向量内积的坐标表
有关向量内积的坐标表如下：
平面向量内积的几何形式：
(α,β)=|α||β|cosθ，与其代数形式：(α,β)=x1x2+y1y2，
利用平面向量与复数的对应关系：设有两个向量对应的复数z1、z2，模分别r1、r2，幅角分别为θ1，θ2。z2的共轭复数为z2'。
用极坐标表示这些复数：
z1=r1(cosθ1+isinθ1)，
z2=r2(cosθ2+isinθ2)，
z2'=r2[cos(-θ2)+isin(-θ2)]
根据复数乘法法则，
z1z2'=r1r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]。
我们只看实部：r1r2cos(θ1-θ2)，
这不就是平面向量内积的几何形式吗？其中z1、z2的模r1、r2就是两个向量的模，而z1、z2的幅角之差θ1-θ2就是两个向量的夹角θ（这就是为什么要用其共轭复数，否则就是两幅角之和而不是两幅角之差。注意一点，当θ1-θ2＜0时，因为cosx为偶函数，即cosx(θ1-θ2)=cos(θ2-θ1)，而θ2-θ1＞0，所以可以用θ2-θ1作为向量的夹角。综合两种情况，我们可以用θ=|θ1-θ2|作为夹角）。
下面我们用直角坐标表达以上过程：
z1=x1+iy1
z2=x2+iy2
z2'=x2-iy2
根据复数乘法法则，
z1z2'=x1x2+y1y2+i(x2y1-x1y2)。
我们只看实部：x1x2+y1y2，
这不就是平面向量内积的代数形式吗？
根据两复数相等，我们得到：
r1r2cosθ=x1x2+y1y2。
这说明平面向量内积的两种形式是等价的。
其实，假设我们不曾学过平面向量内积的定义，那么我们不妨可以这样定义平面向量的内积：
设α、β为两个平面向量，对应的复数分别为z1、z2。定义α、β的的内积
(α,β)=R(z1z2')，
其中z2'是z2的共轭复数，R是函数：z=a+bi→a。
从这个定义出发，我们容易知道，内积的几何形式和代数形式只不过是复数的极坐标系和直角坐标系运算的不同表达方式。
对于空间向量，我们同样可以这样定义空间向量的内积：
设α、β为两个空间向量，对应的纯四元数分别为q1、q2。定义α、β的的内积
(α,β)=R(q1q2')，
其中，q2'是q2的共轭四元数，R是函数：z=a+bi+cj+dk→a。
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