韩信点兵的数学原理 韩信点兵解题原理
\u97e9\u4fe1\u70b9\u5175\u539f\u7406\u8336\u9053\u4e2d\u4ec0\u4e48\u662f\u201c\u97e9\u4fe1\u70b9\u5175\u201d\uff1f\u957f\u77e5\u8bc6\u4e86
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\u80fd\u540c\u65f6\u6ee1\u8db3"\u75283\u9664\u4f59m \u3001\u75285\u9664\u4f59n \u3001\u75287\u9664\u4f59k"\u7684\u8981\u6c42\u3002\u9664\u4ee5105\u53d6\u4f59\u6570\uff0c\u662f\u4e3a\u4e86\u6c42\u5408\u4e4e\u9898\u610f\u7684\u6700\u5c0f\u6b63\u6574\u6570\u89e3\u3002
\u6211\u4eec\u5df2\u7ecf\u77e5\u9053\u4e8670\u300121\u300115\u8fd9\u4e09\u4e2a\u6570\u7684\u6027\u8d28\u548c\u7528\u5904\uff0c\u90a3\u4e48\uff0c\u662f\u600e\u4e48\u628a\u5b83\u4eec\u627e\u5230\u7684\u5462\uff1f\u8981\u662f\u6362\u4e86\u4e00\u4e2a\u9898\u76ee\uff0c\u4e09\u4e2a\u9664\u6570\u4e0d\u518d\u662f3\u30015\u30017\uff0c\u5e94\u8be5\u600e\u6837\u53bb\u6c42\u51fa\u7c7b\u4f3c\u7684\u6709\u7528\u7684\u6570\u5462\uff1f
\u4e3a\u4e86\u6c42\u51fa\u662f5\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75283\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff0c\u6211\u4eec\u770b\u770b5\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f\u5426\u5408\u4e4e\u8981\u6c42\u30025\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f5\u00d77=35\uff0c35\u9664\u4ee53\u4f592\uff0c35\u76842\u500d\u9664\u4ee53\u4f592\uff0c35\u76842\u500d\u9664\u4ee53\u5c31\u80fd\u4f591\u4e86\uff0c\u4e8e\u662f\u6211\u4eec\u5f97\u5230\u4e86"\u4e09\u4eba\u540c\u884c\u4e03\u5341\u7a00"\u3002
\u4e3a\u4e86\u6c42\u51fa\u662f3\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75285\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff0c\u6211\u4eec\u770b\u770b3\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f\u5426\u5408\u4e4e\u8981\u6c42\u30023\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f3\u00d77=21\uff0c21\u9664\u4ee55\u6070\u597d\u4f591\uff0c\u4e8e\u662f\u6211\u4eec\u5f97\u5230\u4e86"\u4e94\u6811\u6885\u82b1\u7518\u4e00\u679d"\u3002
\u4e3a\u4e86\u6c42\u51fa\u662f3\u4e0e5\u7684\u500d\u6570\u800c\u75287\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff0c\u6211\u4eec\u770b\u770b3\u4e0e5\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f\u5426\u5408\u4e4e\u8981\u6c42\u30023\u4e0e5\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f3\u00d75=15\uff0c15\u9664\u4ee57\u6070\u597d\u4f591\uff0c\u56e0\u800c\u6211\u4eec\u5f97\u5230\u4e86"\u4e03\u5b50\u56e2\u5706\u6b63\u534a\u6708"\u3002
3\u30015\u30017\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f105\uff0c\u6240\u4ee5"\u9664\u767e\u96f6\u4e94\u4fbf\u5f97\u77e5"\u3002
\u4f8b\u5982\uff1a\u8bd5\u6c42\u4e00\u6570\uff0c\u4f7f\u4e4b\u75284\u9664\u4f593\uff0c\u75285\u9664\u4f592\uff0c\u75287\u9664\u4f595\u3002
\u89e3\uff1a\u6211\u4eec\u5148\u6c42\u662f5\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75284\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff1b5\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f5\u00d77=35\uff0c35\u9664\u4ee54\u4f593\uff0c3\u00d73\u9664\u4ee54\u4f591\uff0c\u56e0\u800c35\u00d73=105\u9664\u4ee54\u4f591\uff0c105\u662f5\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75284\u9664\u4f591\u7684\u6570\u3002
\u6211\u4eec\u518d\u6c424\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75285\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff1b4\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f4\u00d77=28\uff0c28\u9664\u4ee55\u4f593\uff0c3\u00d77\u9664\u4ee55\u4f591\uff0c\u56e0\u800c28\u00d77=196\u9664\u4f595\u4f591\uff0c\u6240\u4ee5196\u662f4\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75285\u9664\u4f591\u7684\u6570\u3002
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\u5229\u7528105\u3001196\u3001120\u8fd9\u4e09\u4e2a\u6570\u53ef\u4ee5\u6c42\u51fa\u7b26\u5408\u9898\u76ee\u8981\u6c42\u7684\u89e3\uff1a
105\u00d73+196\u00d72+120\u00d75=1307\u3002
\u7531\u4e8e4\u30015\u30017\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f4\u00d75\u00d77=140\uff0c1307\u5927\u4e8e140\uff0c\u6240\u4ee51307\u4e0d\u662f\u5408\u4e4e\u9898\u76ee\u8981\u6c42\u7684\u6700\u5c0f\u7684\u89e3\u3002\u75281037\u9664\u4ee5140\u5f97\u5230\u7684\u4f59\u6570\u662f47\uff0c47\u662f\u5408\u4e4e\u9898\u76ee\u7684\u6700\u5c0f\u7684\u6b63\u6574\u6570\u89e3\u3002
\u4e00\u822c\u5730\uff0c
105m+196n+120k (1\u2264m\uff1c4,1\u2264n\uff1c5,1\u2264k\uff1c7)
\u662f\u75284\u9664\u4f59m,\u75285\u9664\u4f59n,\u75287\u9664\u4f59k\u7684\u6570(105m+196n+120k)\u9664\u4ee5140\u6240\u5f97\u7684\u4f59\u6570\u662f\u6ee1\u8db3\u4e0a\u9762\u4e09\u4e2a\u6761\u4ef6\u7684\u6700\u5c0f\u7684\u6b63\u6570\u3002
\u4e0a\u9762\u6211\u4eec\u662f\u4e3a\u4e86\u5199\u51fa105m+196n+120k\u8fd9\u4e2a\u4e00\u822c\u8868\u8fbe\u5f0f\u624d\u6c42\u51fa\u4e86105\u8fd9\u4e2a\u7279\u5f81\u6570\u3002\u5982\u679c\u53ea\u662f\u4e3a\u4e86\u89e3\u7b54\u6211\u4eec\u8fd9\u4e2a\u5177\u4f53\u7684\u4f8b\u9898\uff0c\u7531\u4e8e5\u00d77=35\u65e2\u662f5\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u9664\u4ee54\u53c8\u4f593\uff0c\u5c31\u4e0d\u5fc5\u6c42\u51fa105\u518d\u4e58\u4ee53\u4e86\u3002
35+196\u00d72+120\u00d75=1027
\u5c31\u662f\u7b26\u5408\u9898\u610f\u7684\u6570\u3002
1027=7\u00d7140+47\uff0c
\u7531\u6b64\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5f97\u51fa\u7b26\u5408\u9898\u610f\u7684\u6700\u5c0f\u6b63\u6574\u6570\u89e347\u3002
\u300a\u7b97\u6cd5\u7edf\u5b97\u300b\u4e2d\u628a\u5728\u4ee53\u30015\u30017\u4e3a\u9664\u6570"\u7269\u4e0d\u77e5\u5176\u6570"\u95ee\u9898\u4e2d\u8d77\u91cd\u8981\u4f5c\u7528\u768470\u300121\u300115\u8fd9\u51e0\u4e2a\u7279\u5f81\u6570\u7528\u51e0\u53e5\u53e3\u8bc0\u8868\u8fbe\u51fa\u6765\u4e86\uff0c\u6211\u4eec\u4e5f\u53ef\u4ee5\u628a\u5728\u4ee54\u30015\u30017\u4e3a\u9664\u6570\u7684\u95ee\u9898\u4e2d\u8d77\u91cd\u8981\u4f5c\u7528\u7684105\u3001196\u3001120\u8fd9\u51e0\u4e2a\u7279\u5f81\u6570\u7f16\u4e3a\u53e3\u8bc0\u3002\u7559\u7ed9\u8bfb\u8005\u81ea\u5df1\u53bb\u7f16\u5427\u3002
\u51e1\u662f\u4e09\u4e2a\u9664\u6570\u4e24\u4e24\u4e92\u8d28\u7684\u60c5\u51b5\uff0c\u90fd\u53ef\u4ee5\u7528\u4e0a\u9762\u7684\u65b9\u6cd5\u6c42\u89e3\u3002
\u4e0a\u9762\u7684\u65b9\u6cd5\u6240\u4f9d\u636e\u7684\u7406\u8bba\uff0c\u5728\u4e2d\u56fd\u79f0\u4e4b\u4e3a\u5b59\u5b50\u5b9a\u7406\uff0c\u56fd\u5916\u7684\u4e66\u7c4d\u79f0\u4e4b\u4e3a\u4e2d\u56fd\u5269\u4f59\u5b9a\u7406\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u5c11\u5e74\u767e\u79d1
物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？"
这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？
变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣得多。
我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？
这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。
如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。
要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
最后一个条件是用7除余4。8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。
我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：
三人同行七十稀，
五树梅花甘一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。
这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：
70×2+21×3+15×4=263，
263=2×105+53，
所以，这队士兵至少有53人。
在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：
70是5与7的倍数，而用3除余1；
21是3与7的倍数，而用5除余1；
15是3与5的倍数，而用7除余1。
因而
70×2是5与7的倍数，用3除余2；
21×3是3与7的倍数，用5除余3；
15×4是3与5的倍数，用7除余4。
如果一个数除以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b。所以，把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足"用3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。一般地，
70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7)
能同时满足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k"的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。
我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？
为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了"三人同行七十稀"。
为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我们得到了"五树梅花甘一枝"。
为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了"七子团圆正半月"。
3、5、7的最小公倍数是105，所以"除百零五便得知"。
例如：试求一数，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5。
解：我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5与7的倍数而用4除余1的数。
我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。
最后求的是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。
利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解：
105×3+196×2+120×5=1307。
由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140，1307大于140，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。用1037除以140得到的余数是47，47是合乎题目的最小的正整数解。
一般地，
105m+196n+120k (1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)
是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数(105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。
上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。
35+196×2+120×5=1027
就是符合题意的数。
1027=7×140+47，
由此也可以得出符合题意的最小正整数解47。
《算法统宗》中把在以3、5、7为除数"物不知其数"问题中起重要作用的70、21、15这几个特征数用几句口诀表达出来了，我们也可以把在以4、5、7为除数的问题中起重要作用的105、196、120这几个特征数编为口诀。留给读者自己去编吧。
凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。
上面的方法所依据的理论，在中国称之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理。
韩信点兵又称为中国剩余定理。
相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。你呢？
三人同行七十稀，五马破曹二十一，
七子去了整半月，去百零五便得知。
这就是韩信点兵（中国剩余定理），
应用：仅举一例
一堆糖块3个3个的数剩1个，5个5个的数剩3个，7个7个数
剩2个这堆糖块是：
1*70+3*21+2*15-105=58
所谓的同余问题
你要做的只是解出这个方程组
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