求ρ=2asinθ，ρ=2acosθ，ρ= -2asinθ，ρ=-2acosθ所围成图形面积，a>0 求曲线所围成图形的面积 ρ=2acosθ，用定积分算
\u6c42\u6781\u5750\u6807\u65b9\u7a0b\u5206\u522b\u662f\u03c1=2acos\u03b8\u548c\u03c1=2asin\u03b8\u7684\u4e24\u4e2a\u5706\u7684\u516c\u5171\u5f26\u957f\u5ea6,\u03c1=2asin\u03b8\u7684\u56fe\u50cf\u600e\u6837\u753b\uff1f\u4e24\u4e2a\u5706\u7684\u516c\u5171\u5f26\u957f\u5ea6\u662f\u753b\u4e0d\u51fa\u6765\u7684\u3002
\u03c1=2acos\u03b8
\u03c1=2asin\u03b8
tan\u03b8=1 \u03c11=\u6839\u53f72a \u6216 \u03c12=-\u6839\u53f72a
\u516c\u5171\u5f26\u957f\u4e3a \u03c11-\u03c12=2\u6839\u53f72a
\u89e3\u9898\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
cos\u03b8=\u03c1/2a>=0
\u6240\u4ee5\u03b8\u8303\u56f4\u662f\uff08-\u03c0/2,\u03c0/2)
S=\u222b1/2*\u03c1^2d\u03b8
=\u222b2a^2cos\u03b8d\u03b8
=a^2\u222b(1+cos2\u03b8)d\u03b8
=a^2+1/2a^2sin2\u03b8
\u79ef\u5206\u8303\u56f4\u662f\uff08-\u03c0/2,\u03c0/2\uff09
\u6545S=a^2(\u03c0/2+\u03c0/2)
=\u03c0a^2
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u5b9a\u79ef\u5206\u4e0e\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff1a\u82e5\u5b9a\u79ef\u5206\u5b58\u5728\uff0c\u5219\u5b83\u662f\u4e00\u4e2a\u5177\u4f53\u7684\u6570\u503c\uff08\u66f2\u8fb9\u68af\u5f62\u7684\u9762\u79ef\uff09\uff0c\u800c\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u662f\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\u8868\u8fbe\u5f0f\uff0c\u5b83\u4eec\u4ec5\u4ec5\u5728\u6570\u5b66\u4e0a\u6709\u4e00\u4e2a\u8ba1\u7b97\u5173\u7cfb\uff08\u725b\u987f-\u83b1\u5e03\u5c3c\u8328\u516c\u5f0f\uff09\uff0c\u5176\u5b83\u4e00\u70b9\u5173\u7cfb\u90fd\u6ca1\u6709\uff01
\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\uff0c\u53ef\u4ee5\u5b58\u5728\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u800c\u4e0d\u5b58\u5728\u5b9a\u79ef\u5206\uff1b\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5b58\u5728\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u800c\u4e0d\u5b58\u5728\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u3002\u4e00\u4e2a\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\uff0c\u4e00\u5b9a\u5b58\u5728\u5b9a\u79ef\u5206\u548c\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff1b\u82e5\u53ea\u6709\u6709\u9650\u4e2a\u95f4\u65ad\u70b9\uff0c\u5219\u5b9a\u79ef\u5206\u5b58\u5728\uff1b\u82e5\u6709\u8df3\u8dc3\u95f4\u65ad\u70b9\uff0c\u5219\u539f\u51fd\u6570\u4e00\u5b9a\u4e0d\u5b58\u5728\uff0c\u5373\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u4e00\u5b9a\u4e0d\u5b58\u5728\u3002
\u5373\u5df2\u77e5\u5bfc\u6570\u6c42\u539f\u51fd\u6570\u3002\u82e5F\u2032(x)=f(x)\uff0c\u90a3\u4e48[F(x)+C]\u2032=f(x).(C\u2208R C\u4e3a\u5e38\u6570).\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\uff0c\u628af(x)\u79ef\u5206\uff0c\u4e0d\u4e00\u5b9a\u80fd\u5f97\u5230F(x)\uff0c\u56e0\u4e3aF(x)+C\u7684\u5bfc\u6570\u4e5f\u662ff(x)\uff08C\u662f\u4efb\u610f\u5e38\u6570\uff09\u3002\u6240\u4ee5f(x)\u79ef\u5206\u7684\u7ed3\u679c\u6709\u65e0\u6570\u4e2a\uff0c\u662f\u4e0d\u786e\u5b9a\u7684\u3002\u6211\u4eec\u4e00\u5f8b\u7528F(x)+C\u4ee3\u66ff\uff0c\u8fd9\u5c31\u79f0\u4e3a\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u3002\u5373\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u5bfc\u6570\u6709\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u5b83\u5c31\u6709\u65e0\u9650\u591a\u4e2a\u539f\u51fd\u6570\u3002
①ρ=2asinθ，②ρ=2acosθ，③ρ= -2asinθ，④ρ=-2acosθ
四个曲线的图形都是以a为半径的园，只是位置不同﹙如图﹚。面积都是πa²。
如果题目是要计算它们未成的“四叶花”的面积，则此面积＝4×[πa²/2-a²]＝﹙2π-4﹚a²
绛旓細鈶蟻=2asin胃锛鈶∠=2acos胃锛屸憿蟻= -2asin胃锛屸懀蟻=-2acos胃 鍥涗釜鏇茬嚎鐨勫浘褰㈤兘鏄互a涓哄崐寰勭殑鍥紝鍙槸浣嶇疆涓嶅悓锕欏鍥撅箽銆傞潰绉兘鏄a²銆傚鏋滈鐩槸瑕佽绠楀畠浠湭鎴愮殑鈥滃洓鍙惰姳鈥濈殑闈㈢Н锛屽垯姝ら潰绉紳4脳[蟺a²/2-a²]锛濓箼2蟺-4锕歛²
绛旓細蟻=2asin胃灏辨槸x?+y?=2ay,鍗 +锛坹-a锛?=a?蟻=a鍗硏?+y?=a 涓よ呯浉浜ら潰绉彲浠ユ媶鎴愪笂涓嬩袱閮ㄥ垎鐩哥瓑鐨勨滃彾褰⑩濅竴涓彾褰㈢殑闈㈢Н绛変簬鎵囧舰闈㈢Н鍑忓幓瀵瑰簲绛夎叞涓夎褰㈤潰绉 鎵囧舰闈㈢Н鏄笁鍒嗕箣涓涓渾闈㈢Н,鍗诚a?/3,鍥犱负鍦嗗績瑙120掳 瀵瑰簲涓夎褰㈤潰绉,鏍规嵁鐩磋涓夎褰笁杈瑰叧绯诲緱鏍瑰彿3a*a/2*1/2=鏍瑰彿3a?
绛旓細胃=arccos(1/e) 浠の=0,寰楀嚭蟻=ep/1-e, x=蟻cos胃=ep/1-e 浠の=PI,寰楀嚭蟻=ep/1+e ,x=蟻cos胃=-ep/1+e 杩欎袱涓獂鏄弻鏇茬嚎瀹氱偣鐨勬í鍧愭爣銆 姹傚嚭浠栦滑鐨勪腑鐐圭殑妯潗鏍(鍙屾洸绾夸腑蹇冩í鍧愭爣) x=銆(ep/1-e)+(-ep/1+e)銆/2 (娉ㄦ剰鍖栫畝涓涓) 鐩寸嚎蟻cos胃=銆(ep/1-e)+(-ep/1+e)銆/2 ...
绛旓細蟻²=2a蟻sin胃 x²+y²=2ay 鍗硏²+(y-a)²=a²鈭礱>0 鈭村渾蹇冧负C(0,a)鍗婂緞r=a 鐩寸嚎L鎴渾C寮﹂暱|AB|鈮モ垰3a 璁惧渾蹇僀鍒扮洿绾縇鐨勮窛绂讳负d 鍒檇²=a²-(|AB|/2)²鈮²-3a²/4=a²/4 d鈮/2 鍙圠:4x-3y+5...
绛旓細瑙ｏ細棣栧厛锛屼袱鍦嗘湁浜ょ偣O锛岃鍙︿氦鐐癸紙蟻锛胃锛夛紝鏈 蟻=2acos胃=2asin胃 胃=pi/4锛屽緱蟻=2^(1/2)a 涓烘墍姹傛倡闀
绛旓細灏喯乻in胃=y 蟻cos胃=x 浠ｅ叆x^2+y^2-2ay=0涓 蟻^2=2a蟻sin胃 蟻=2asin胃 灏辨槸杩欐牱鐨勫柕~!
绛旓細鎹㈢畻鍒扮瑳鍗″皵鍧愭爣绯伙紝绗竴涓氨鏄互(a,0)涓哄渾蹇冿紝鍗婂緞涓篴鐨勫渾锛涚浜屼釜灏辨槸浠(0,0)涓哄渾蹇冿紝鍗婂緞涓篴鐨勫渾銆傛墍浠ュ叕鍏遍儴鍒嗗氨鏄竴涓暱寰楄窡鑿卞舰鏈変竴鐐圭偣鍍忕殑閮ㄥ垎锛岄潰绉畻璧锋潵姣旇緝绠鍗曪紝绛旀鏄(2/3*pie-(鏍瑰彿3)/4)*a^2
绛旓細涓や釜鍦嗙殑鍏叡寮﹂暱搴︽槸鐢讳笉鍑烘潵鐨勩傁=2acos胃 蟻=2asin胃 tan胃=1 蟻1=鏍瑰彿2a 鎴 蟻2=-鏍瑰彿2a 鍏叡寮﹂暱涓 蟻1-蟻2=2鏍瑰彿2a
绛旓細涓よ竟鍚屼箻蟻寰 蟻骞虫柟=2a蟻sin胃(a>0),X2+Y2=2aY(a>0),X骞虫柟+锛圷-a锛夊钩鏂=a骞虫柟
绛旓細鏂圭▼涓 蟻=2asin胃 S=鈭埆蟻d蟻d胃 蟻浠0鍒2asin胃 胃浠幭/2-伪鍒跋/2 =鈭玠胃*蟻²/2 =鈭玠胃*2a²sin²胃 =a²鈭(1-cos2胃)d胃 =a²(胃-½sin2胃)=a²(伪+½sin(蟺-2伪))=a²(伪+½sin2伪)
