求x平方 e负x次方的不定积分，用分部积分法 计算不定积分∫xe的负X次方dx

x²e\u76842x\u6b21\u65b9\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u5206\u90e8\u79ef\u5206\u6cd5

\u8ba1\u7b97\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
\u222bx^2e^(-x)dx
=\u222bx^2e^(-x)(-1)d(-x)
=-\u222bx^2de^(-x)
=-x^2e^(-x)+\u222be^(-x)dx^2
=-x^2e^(-x)+\u222be^(-x)2xdx
=-x^2e^(-x)-2\u222bxde^(-x)
=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)+2\u222be^(-x)(-1)d(-x)
=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2\u222bde^(-x)
=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C
=-e^(-x)*(x^2+2x+2) +C
\u7531\u5b9a\u4e49\u53ef\u77e5\uff1a
\u6c42\u51fd\u6570f(x)\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u5c31\u662f\u8981\u6c42\u51faf(x)\u7684\u6240\u6709\u7684\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u7531\u539f\u51fd\u6570\u7684\u6027\u8d28\u53ef\u77e5\uff0c\u53ea\u8981\u6c42\u51fa\u51fd\u6570f(x)\u7684\u4e00\u4e2a\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u518d\u52a0\u4e0a\u4efb\u610f\u7684\u5e38\u6570C\u5c31\u5f97\u5230\u51fd\u6570f(x)\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u3002
\u5982\u679cf(x)\u5728\u533a\u95f4I\u4e0a\u6709\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u5373\u6709\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570F(x)\u4f7f\u5bf9\u4efb\u610fx\u2208I\uff0c\u90fd\u6709F'(x)=f(x)\uff0c\u90a3\u4e48\u5bf9\u4efb\u4f55\u5e38\u6570\u663e\u7136\u4e5f\u6709[F(x)+C]'=f(x).\u5373\u5bf9\u4efb\u4f55\u5e38\u6570C\uff0c\u51fd\u6570F(x)+C\u4e5f\u662ff(x)\u7684\u539f\u51fd\u6570\u3002\u8fd9\u8bf4\u660e\u5982\u679cf(x)\u6709\u4e00\u4e2a\u539f\u51fd\u6570,\u90a3\u4e48f(x)\u5c31\u6709\u65e0\u9650\u591a\u4e2a\u539f\u51fd\u6570\u3002

\u222bxe^(-x)dx=-e^(-x)\uff08x+1\uff09+c\u3002c\u4e3a\u79ef\u5206\u5e38\u6570\u3002
\u89e3\u7b54\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
\u222bxe^(-x)dx
=-\u222bxde^(-x)
=-xe^(-x)+\u222be^(-x)dx
=-xe^(-x)-e^(-x)+c
=-e^(-x)\uff08x+1\uff09+c
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5206\u90e8\u79ef\u5206\uff1a
(uv)'=u'v+uv'
\u5f97\uff1au'v=(uv)'-uv'
\u4e24\u8fb9\u79ef\u5206\u5f97\uff1a\u222b u'v dx=\u222b (uv)' dx - \u222b uv' dx
\u5373\uff1a\u222b u'v dx = uv - \u222b uv' d,\u8fd9\u5c31\u662f\u5206\u90e8\u79ef\u5206\u516c\u5f0f
\u4e5f\u53ef\u7b80\u5199\u4e3a\uff1a\u222b v du = uv - \u222b u dv
\u5e38\u7528\u79ef\u5206\u516c\u5f0f\uff1a
1\uff09\u222b0dx=c
2\uff09\u222bx^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3\uff09\u222b1/xdx=ln|x|+c
4\uff09\u222ba^xdx=(a^x)/lna+c
5\uff09\u222be^xdx=e^x+c
6\uff09\u222bsinxdx=-cosx+c
7\uff09\u222bcosxdx=sinx+c
8\uff09\u222b1/(cosx)^2dx=tanx+c
9\uff09\u222b1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10\uff09\u222b1/\u221a\uff081-x^2) dx=arcsinx+c

计算过程如下：

∫x^2e^(-x)dx

=∫x^2e^(-x)(-1)d(-x)

=-∫x^2de^(-x)

=-x^2e^(-x)+∫e^(-x)dx^2

=-x^2e^(-x)+∫e^(-x)2xdx

=-x^2e^(-x)-2∫xde^(-x)

=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)+2∫e^(-x)(-1)d(-x)

=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2∫de^(-x)

=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C

=-e^(-x)*(x^2+2x+2) +C

分部积分法的意义：

由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。

∫x^2e^(-x)dx的不定积分是-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C。

∫x^2e^(-x)dx

=-∫x^2de^(-x)

=-x^2e^(-x)+∫e^(-x)dx^2

=-x^2e^(-x)+2∫xe^(-x)dx

=-x^2e^(-x)-2∫xde^(-x)

=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)+2∫e^(-x)dx

=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C

所以∫x^2e^(-x)dx的不定积分是-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C。

扩展资料：

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

只要把e^-x放到后面，变成-d(e^-x)。用分部积分算，在利用一次，和上面一样，用两次就能算出来了。如果不是x的平方，而是任意次方，也可以用这个方法算。x^n*e^（-x）是一个特殊的函数，其积分定义为一个特别的函数，是Γ函数。高等数学书上有定义的，积分结果也有。自己查查书吧

∫x^2e^(-x)dx
=∫x^2e^(-x)(-1)d(-x)
=-∫x^2de^(-x)
=-x^2e^(-x)+∫e^(-x)dx^2
=-x^2e^(-x)+∫e^(-x)2xdx
=-x^2e^(-x)+2∫e^(-x)x(-1)d(-x)
=-x^2e^(-x)-2∫xde^(-x)
=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)+2∫e^(-x)dx
=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)+2∫e^(-x)(-1)d(-x)
=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2∫de^(-x)
=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C
=-e^(-x)*(x^2+2x+2) +C

扩展阅读：求解方程计算器 ... √1-x^2的不定积分 ... 万能计算器 ... 求定积分∫e^(-x^2)dx ... 简便计算器 ... x平方e的负x次方积分 ... 功能计算器 ... 函数生成器 ... x乘e的负x次方求极限 ...