傅里叶变换的定义是什么？ 什么是频域？什么是时域？傅里叶变换是什么意思？我知道傅里叶级...
\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7684\u6982\u5ff5\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u662f\u4e00\u79cd\u5206\u6790\u4fe1\u53f7\u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u5b83\u53ef\u5206\u6790\u4fe1\u53f7\u7684\u6210\u5206\uff0c\u4e5f\u53ef\u7528\u8fd9\u4e9b\u6210\u5206\u5408\u6210\u4fe1\u53f7\u3002\u8bb8\u591a\u6ce2\u5f62\u53ef\u4f5c\u4e3a\u4fe1\u53f7\u7684\u6210\u5206\uff0c\u6bd4\u5982\u6b63\u5f26\u6ce2\u3001\u65b9\u6ce2\u3001\u952f\u9f7f\u6ce2\u7b49\uff0c\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u7528\u6b63\u5f26\u6ce2\u4f5c\u4e3a\u4fe1\u53f7\u7684\u6210\u5206\u3002 f(t)\u662ft\u7684\u5468\u671f\u51fd\u6570\uff0c\u5982\u679ct\u6ee1\u8db3\u72c4\u91cc\u8d6b\u83b1\u6761\u4ef6\uff1a\u5728\u4e00\u4e2a\u4ee52T\u4e3a\u5468\u671f\u5185f(X)\u8fde\u7eed\u6216\u53ea\u6709\u6709\u9650\u4e2a\u7b2c\u4e00\u7c7b\u95f4\u65ad\u70b9\uff0c\u9644f\uff08x\uff09\u5355\u8c03\u6216\u53ef\u5212\u5206\u6210\u6709\u9650\u4e2a\u5355\u8c03\u533a\u95f4\uff0c\u5219F\uff08x\uff09\u4ee52T\u4e3a\u5468\u671f\u7684\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u6536\u655b\uff0c\u548c\u51fd\u6570S\uff08x\uff09\u4e5f\u662f\u4ee52T\u4e3a\u5468\u671f\u7684\u5468\u671f\u51fd\u6570\uff0c\u4e14\u5728\u8fd9\u4e9b\u95f4\u65ad\u70b9\u4e0a\uff0c\u51fd\u6570\u662f\u6709\u9650\u503c\uff1b\u5728\u4e00\u4e2a\u5468\u671f\u5185\u5177\u6709\u6709\u9650\u4e2a\u6781\u503c\u70b9\uff1b\u7edd\u5bf9\u53ef\u79ef\u3002\u5219\u6709\u4e0b\u56fe\u2460\u5f0f\u6210\u7acb\u3002\u79f0\u4e3a\u79ef\u5206\u8fd0\u7b97f(t)\u7684\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\uff0c\u2461\u5f0f\u7684\u79ef\u5206\u8fd0\u7b97\u53eb\u505aF(\u03c9)\u7684\u5085\u7acb\u53f6\u9006\u53d8\u6362\u3002F(\u03c9)\u53eb\u505af(t)\u7684\u50cf\u51fd\u6570\uff0cf(t)\u53eb\u505aF(\u03c9)\u7684\u50cf\u539f\u51fd\u6570\u3002F(\u03c9)\u662ff(t)\u7684\u50cf\u3002f(t)\u662fF(\u03c9)\u539f\u50cf\u3002\u2460\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362 \u2461\u5085\u7acb\u53f6\u9006\u53d8\u6362 * \u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u5c5e\u4e8e\u8c10\u6ce2\u5206\u6790\u3002* \u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7684\u9006\u53d8\u6362\u5bb9\u6613\u6c42\u51fa\uff0c\u800c\u4e14\u5f62\u5f0f\u4e0e\u6b63\u53d8\u6362\u975e\u5e38\u7c7b\u4f3c;* \u6b63\u5f26\u57fa\u51fd\u6570\u662f\u5fae\u5206\u8fd0\u7b97\u7684\u672c\u5f81\u51fd\u6570\uff0c\u4ece\u800c\u4f7f\u5f97\u7ebf\u6027\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u89e3\u53ef\u4ee5\u8f6c\u5316\u4e3a\u5e38\u7cfb\u6570\u7684\u4ee3\u6570\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u89e3.\u5728\u7ebf\u6027\u65f6\u4e0d\u53d8\u7684\u7269\u7406\u7cfb\u7edf\u5185\uff0c\u9891\u7387\u662f\u4e2a\u4e0d\u53d8\u7684\u6027\u8d28\uff0c\u4ece\u800c\u7cfb\u7edf\u5bf9\u4e8e\u590d\u6742\u6fc0\u52b1\u7684\u54cd\u5e94\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u7ec4\u5408\u5176\u5bf9\u4e0d\u540c\u9891\u7387\u6b63\u5f26\u4fe1\u53f7\u7684\u54cd\u5e94\u6765\u83b7\u53d6\uff1b*\u5377\u79ef\u5b9a\u7406\u6307\u51fa\uff1a\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u53ef\u4ee5\u5316\u590d\u6742\u7684\u5377\u79ef\u8fd0\u7b97\u4e3a\u7b80\u5355\u7684\u4e58\u79ef\u8fd0\u7b97\uff0c\u4ece\u800c\u63d0\u4f9b\u4e86\u8ba1\u7b97\u5377\u79ef\u7684\u4e00\u79cd\u7b80\u5355\u624b\u6bb5\uff1b* \u79bb\u6563\u5f62\u5f0f\u7684\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u53ef\u4ee5\u5229\u7528\u6570\u5b57\u8ba1\u7b97\u673a\u5feb\u901f\u5730\u7b97\u51fa\uff08\u5176\u7b97\u6cd5\u79f0\u4e3a\u5feb\u901f\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7b97\u6cd5\uff08FFT)).
\u65f6\u57df Domain of time \u662f\u6307\u4fe1\u53f7\u968f\u65f6\u95f4\u7684\u53d8\u5316\u8fc7\u7a0b\u3002
\u6ce2\u5f62 Wave form \u663e\u793a\u4fe1\u53f7\u7684\u65f6\u57df\u7279\u5f81\uff0c\u5305\u62ec\u91c7\u6837\u65f6\u95f4\u3001\u6bcf\u4e2a\u91c7\u6837\u70b9\u503c\u548c\u5cf0\uff0d\u5cf0\u503c\u7b49\u3002
\u9891\u57df Domain of frequency \u662f\u6307\u4fe1\u53f7\u5728\u9891\u8c31\u4e0a\u7684\u5206\u5e03\u548c\u53d8\u5316\u8fc7\u7a0b\u3002
\u9891\u8c31 Spectrum plot \u9891\u8c31\u663e\u793a\u4fe1\u53f7\u7684\u9891\u57df\uff08\u9891\u7387\uff09\u7279\u5f81\uff0c\u5305\u62ec\u91c7\u6837\u65f6\u95f4\u3001\u901a\u9891\u3001\u4e00\u500d\u9891\u53ca\u5176\u8c10\u6ce2\u7684\u5e45\u503c\u7b49\u3002
\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362 Fourier Transform \u5c06\u539f\u6765\u96be\u4ee5\u5904\u7406\u7684\u65f6\u57df\u4fe1\u53f7\uff08\u6ce2\u5f62\uff09\u8f6c\u6362\u6210\u4e86\u6613\u4e8e\u5206\u6790\u7684\u9891\u57df\u4fe1\u53f7\uff08\u4fe1\u53f7\u7684\u9891\u8c31\uff09
傅立叶变换
中文译名
Transformée de Fourier有多种中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。
应用
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
概要介绍
* 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。
* 傅里叶变换属于谐波分析。
* 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
* 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
* 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
* 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).
基本性质
线性性质
两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅里叶变换\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里叶变换算符\mathcal可经归一化成为么正算符；
频移性质
若函数f \left( x\right )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i \omega_ x}也存在傅里叶变换，且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) 。式中花体\mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位\sqrt；
微分关系
若函数f \left( x\right )当|x|\rightarrow\infty时的极限为0，而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在，则有\mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 �6�1 iω 。更一般地，若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0，且\mathcal[f^{(k)}(x)]存在，则\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( �6�1 iω)k。
卷积特性
若函数f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里叶变换存在，且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。卷积性质的逆形式为\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。
Parseval定理
若函数f \left( x\right )可积且平方可积，则\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^d\omega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。
傅里叶变换的不同变种
连续傅里叶变换
主条目：连续傅立叶变换
一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。
f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.
上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。
一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。
当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform).
另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(�6�1ω) = F(ω)*成立.
绛旓細鍌呴噷鍙跺彉鎹㈠拰鍌呴噷鍙剁骇鏁板睍寮閮藉彲浠ョ敤浜庢弿杩颁俊鍙峰湪棰戝煙鐨勭壒鎬с傚叾涓紝鍌呴噷鍙剁骇鏁板睍寮閫傜敤浜庡懆鏈熶俊鍙凤紝鑰屽倕閲屽彾鍙樻崲閫傜敤浜庡弻杈规棤闄愰暱鐨勯潪鍛ㄦ湡淇″彿銆傚倕閲屽彾鍙樻崲鍜屽倕閲屽彾绾ф暟灞曞紑涔嬮棿鐨勫叧绯绘槸鍌呴噷鍙跺彉鎹㈠彲浠ョ湅浣滄槸鍌呴噷鍙剁骇鏁板睍寮鐨勬瀬闄愭儏鍐点2銆佸倕閲屽彾鍙樻崲鐨勫畾涔 鍌呴噷鍙跺彉鎹㈢殑瀹氫箟鏄涓涓Н鍒嗗紡锛屽皢鏃跺煙...
绛旓細1鐨鍌呴噷鍙跺彉鎹㈡槸2蟺未锛坱锛夈鍌呯珛鍙跺彉鎹锛岃〃绀鸿兘灏嗘弧瓒充竴瀹氭潯浠剁殑鏌愪釜鍑芥暟琛ㄧず鎴愪笁瑙掑嚱鏁帮紙姝ｅ鸡鍜/鎴栦綑寮﹀嚱鏁帮級鎴栬呭畠浠殑绉垎鐨勭嚎鎬х粍鍚堬紝鍦ㄤ笉鍚岀殑鐮旂┒棰嗗煙锛屽倕绔嬪彾鍙樻崲鍏锋湁澶氱涓嶅悓鐨勫彉浣撳舰寮忥紝濡傝繛缁倕绔嬪彾鍙樻崲鍜岀鏁ｅ倕绔嬪彾鍙樻崲锛屾渶鍒濆倕绔嬪彾鍒嗘瀽鏄綔涓虹儹杩囩▼鐨勮В鏋愬垎鏋愮殑宸ュ叿琚彁鍑虹殑銆瀹氫箟锛歠(t...
绛旓細闃惰穬鍑芥暟鏄竴绉嶅父瑙佺殑淇″彿鍑芥暟锛岀敤绗﹀彿u(t)琛ㄧず锛屽畠鍦╰=0澶勪粠0璺宠穬鍒1銆傞樁璺冨嚱鏁扮殑鍌呴噷鍙跺彉鎹㈠彲浠ラ氳繃鍌呴噷鍙跺彉鎹㈢殑瀹氫箟鍜屾ц川鏉ヨ〃绀恒傛牴鎹倕閲屽彾鍙樻崲鐨勫畾涔夛紝瀵逛簬闃惰穬鍑芥暟u(t)锛屽叾鍌呴噷鍙跺彉鎹(蠅)瀹氫箟涓猴細U(蠅) = 鈭玔0,鈭) u(t) * exp(-j蠅t) dt 鏍规嵁闃惰穬鍑芥暟鐨勫畾涔夛紝鍦╰=0涔嬪墠u(...
绛旓細鍌呴噷鍙跺彉鎹 缁村熀鐧剧锛岃嚜鐢辩殑鐧剧鍏ㄤ功 (閲嶅畾鍚戣嚜鍌呯珛鍙跺彉鎹)璺宠浆鍒帮細 瀵艰埅, 鎼滅储 鏈潯鐩渶瑕佹竻鐞嗘垨閲嶅啓锛屼互绗﹀悎鏇撮珮鐨勮川閲忔爣鍑嗐傚弬鐪嬪浣曠紪杈戦〉闈佹牸寮忔寚鍗楀拰鏈潯鐩殑璁ㄨ椤点鍌呴噷鍙跺彉鎹㈢殑鍩烘湰鎬濇兂棣栧厛鐢辨硶鍥藉鑰呭倕閲屽彾绯荤粺鎻愬嚭锛屾墍浠ヤ互鍏跺悕瀛楁潵鍛藉悕浠ョず绾康銆備粠鐜颁唬鏁板鐨勭溂鍏夋潵鐪嬶紝鍌呴噷鍙跺彉鎹㈡槸涓绉...
绛旓細绂绘暎鏃堕棿鍌呴噷鍙跺彉鎹紝绠绉帮細DTFT锛屾槸鍌呴噷鍙跺彉鎹㈢殑涓绉嶃傚畠灏嗕互绂绘暎鏃堕棿nT锛屽叾涓紝T涓洪噰鏍烽棿闅旓紝浣滀负鍙橀噺鐨勫嚱鏁板彉鎹㈠埌杩炵画鐨勯鍩燂紝鍗充骇鐢熻繖涓鏁ｆ椂闂翠俊鍙风殑杩炵画棰戣氨锛屽煎緱娉ㄦ剰鐨勬槸杩欎竴棰戣氨鏄懆鏈熺殑銆傜鏁ｆ椂闂村倕閲屽彾鍙樻崲鐨勬ц川锛1銆佸懆鏈熸э紱2銆佺嚎鎬фэ紱3銆佸叡杞绉版э紱4銆佸嵎绉壒鎬э紱5銆佺浉涔樼壒鎬э紱6銆...
绛旓細1鐨鍌呴噷鍙跺彉鎹㈡槸鎸囧皢涓涓父鏁板嚱鏁1鍦ㄥ倕閲屽彾鍙樻崲涓殑琛ㄧず銆傚倕閲屽彾鍙樻崲鏄竴绉嶆暟瀛﹀彉鎹紝鐢ㄤ簬灏嗕竴涓嚱鏁拌〃绀轰负涓缁勬寮﹀拰浣欏鸡鍑芥暟鐨勭嚎鎬х粍鍚堛傚浜庡父鏁板嚱鏁1锛屽畠鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲琛ㄧず涓轰竴涓剦鍐插嚱鏁帮紝鍗冲湪棰戝煙涓婄殑琛ㄧず涓轰竴涓父鏁板箙搴︾殑姝ｅ鸡鍑芥暟銆傝繖鎰忓懗鐫甯告暟鍑芥暟1鍦ㄩ鍩熶笂娌℃湁棰戠巼鎴愬垎锛屽彧鏈変竴涓箙搴︽垚鍒嗐
绛旓細(1) 瀵逛簬鍑芥暟 y(x) = sin(x^2) 锛屽叾鍌呴噷鍙跺彉鎹㈠畾涔濡備笅锛欶(蠅) = 鈭玔from -鈭 to +鈭瀅 y(x) * exp(-i蠅x) dx 鍏朵腑 F(蠅) 琛ㄧず y(x) 鐨勫倕閲屽彾鍙樻崲锛屜夋槸棰戠巼锛宨鏄櫄鏁板崟浣嶏紝exp鏄嚜鐒舵寚鏁板嚱鏁般傜敱浜庣粰瀹氱殑鍑芥暟鏄潪鏍囧噯褰㈠紡鐨勶紝鍏跺倕閲屽彾鍙樻崲娌℃湁绠鍗曠殑瑙ｆ瀽瑙ｃ傞氬父鎯呭喌涓嬶紝...
绛旓細2.绂绘暎鏃堕棿搴忓垪x(n)鐨勫倕閲屽弽鍙樻崲瀹氫箟锛氱鏁ｆ椂闂鍌呴噷鍙跺彉鎹锛圖TFT)鍗冲簭鍒楃殑鍌呴噷鍙跺彉鎹紝鍦ㄥ垎鏋愪俊鍙风殑棰戣氨锛岀爺绌剁鏁ｆ椂闂寸郴缁熺殑棰戝煙鐗规т互鍙婂湪淇″彿閫氳繃绯荤粺鍚庣殑棰戝煙鐨勫垎鏋愭椂锛岄兘鏄富瑕佺殑宸ュ叿銆傚畠鍙互瀹炵幇淇″彿鍦ㄩ鍩熺殑绂绘暎鍖栵紝浠庤屼娇鍒╃敤璁＄畻鏈哄湪棰戝煙杩涜淇″彿澶勭悊鎴愪负鍙兘銆傚簭鍒楀倕閲屽彾鍙樻崲鏀舵暃鎬--绂绘暎鏃堕棿...
绛旓細鍦ㄤ笉鍚岀殑鐮旂┒棰嗗煙锛屽倕绔嬪彾鍙樻崲鍏锋湁澶氱涓嶅悓鐨勫彉浣撳舰寮忥紝濡傝繛缁倕绔嬪彾鍙樻崲鍜岀鏁ｅ倕绔嬪彾鍙樻崲銆傛渶鍒濆倕绔嬪彾鍒嗘瀽鏄綔涓虹儹杩囩▼鐨勮В鏋愬垎鏋愮殑宸ュ叿琚彁鍑虹殑銆傜浉鍏瀹氫箟 1銆佸倕閲屽彾鍙樻崲灞炰簬璋愭尝鍒嗘瀽銆2銆鍌呴噷鍙跺彉鎹㈢殑閫嗗彉鎹㈠鏄撴眰鍑猴紝鑰屼笖褰㈠紡涓庢鍙樻崲闈炲父绫讳技銆3銆佹寮﹀熀鍑芥暟鏄井鍒嗚繍绠楃殑鏈緛鍑芥暟锛屼粠鑰屼娇寰楃嚎鎬...
绛旓細1鐨鍌呴噷鍙跺彉鎹㈡槸2蟺未锛坱锛夈鍌呯珛鍙跺彉鎹瀵规湁澶氱瀹氫箟褰㈠紡锛屽鏋滈噰鐢ㄤ笅鍒楀彉鎹㈠銆傚嵆锛欶锛埾夛級=鈭紙鈭烇紝-鈭烇級f(t)e^(-i蠅t)dtf(t)=(1/2蟺)鈭紙鈭烇紝-鈭烇級F锛埾夛級e^(i蠅t)d蠅銆備护锛歠(t)=未锛坱锛夛紝閭ｄ箞锛氣埆锛堚垶锛-鈭烇級未锛坱锛塭^(-i蠅t)dt=1銆傝屼笂寮忕殑鍙嶅彉鎹細锛1/2蟺...
