极限和积分在同一个运算式里面运算的先后顺序可以调换，可是前提条件是什么呢…… 微积分里的两个重要极限指什么
\u4ec0\u4e48\u65f6\u5019\u6781\u9650\u80fd\u548c\u79ef\u5206\u7b26\u53f7\u4e92\u6362\u4f4d\u7f6e\u6781\u9650\u7b26\u53f7\u548c\u79ef\u5206\u7b26\u53f7\u4e00\u822c\u60c5\u51b5\u4e0d\u80fd\u4ea4\u6362\u4f4d\u7f6e\uff0c\u53ea\u6709\u6ee1\u8db3\u4e00\u5b9a\u6761\u4ef6\u624d\u80fd\u4ea4\u6362\u4f4d\u7f6e\uff1b\u5e7f\u4e49\u610f\u4e49\u4e0b\uff0c\u6781\u9650\u7b26\u53f7\u548c\u79ef\u5206\u7b26\u53f7\u53ef\u4ee5\u4ea4\u6362\u4f4d\u7f6e\uff0c\u8fd9\u4e3b\u8981\u53d1\u751f\u5728\u5de5\u7a0b\u5e94\u7528\u4e2d\uff0c\u56e0\u4e3a\u4ea4\u6362\u7684\u7ed3\u679c\u5f80\u5f80\u7b26\u5408\u5de5\u7a0b\u5b9e\u9645\u3002
\u4f8b1\uff1a fn(x)=xn, x\u2208(0,1)\uff0c
fn(x)\u5728\uff080\uff0c1\uff09\u4e0a\u5904\u5904\u6536\u655b\u52300\uff0c\u4f46\u4e0d\u4e00\u81f4\u6536\u655b\u52300\u3002
\u4f8b2\uff1agn(x)=(n+1)xn, x\u2208(0,1)\uff0c
gn(x) \u540c\u6837\u5728\uff080\uff0c1\uff09\u4e0a\u5904\u5904\u6536\u655b\u52300\uff0c\u4f46\u4e0d\u4e00\u81f4\u6536\u655b\u52300\u3002
\u7136\u800c\u8fd9\u4e24\u4e2a\u51fd\u6570\u5217\u6709\u5f88\u5927\u4e0d\u540c\uff0c\u5206\u522b\u5bf9\u4e24\u8005\u505a\u79ef\u5206\u6211\u4eec\u770b\u5230\uff1a
\u222b\uff080\uff0c1\uff09fn\uff08x\uff09dx=1/(n+1)\u21920=\u222b(0,1)0dx
\u222b\uff080\uff0c1\uff09gn\uff08x\uff09dx=1\u22600\u3002
\u8fd9\u5c31\u662f\u8bf4\uff0c\u5c3d\u7ba1\u6211\u4eec\u5c06\uff080\uff0c1\uff09\u533a\u95f4\u6316\u6389\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u5145\u5206\u5c0f\u7684\u533a\u95f4\uff08\u03b4\uff0c1\uff09\u540e\uff0cfn(x) \u4e0egn(x)\u5728\uff080\uff0c\u03b4\uff09\u4e0a\u90fd\u4e00\u81f4\u6536\u655b\u52300\uff0c\u4f46\u524d\u8005\u79ef\u5206\u4e0e\u6781\u9650\u53ef\u4ee5\u4ea4\u6362\u987a\u5e8f\uff0c\u540e\u8005\u5219\u4e0d\u7136\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5bf9\u4e8e\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570f\uff0c\u5982\u679c\u5728\u95ed\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\uff0c\u65e0\u8bba\u600e\u6837\u8fdb\u884c\u53d6\u6837\u5206\u5272\uff0c\u53ea\u8981\u5b83\u7684\u5b50\u533a\u95f4\u957f\u5ea6\u6700\u5927\u503c\u8db3\u591f\u5c0f\uff0c\u51fd\u6570f\u7684\u9ece\u66fc\u548c\u90fd\u4f1a\u8d8b\u5411\u4e8e\u4e00\u4e2a\u786e\u5b9a\u7684\u503cS\uff0c\u90a3\u4e48f\u5728\u95ed\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\u7684\u9ece\u66fc\u79ef\u5206\u5b58\u5728\uff0c\u5e76\u4e14\u5b9a\u4e49\u4e3a\u9ece\u66fc\u548c\u7684\u6781\u9650S\u3002
\u5229\u7528\u6781\u9650\u7684\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\u7ed9\u51fa\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u3001\u5bfc\u6570\u3001\u5b9a\u79ef\u5206\u3001\u7ea7\u6570\u7684\u655b\u6563\u6027\u3001\u591a\u5143\u51fd\u6570\u7684\u504f\u5bfc\u6570\uff0c\u5e7f\u4e49\u79ef\u5206\u7684\u655b\u6563\u6027\u3001\u91cd\u79ef\u5206\u548c\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u4e0e\u66f2\u9762\u79ef\u5206\u7684\u6982\u5ff5\u3002
\u8bbe{xn}\u4e3a\u4e00\u4e2a\u65e0\u7a77\u5b9e\u6570\u6570\u5217\u7684\u96c6\u5408\u3002\u5982\u679c\u5b58\u5728\u5b9e\u6570a\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u6b63\u6570\u03b5 \uff08\u4e0d\u8bba\u5176\u591a\u4e48\u5c0f\uff09\uff0c\u90fd∃N>0\uff0c\u4f7f\u4e0d\u7b49\u5f0f|xn-a|<\u03b5\u5728n\u2208(N,+\u221e)\u4e0a\u6052\u6210\u7acb\uff0c\u90a3\u4e48\u5c31\u79f0\u5e38\u6570a\u662f\u6570\u5217{xn} \u7684\u6781\u9650\uff0c\u6216\u79f0\u6570\u5217{xn} \u6536\u655b\u4e8ea\u3002
N\u968f\u03b5\u7684\u53d8\u5c0f\u800c\u53d8\u5927\uff0c\u56e0\u6b64\u5e38\u628aN\u5199\u4f5cN(\u03b5)\uff0c\u4ee5\u5f3a\u8c03N\u5bf9\u03b5\u7684\u53d8\u5316\u800c\u53d8\u5316\u7684\u4f9d\u8d56\u6027\u3002\u4f46\u8fd9\u5e76\u4e0d\u610f\u5473\u7740N\u662f\u7531\u03b5\u552f\u4e00\u786e\u5b9a\u7684\uff1a\uff08\u6bd4\u5982\u82e5n>N\u4f7f|xn-a|N+1\u3001n>2N\u7b49\u4e5f\u4f7f|xn-a|<\u03b5\u6210\u7acb\uff09\u3002\u91cd\u8981\u7684\u662fN\u7684\u5b58\u5728\u6027\uff0c\u800c\u4e0d\u5728\u4e8e\u5176\u503c\u7684\u5927\u5c0f\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u6781\u9650
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u79ef\u5206\u7b26\u53f7
\u4e24\u4e2a\u91cd\u8981\u6781\u9650\uff1a
\u6781\u9650\u662f\u5fae\u79ef\u5206\u4e2d\u7684\u57fa\u7840\u6982\u5ff5\uff0c\u5b83\u6307\u7684\u662f\u53d8\u91cf\u5728\u4e00\u5b9a\u7684\u53d8\u5316\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u4ece\u603b\u7684\u6765\u8bf4\u9010\u6e10\u7a33\u5b9a\u7684\u8fd9\u6837\u4e00\u79cd\u53d8\u5316\u8d8b\u52bf\u4ee5\u53ca\u6240\u8d8b\u5411\u7684\u503c\uff08\u6781\u9650\u503c\uff09\u3002\u6781\u9650\u7684\u6982\u5ff5\u6700\u7ec8\u7531\u67ef\u897f\u548c\u9b4f\u5c14\u65af\u7279\u62c9\u65af\u7b49\u4eba\u4e25\u683c\u9610\u8ff0\u3002\u5728\u73b0\u4ee3\u7684\u6570\u5b66\u5206\u6790\u6559\u79d1\u4e66\u4e2d\uff0c\u51e0\u4e4e\u6240\u6709\u57fa\u672c\u6982\u5ff5\uff08\u8fde\u7eed\u3001\u5fae\u5206\u3001\u79ef\u5206\uff09\u90fd\u662f\u5efa\u7acb\u5728\u6781\u9650\u6982\u5ff5\u7684\u57fa\u7840\u4e4b\u4e0a\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5341\u4e03\u4e16\u7eaa\u4ee5\u6765\uff0c\u5fae\u79ef\u5206\u7684\u6982\u5ff5\u548c\u6280\u5de7\u4e0d\u65ad\u6269\u5c55\u5e76\u88ab\u5e7f\u6cdb\u5e94\u7528\u6765\u89e3\u51b3\u5929\u6587\u5b66\u3001\u7269\u7406\u5b66\u4e2d\u7684\u5404\u79cd\u5b9e\u9645\u95ee\u9898\uff0c\u53d6\u5f97\u4e86\u5de8\u5927\u7684\u6210\u5c31\u3002\u4f46\u76f4\u5230\u5341\u4e5d\u4e16\u7eaa\u4ee5\u524d\uff0c\u5728\u5fae\u79ef\u5206\u7684\u53d1\u5c55\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u5176\u6570\u5b66\u5206\u6790\u7684\u4e25\u5bc6\u6027\u95ee\u9898\u4e00\u76f4\u6ca1\u6709\u5f97\u5230\u89e3\u51b3\u3002
\u5341\u516b\u4e16\u7eaa\u4e2d\uff0c\u5305\u62ec\u725b\u987f\u548c\u83b1\u5e03\u5c3c\u5179\u5728\u5185\u7684\u8bb8\u591a\u5927\u6570\u5b66\u5bb6\u90fd\u89c9\u5bdf\u5230\u8fd9\u4e00\u95ee\u9898\u5e76\u5bf9\u8fd9\u4e2a\u95ee\u9898\u4f5c\u4e86\u52aa\u529b\uff0c\u4f46\u90fd\u6ca1\u6709\u6210\u529f\u5730\u89e3\u51b3\u8fd9\u4e2a\u95ee\u9898\u3002
\u6574\u4e2a\u5341\u516b\u4e16\u7eaa\uff0c\u5fae\u79ef\u5206\u7684\u57fa\u7840\u662f\u6df7\u4e71\u548c\u4e0d\u6e05\u695a\u7684\uff0c\u8bb8\u591a\u82f1\u56fd\u6570\u5b66\u5bb6\u4e5f\u8bb8\u662f\u7531\u4e8e\u4ecd\u7136\u4e3a\u53e4\u5e0c\u814a\u7684\u51e0\u4f55\u6240\u675f\u7f1a\uff0c\u56e0\u800c\u6000\u7591\u5fae\u79ef\u5206\u7684\u5168\u90e8\u5de5\u4f5c\u3002
\u8fd9\u4e2a\u95ee\u9898\u4e00\u76f4\u5230\u5341\u4e5d\u4e16\u7eaa\u4e0b\u534a\u53f6\u624d\u7531\u6cd5\u56fd\u6570\u5b66\u5bb6\u67ef\u897f\u5f97\u5230\u4e86\u5b8c\u6574\u7684\u89e3\u51b3\uff0c\u67ef\u897f\u6781\u9650\u5b58\u5728\u51c6\u5219\u4f7f\u5f97\u5fae\u79ef\u5206\u6ce8\u5165\u4e86\u4e25\u5bc6\u6027\uff0c\u8fd9\u5c31\u662f\u6781\u9650\u7406\u8bba\u7684\u521b\u7acb\u3002\u6781\u9650\u7406\u8bba\u7684\u521b\u7acb\u4f7f\u5f97\u5fae\u79ef\u5206\u4ece\u6b64\u5efa\u7acb\u5728\u4e00\u4e2a\u4e25\u5bc6\u7684\u5206\u6790\u57fa\u7840\u4e4b\u4e0a\uff0c\u5b83\u4e5f\u4e3a20\u4e16\u7eaa\u6570\u5b66\u7684\u53d1\u5c55\u5960\u5b9a\u4e86\u57fa\u7840\u3002
\u7b2c\u4e00\u4e2a\u4e3a\u8865\u6551\u7b2c\u4e8c\u6b21\u6570\u5b66\u5371\u673a\u63d0\u51fa\u771f\u6b63\u6709\u89c1\u5730\u7684\u610f\u89c1\u7684\u662f\u6cd5\u56fd\u6570\u5b66\u5bb6\u8fbe\u6717\u8d1d\u5c14\u3002\u4ed6\u57281754\u5e74\u6307\u51fa\uff0c\u5fc5\u987b\u7528\u66f4\u53ef\u9760\u7684\u7406\u8bba\u53bb\u4ee3\u66ff\u5f53\u65f6\u4f7f\u7528\u7684\u7c97\u7cd9\u7684\u6781\u9650\u7406\u8bba\u3002\u4f46\u662f\u4ed6\u672c\u4eba\u672a\u80fd\u63d0\u4f9b\u8fd9\u6837\u7684\u7406\u8bba\u3002\u6700\u65e9\u4f7f\u5fae\u79ef\u5206\u4e25\u683c\u5316\u7684\u662f\u62c9\u683c\u6717\u65e5\u3002
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但事实上，这个条件要求过强，在实变函数论中，我们有Lebesgue控制收敛定理，维塔利定理等等都是专门解决这个问题的
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