如何理解极限定义 如何理解“极限”的定义
\u5982\u4f55\u7406\u89e3\u6570\u5217\u6781\u9650\u7684\u5b9a\u4e49N\u662f\u6839\u636e\u4f60\u7684\u03b5 \uff0c\u800c\u5047\u5b9a\u5b58\u5728\u7684\u67d0\u4e00\u4e2a\u6570.\u5728\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e2d\u4f53\u73b0\u5728\u53ea\u9700\u8981\u6bd4N\u5927\u7684n\u8fd9\u4e9bXn\u6210\u7acb\uff0c\u6bd4N\u5c0f\u7684\u4e0d\u4f5c\u8981\u6c42\uff0e\u6bd4\u5982\uff1a
\u5e8f\u5217\uff1a1/n
\u6781\u9650\u662f0
\u5982\u679c\u53d6\uff1a\u03b5 \uff1d1\uff0f10
\u5219N\u53d610
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u201c\u6781\u9650\u201d\u662f\u6570\u5b66\u4e2d\u7684\u5206\u652f\u2014\u2014\u5fae\u79ef\u5206\u7684\u57fa\u7840\u6982\u5ff5\uff0c\u5e7f\u4e49\u7684\u201c\u6781\u9650\u201d\u662f\u6307\u201c\u65e0\u9650\u9760\u8fd1\u800c\u6c38\u8fdc\u4e0d\u80fd\u5230\u8fbe\u201d\u7684\u610f\u601d\u3002\u6570\u5b66\u4e2d\u7684\u201c\u6781\u9650\u201d\u6307\uff1a\u67d0\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\u4e2d\u7684\u67d0\u4e00\u4e2a\u53d8\u91cf\uff0c\u6b64\u53d8\u91cf\u5728\u53d8\u5927\uff08\u6216\u8005\u53d8\u5c0f\uff09\u7684\u6c38\u8fdc\u53d8\u5316\u7684\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u9010\u6e10\u5411\u67d0\u4e00\u4e2a\u786e\u5b9a\u7684\u6570\u503cA\u4e0d\u65ad\u5730\u903c\u8fd1\u800c\u201c\u6c38\u8fdc\u4e0d\u80fd\u591f\u91cd\u5408\u5230A\u201d\uff08\u201c\u6c38\u8fdc\u4e0d\u80fd\u591f\u7b49\u4e8eA\uff0c\u4f46\u662f\u53d6\u7b49\u4e8eA\u2018\u5df2\u7ecf\u8db3\u591f\u53d6\u5f97\u9ad8\u7cbe\u5ea6\u8ba1\u7b97\u7ed3\u679c\uff09\u7684\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u3002
\u6b64\u53d8\u91cf\u7684\u53d8\u5316\uff0c\u88ab\u4eba\u4e3a\u89c4\u5b9a\u4e3a\u201c\u6c38\u8fdc\u9760\u8fd1\u800c\u4e0d\u505c\u6b62\u201d\u3001\u5176\u6709\u4e00\u4e2a\u201c\u4e0d\u65ad\u5730\u6781\u4e3a\u9760\u8fd1A\u70b9\u7684\u8d8b\u52bf\u201d\u3002\u6781\u9650\u662f\u4e00\u79cd\u201c\u53d8\u5316\u72b6\u6001\u201d\u7684\u63cf\u8ff0\u3002\u6b64\u53d8\u91cf\u6c38\u8fdc\u8d8b\u8fd1\u7684\u503cA\u53eb\u505a\u201c\u6781\u9650\u503c\u201d\uff08\u5f53\u7136\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7528\u5176\u4ed6\u7b26\u53f7\u8868\u793a\uff09\u3002
\u6781\u9650\u7684\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\u8d2f\u7a7f\u4e8e\u6570\u5b66\u5206\u6790\u8bfe\u7a0b\u7684\u59cb\u7ec8\u3002\u53ef\u4ee5\u8bf4\u6570\u5b66\u5206\u6790\u4e2d\u7684\u51e0\u4e4e\u6240\u6709\u7684\u6982\u5ff5\u90fd\u79bb\u4e0d\u5f00\u6781\u9650\u3002\u5728\u51e0\u4e4e\u6240\u6709\u7684\u6570\u5b66\u5206\u6790\u8457\u4f5c\u4e2d\uff0c\u90fd\u662f\u5148\u4ecb\u7ecd\u51fd\u6570\u7406\u8bba\u548c\u6781\u9650\u7684\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\uff0c\u7136\u540e\u5229\u7528\u6781\u9650\u7684\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\u7ed9\u51fa\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u3001\u5bfc\u6570\u3001\u5b9a\u79ef\u5206\u3001\u7ea7\u6570\u7684\u655b\u6563\u6027\u3001\u591a\u5143\u51fd\u6570\u7684\u504f\u5bfc\u6570\uff0c\u5e7f\u4e49\u79ef\u5206\u7684\u655b\u6563\u6027\u3001\u91cd\u79ef\u5206\u548c\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u4e0e\u66f2\u9762\u79ef\u5206\u7684\u6982\u5ff5\u3002\u5982\uff1a
\uff081\uff09\u51fd\u6570\u5728 \u70b9\u8fde\u7eed\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u662f\u5f53\u81ea\u53d8\u91cf\u7684\u589e\u91cf\u8d8b\u4e8e\u96f6\u65f6\uff0c\u51fd\u6570\u503c\u7684\u589e\u91cf\u8d8b\u4e8e\u96f6\u7684\u6781\u9650\u3002
\uff082\uff09\u51fd\u6570\u5728 \u70b9\u5bfc\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u662f\u51fd\u6570\u503c\u7684\u589e\u91cf \u4e0e\u81ea\u53d8\u91cf\u7684\u589e\u91cf \u4e4b\u6bd4 \uff0c\u5f53 \u65f6\u7684\u6781\u9650\u3002
\uff083\uff09\u51fd\u6570\u5728 \u70b9\u4e0a\u7684\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u662f\u5f53\u5206\u5272\u7684\u7ec6\u5ea6\u8d8b\u4e8e\u96f6\u65f6\uff0c\u79ef\u5206\u548c\u5f0f\u7684\u6781\u9650\u3002
\uff084\uff09\u6570\u9879\u7ea7\u6570\u7684\u655b\u6563\u6027\u662f\u7528\u90e8\u5206\u548c\u6570\u5217 \u7684\u6781\u9650\u6765\u5b9a\u4e49\u7684\u3002
\uff085\uff09\u5e7f\u4e49\u79ef\u5206\u662f\u5b9a\u79ef\u5206\u5176\u4e2d \u4e3a\uff0c\u4efb\u610f\u5927\u4e8e \u7684\u5b9e\u6570\u5f53 \u65f6\u7684\u6781\u9650\uff0c\u7b49\u7b49\u3002
\u6027\u8d28
1\u3001\u552f\u4e00\u6027\uff1a\u82e5\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u5b58\u5728\uff0c\u5219\u6781\u9650\u503c\u662f\u552f\u4e00\u7684\uff0c\u4e14\u5b83\u7684\u4efb\u4f55\u5b50\u5217\u7684\u6781\u9650\u4e0e\u539f\u6570\u5217\u7684\u76f8\u7b49\u3002
2\u3001\u6709\u754c\u6027\uff1a\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u6570\u5217\u2019\u6536\u655b\u2018\uff08\u6709\u6781\u9650\uff09\uff0c\u90a3\u4e48\u8fd9\u4e2a\u6570\u5217\u4e00\u5b9a\u6709\u754c\u3002
\u4f46\u662f\uff0c\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u6570\u5217\u6709\u754c\uff0c\u8fd9\u4e2a\u6570\u5217\u672a\u5fc5\u6536\u655b\u3002\u4f8b\u5982\u6570\u5217 \uff1a\u201c1\uff0c-1\uff0c1\uff0c-1\uff0c\u2026\u2026\uff0c(-1)n+1\u201d
3\u3001\u4fdd\u53f7\u6027\uff1a\u82e5 \uff08\u62160\uff0c\u4f7fn>N\u65f6\u6709 \uff08\u76f8\u5e94\u7684xn<m\uff09\u3002
4\u3001\u4fdd\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6027\uff1a\u8bbe\u6570\u5217{xn} \u4e0e{yn}\u5747\u6536\u655b\u3002\u82e5\u5b58\u5728\u6b63\u6570N \uff0c\u4f7f\u5f97\u5f53n>N\u65f6\u6709 \uff0c\u5219 \uff08\u82e5\u6761\u4ef6\u6362\u4e3axn>yn \uff0c\u7ed3\u8bba\u4e0d\u53d8\uff09\u3002
5\u3001\u548c\u5b9e\u6570\u8fd0\u7b97\u7684\u76f8\u5bb9\u6027\uff1a\u8b6c\u5982\uff1a\u5982\u679c\u4e24\u4e2a\u6570\u5217{xn} \uff0c{yn} \u90fd\u6536\u655b\uff0c\u90a3\u4e48\u6570\u5217 \u4e5f\u6536\u655b\uff0c\u800c\u4e14\u5b83\u7684\u6781\u9650\u7b49\u4e8e{xn} \u7684\u6781\u9650\u548c{yn} \u7684\u6781\u9650\u7684\u548c\u3002
6\u3001\u4e0e\u5b50\u5217\u7684\u5173\u7cfb\uff1a\u6570\u5217{xn} \u4e0e\u5b83\u7684\u4efb\u4e00\u5e73\u51e1\u5b50\u5217\u540c\u4e3a\u6536\u655b\u6216\u53d1\u6563\uff0c\u4e14\u5728\u6536\u655b\u65f6\u6709\u76f8\u540c\u7684\u6781\u9650\uff1b\u6570\u5217 \u6536\u655b\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662f\uff1a\u6570\u5217{xn} \u7684\u4efb\u4f55\u975e\u5e73\u51e1\u5b50\u5217\u90fd\u6536\u655b\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u6781\u9650
\u95ee\u5f97\u597d\uff01
\u6211\u4eec\u6559\u9ad8\u6570\u7684\u6559\u5e08\uff0c\u5341\u6709\u516b\u4e5d\u90fd\u662f\u4e00\u6837\u7684\u5fb7\u6027\uff1a
1\u3001\u81ea\u5df1\u4e0d\u6c42\u751a\u89e3\uff0c\u53ea\u4f1a\u7167\u672c\u5ba3\u79d1\uff0c\u6559\u4e86\u4e00\u8f88\u5b50\u4e66\uff0c\u7cca\u6d82\u4e86\u4e00\u8f88\u5b50\uff0c\u8bef\u4e86\u4e00\u8f88\u5b50\u7684\u4eba\uff01
2\u3001\u4ed6\u4eec\u81ea\u5df1\u4e00\u77e5\u534a\u89e3\uff0c\u4e5f\u4e0d\u5141\u8bb8\u5b66\u751f\u8d28\u7591\uff0c\u5bf9\u5b66\u751f\u7684\u8d28\u7591\uff0c\u8981\u4e48\u53cd\u53cd\u590d\u590d\u91cd\u590d\u540c\u4e00
\u53e5\u8fde\u4ed6\u81ea\u5df1\u90fd\u4e0d\u77e5\u6240\u4e91\u7684\u8bdd\uff0c\u4ed6\u4eec\u53ea\u4f1a\u56eb\u56f5\u541e\u67a3\uff0c\u6b7b\u80cc\u5b9a\u4e49\u3002\u5b66\u751f\u5982\u679c\u7ee7\u7eed\u8d28\u7591\uff0c
\u4ed6\u4eec\u5c31100%\u6c14\u6025\u8d25\u574f\uff0c\u607c\u7f9e\u6210\u6012\uff0c\u8f7b\u5219\u8ba5\u7b11\u3001\u6316\u82e6\u5b66\u751f\uff1b\u91cd\u4fa7\u6cfc\u53e3\u5927\u9a82\uff0c\u751a\u81f3\u8fde
\u4e09\u5b57\u7ecf\u4e5f\u4f1a\u9a82\u51fa\u53e3\u3002
\u4ed6\u4eec\u5e38\u7528\u7684\u53e3\u5934\u7985\u6709\uff1a
1\u3001\u5c31\u662f\u8fd9\u6837\u5b50\u7684\uff01
2\u3001\u8fd8\u6709\u4ec0\u4e48\u597d\u89e3\u91ca\u7684\uff01\u6ca1\u6709\u4ec0\u4e48\u597d\u89e3\u91ca\u7684\u5566\uff01
3\u3001\u81ea\u5df1\u597d\u597d\u770b\u770b\u4e66\uff01
4\u3001\u522b\u94bb\u725b\u89d2\u5c16\uff01
5\u3001\u81ea\u5df1\u591a\u60f3\u60f3\uff0c\u8981\u591a\u95ee\u51e0\u4e2a\u4e3a\u4ec0\u4e48\uff1f
6\u3001\u4f60\u6709\u5f3a\u8feb\u75c7\uff1f\u54ea\u6765\u8fd9\u4e48\u591a\u4e3a\u4ec0\u4e48\uff1f
\u4e0b\u9762\u56de\u7b54\u672c\u9898\u95ee\u9898\u3002
\u603b\u4f53\u6765\u8bf4\uff1a
\u6781\u9650\u7684\u8bc1\u660e\u8fc7\u7a0b\uff0c\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u5435\u67b6\u7684\u8fc7\u7a0b\uff1b
\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u7406\u6027\u4e89\u8fa9\u3001\u903b\u8f91\u8fa9\u8bba\u7684\u8fc7\u7a0b\uff1b
\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u7a77\u4e3e\u6cd5\u7684\u7cbe\u7b80\u8fc7\u7a0b\u3002
1\u3001\u6211\u8bf4\uff1axn\u7684\u6781\u9650\u5c31\u662fa\uff0c\u4f60\u4e0d\u4fe1\u3002
2\u3001\u4f60\u8bf4\uff1axn\u4e0ea\u6709\u5dee\u503c\u554a\u3002
3\u3001\u6211\u8bf4\uff1a\u4f60\u7ed9\u4ee5\u5f88\u5c0f\u7684\u6570\u5427\u3002
\u4f60\u7ed9\u51fa\u4e00\u4e2a\u5f88\u5c0f\u5f88\u5c0f\u7684\u6570\uff0c\u8b6c\u59820.0000123\u3002
\u6211\u8ba1\u7b97\u4e86\u4e00\u4e0b\uff0c\u6211\u8bf4\u5f53n\u5927\u4e8e100\u65f6(\u6bd4\u65b9)\uff0c\u4e24\u8005\u4e4b\u5dee\u5c31\u5c0f\u4e8e0.0000123\u4e86\u3002
\u4f60\u4e0d\u670d\uff0c\u53c8\u7ed9\u51fa\u4e00\u4e2a\u66f4\u5c0f\u7684\u6570\uff0c\u8b6c\u59820.0000000000456\u3002
\u6211\u53c8\u8ba1\u7b97\u4e86\u4e00\u4e0b\uff0c\u6211\u8bf4\u5f53n\u5927\u4e8e1000\u65f6(\u4e5f\u662f\u6bd4\u65b9)\uff0c\u4e24\u8005\u4e4b\u5dee\u5c31\u5c0f\u4e8e0.0000000000456\u4e86\u3002
\u4f60\u53c8\u7ed9\uff0c\u6211\u53c8\u7b97\uff0c\u4f60\u518d\u7ed9\uff0c\u6211\u518d\u7b97\uff0c\u3001\u3001\u3001\u3001\u3001\u3001
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大N表示一个坎儿，Xn表示按一个规律计算出来的X值，第1个X记为X1、第2个X记为X2、第n个X记为Xn，这里面的1、2、3……n都是正整数，
不管ε多小，当n>N，越过了这个坎儿以后，所有的X值减去a，都小于那个ε，这样就认为X收敛于a
扩展资料：
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。
极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。
“无限”与’有限‘概念本质不同，但是二者又有联系，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维。
“变”与“不变”反映了事物运动变化，与相对静止，两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。
例如，物理学，求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法无法解决，困难在于变速直线运动的瞬时速度是变量不是常量。为此，人们先在小的时间间隔范围内用“匀速”计算方法代替“变速”状态的计算，求其平均速度，把较小的时间内的瞬时速度定义为求“速度的极限”，是借助了极限的思想方法，从“不变”形式来寻找“某一时刻变”的“极限”的精密结果。
参考资料：百度百科-极限
N是根据你的ε ，而假定存在的某一个数.在不等式中体现在只需要比N大的n这些Xn成立，比N小的不作要求．
比如：
序列：1/n
极限是0
如果取：ε ＝1／10
则N取10
扩展资料：
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中。
此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
（1）函数在 点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
（3）函数在 点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。
（5）广义积分是定积分其中 为，任意大于 的实数当 时的极限，等等。
性质
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”
3、保号性：若 （或<0），则对任何 （a<0时则是 ），存在N>0，使n>N时有 （相应的xn<m）。
4、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ，使得当n>N时有 ，则 （若条件换为xn>yn ，结论不变）。
5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列 也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。
6、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。
参考资料：百度百科-极限
1.是指无限趋近于一个固定的数值。
2.数学名词。在高等数学中，极限是一个重要的概念。
极限可分为数列极限和函数极限.
学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，于是精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。
就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能。这个概念是成功的。
数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。
函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。
设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当
|x-xo|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。
扩展资料
数列极限的基本性质
1.极限的不等式性质
2.收敛数列的有界性
设Xn收敛，则Xn有界。（即存在常数M>0，|Xn|≤M, n=1,2,...）
3.夹逼定理
4.单调有界准则：单调有界的数列（函数）必有极限
函数极限的基本性质
1.极限的不等式性质
2.极限的保号性
3.存在极限的函数局部有界性
设当x→x0时f(x)的极限为A，则f(x)在x0的某空心邻域U0(x0,δ) = {x| 0 < | x - x0 | < δ}内有界,即存在 δ>0, M>0,使得0 < | x - x0 | < δ 时 |f(x)| ≤M.
4.夹逼定理
参考资料：极限的百度百科
可定义某一个数列{xn}的收敛：
设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都
，使不等式 在 上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。记作 或 。
如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n>N，使得
，就说数列{xn}不收敛于a。如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。
对定义的理解：
1、ε的任意性 定义中ε的作用在于衡量数列通项 与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N；
又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。
2、N的相应性 一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使 成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使 成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。
3、从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式 成立”意味着：所有下标大于N的
都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某 ，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。
注意几何意义中：
1、在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；2、所有其他的点
（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。
扩展资料：
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
参考资料：百度百科-极限
问得好！
我们教高数的教师，十有八九都是一样的德性：
1、自己不求甚解，只会照本宣科，教了一辈子书，糊涂了一辈子，误了一辈子的人！
2、他们自己一知半解，也不允许学生质疑，对学生的质疑，要么反反复复重复同一
句连他自己都不知所云的话，他们只会囫囵吞枣，死背定义。学生如果继续质疑，
他们就100%气急败坏，恼羞成怒，轻则讥笑、挖苦学生；重侧泼口大骂，甚至连
三字经也会骂出口。
他们常用的口头禅有：
1、就是这样子的！
2、还有什么好解释的！没有什么好解释的啦！
3、自己好好看看书！
4、别钻牛角尖！
5、自己多想想，要多问几个为什么？
6、你有强迫症？哪来这么多为什么？
下面回答本题问题。
总体来说：
极限的证明过程，就是一个吵架的过程；
就是一个理性争辩、逻辑辩论的过程；
就是一个穷举法的精简过程。
1、我说：Xn的极限就是a，你不信。
2、你说：Xn与a有差值啊。
3、我说：你给以很小的数吧。
你给出一个很小很小的数，譬如0.0000123。
我计算了一下，我说当N大于100时(比方)，两者之差就小于0.0000123了。
你不服，又给出一个更小的数，譬如0.0000000000456。
我又计算了一下，我说当N大于1000时(也是比方)，两者之差就小于0.0000000000456了。
你又给，我又算，你再给，我再算，、、、、、、
我说，算了吧，你给一个象征性的很小的数，我算一个公式给你，你自己计算吧。
你给的这个数就是ε，我就给你一个公式，算出了N，从N后面起，差值就小于ε。
说到这里，你明白极限证明的论证过程了吗？
如果明白了，那就恭喜你！你已经掌握极限证明的真谛了！可喜可贺！
如果不明白，那也恭喜你！你终于体察出我们落后的原因！可喜可贺！
我们祖先，不落后人，他们也有悖论，也有极限思维。
我们后人，没有超越，我们没有开拓，没有极限理论，更没有微积分，更没有、、、、。
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