斯坦纳定理的几何定理 看上去简单却十分难的一道几何证明题 求数学高手解答
\u65af\u5766\u7eb3\u5b9a\u7406\u5982\u4f55\u8bc1\u660e\u8bc1\u660e\uff1a
\u8bbe\u5728\u4e09\u89d2\u5f62ABC\u4e2d\uff0c\u6709B\u3001C\u7684\u89d2\u5e73\u5206\u7ebfCF\u3001BE\u4ea4\u4e8eO
BE\u662f\u89d2\u5e73\u5206\u7ebf\u63a8\u51fa\uff1aBC/CE=AB/AE\uff0c\u540c\u7406\uff1aBC/BD=AC/AD\uff0c\u56e0\u4e3aBD=CE\uff0c\u6240\u4ee5\u7b49\u91cf\u4ee3\u6362\u5f97\u51fa\uff1a
AB/AE=AC/AD\uff0c\u89d2A\u662f\u516c\u5171\u89d2\uff0c\u6240\u4ee5\u4e09\u89d2\u5f62ACD\u4e0eABE\u76f8\u4f3c\uff0c\u6240\u4ee5\u2220ACD=\u2220ABE\uff0c\u540c\u7406\u2220BDC=\u2220BEC\uff0c\u518d\u52a0\u4e0aBD=CE\uff0c\u6240\u4ee5\u4e09\u89d2\u5f62BOD\u5168\u7b49\u4e8e\u4e09\u89d2\u5f62OEC\uff0c\u6240\u4ee5OB=OC\u4e14\u2220DBE=\u2220ECD\uff0cOB=OC\u63a8\u51fa\u2220OBC=\u2220OCB\uff0c\u518d\u7b49\u91cf\u4ee3\u6362\u5f97\u5230\u2220ABC=\u2220ACB\uff0c\u6240\u4ee5AB=AC
\u7531\u89d2\u5e73\u5206\u7ebf\u7684\u5bf9\u5e94\u8fb9\u6210\u6bd4\u4f8b\uff0c\u6240\u4ee5
BC/CE=AB/AE\uff0cBC/BE=AC/AE
\u56e0\u4e3a BE=CD \u6240\u4ee5 AB/AE=AC/AD
\u6240\u4ee5\u4e09\u89d2\u5f62ABC\u548c\u4e09\u89d2\u5f62ACE\u76f8\u4f3c
\u7531\u76f8\u4f3c\u4e09\u89d2\u5f62\u5bf9\u5e94\u89d2\u76f8\u7b49\uff0c\u6240\u4ee5\u89d2ABE=\u89d2ACD
\u6240\u4ee5\u89d2ABC=\u89d2ACB
\u5f97\u8bc1~\u4e09\u89d2\u5f62ABC\u4e3a\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62
斯坦纳定理：“如果三角形中两内角平分线长度相等，则必为等腰三角形”。这一命题的逆命题：“等腰三角形两底角的平分线长在相等”，早在二千多年前的《几何原本》中就已作为定理，证明是很容易的。
但上述命题在《几何原本》中只字未提，直到1840年，莱默斯（C.L.Lehmus）在他给斯图姆的信中提出请求给出一个纯几何证明。斯图姆没有解决，就向许多数学家提出这一问题。首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863），因而这一定理就称为斯坦纳—莱默斯定理。
扩展资料：
证明：
在△ABC中，BD,CE为其角平分线，且BD=CE
设∠ABD=∠CBD=x,∠ACE=∠BCE=y
根据张角定理，有
2cosx/BD=1/AB+1/BC
2cosy/CE=1/AC+1/BC
则2*AB*BC*cosx/(AB+BC)=BD=CE=2*AC*BC*cosy/(AC+BC)
即(AB*(AC+BC))/(AC*(AB+BC))=cosy/cosx
利用分比定理。并对cosy-cosx使用和差化积
AB-AC=(-(2*AC*(AB+BC))/(BC*cosx))*sin((y+x)/2)*sin((y-x)/2)
若AB>AC，则上式左端为正，右端为负
若AB<AC，则上式左端为负，右端为正
故AB=AC
参考资料来源：百度百科-斯坦纳定理
在△ABC中，BD,CE为其角平分线，且BD=CE
设∠ABD=∠CBD=x,∠ACE=∠BCE=y
根据张角定理，有
2cosx/BD=1/AB+1/BC
2cosy/CE=1/AC+1/BC
则2*AB*BC*cosx/(AB+BC)=BD=CE=2*AC*BC*cosy/(AC+BC)
即(AB*(AC+BC))/(AC*(AB+BC))=cosy/cosx
利用分比定理。并对cosy-cosx使用和差化积
AB-AC=(-(2*AC*(AB+BC))/(BC*cosx))*sin((y+x)/2)*sin((y-x)/2)
若AB>AC，则上式左端为正，右端为负
若AB<AC，则上式左端为负，右端为正
故AB=AC# 四面体的斯坦纳定理：在四面体ABCD中,体积为V,设AB与CD所成的角为（AB,CD），距离为d(AB,CD)，则有
考虑四面体的伴随平行六面体AEBF-GDHC
显然，所求的V为六面体体积的三分之一
由V=Sh=1/2 AB*CD*sin（AB,CD） *d（AB,CD），即可推得结论
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