法“70a+21b+15c-105”。
我们先来看一下70、21、15、105这4个数和3、5、7之间的关系：
（1）70=2×5×7，70=3×23+1，所以70是5和7的一个公倍数，它被3除后余数是1.
（2）同理，21是3与7的一个公倍数，它被5除后余数是1.
（3）15是3与5的一个公倍数，它被7除后余数是1.
（4）105=3×5×7，是3、5、7的最小公倍数。
根据上面的这些关系，“70a+21b+15c-105”确实是所求的得数。所以，70a+21b+15c-105被3除的余数是1。据同样的道理，这个数被5除后的余数是2，被7除后余数是2.
那么，“韩信点兵”里为什么要用3、5、7这三个数呢？我们知道，3、5、7中任意两个数的最大公约数都是1，也就是说是两两互素。于是就可以找到这样一个数，是3、5、7其中两个数的公倍数，而被另一个数除后余数是1，类似70、21、15。这也就是“韩信点兵”中的三个数的要求。
那么不是两两互素的数，是不是就一定找不到类似70、21、15的数呢？如4、6、7这三个数，4与6不是互素，它们的最大公约数是2，而6与7的任何一个公倍数都是偶数，被偶数4除后的余数也一定是偶数，而不可能是1，所以是找到与70、21、15相当的三个数的。因此在“韩信点兵”里就不能用。
我们也可以不用3、5、7这三个数，而换成其它两两互素的数，如2、3、11.这时的计算式是“33a+22b+12c-66”。不信的话，你可以用上文中的例子试一试，看是不是37粒。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 我国汉代有一位大将，名叫韩信。他每次集合部队，都要求部下报三次数，第一次按1～3报数，第二次按1～5报数，第三次按1～7报数，每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几，这样韩信就知道一共到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为“鬼谷算”、 “隔墙算”、“秦王暗点兵”等。到了明代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
这就是韩信点兵的计算方法，它的意思是：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的数）；5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余 1的数），将这些数加起来，若超过105，就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。这样，所得的数就是原来的数了。
秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。
韩信点兵也是一个很有趣的猜数游戏,
今有物，不知其数。三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何。
这是我国古代名著《孙子算经》中的一道题。意思是：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小自然数。
想：此题可用枚举法进行推算。先顺序排出适合其中两个条件的数，再在其中选择适合另一个条件的数。
解：除以5余3的数：
3，8，13，18，23，28，……
除以7余2的数：
2，9，16，23，30，37，……
同时满足以上两个条件的数：
23，58，……
满足上两个条件，又满足除以3余2的最小自然数是23。
答：符合条件物体个数是23。
我国古代对解这类问题编了这样的歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正月半，
除百零五便得知。
意思是：一个自然数除以3得到的余数乘以70，除以5得到的余数乘以21，除以7得到的余数乘以15，积相加。如果和大于105，连续减105，直到小于105为止，这样得到的最小自然数，就是所求的结果。具体解法是：
2×70+3×21+2×15
=140+63+30
=233
233-105×2
=233-210
=23
中国剩余定理
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