二重积分 极坐标 角度的范围怎么定？在线等！ 二重积分 极坐标 角度的范围怎么定

\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u8f6c\u6362\u6781\u5750\u6807r\u7684\u8303\u56f4\u5982\u4f55\u786e\u5b9a\uff1f

\u9996\u5148,\u5728\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\u8fc7\u539f\u70b9\u4f5c\u6b64\u533a\u57df\u51fd\u6570\u56fe\u50cf\u7684\u4e24\u6761\u5207\u7ebf\uff0c\u5219\u4e24\u6761\u5207\u7ebf\u7684\u89d2\u5ea6\u5219\u4e3a\u6781\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\u03b8\u7684\u8303\u56f4\u3002
\u7136\u540e\uff0c\u5728\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e0b\u4e0d\u662f\u5df2\u7ecf\u5df2\u77e5\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8ex\uff0cy\u7684\u51fd\u6570\u5173\u7cfb\u6765\u8868\u793a\u8303\u56f4\u3002\u5c06\u5176\u4e2d\u7684x²+y²\u6362\u6210r²\uff0cx\u6362\u6210rcos\u03b8\uff0cy\u6362\u6210rsin\u03b8\uff0c\u5c31\u53ef\u5f97r\u7684\u8303\u56f4\u4e86\u3002
\u4f8b\u5b50\u5982\u4e0b\uff1a
\u79ef\u5206\u533a\u57df\u4e3a\uff1a(x-1)²+y²\u22641
\u5c06\u5173\u7cfb\u5f0f\u53d8\u6362\uff1a(x-1)²+y²\u22641 \u2192 \uff1ax²-2x+1+y²\u22641 \u2192 r²<2rcos\u03b8 \u2192 r<2cos\u03b8,\u6240\u4ee5r\u8303\u56f4\u662f\uff080,2cos\u03b8\uff09\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6027\u8d28
1\u3001\u79ef\u5206\u7684\u7ebf\u6027\u6027\u8d28
\u6027\u8d281 \uff08\u79ef\u5206\u53ef\u52a0\u6027\uff09 \u51fd\u6570\u548c\uff08\u5dee\uff09\u7684\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u7b49\u4e8e\u5404\u51fd\u6570\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u7684\u548c\uff08\u5dee\uff09\uff0c\u5373

\u6027\u8d282 \uff08\u79ef\u5206\u6ee1\u8db3\u6570\u4e58\uff09 \u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u7684\u5e38\u7cfb\u6570\u56e0\u5b50\u53ef\u4ee5\u63d0\u5230\u79ef\u5206\u53f7\u5916\uff0c\u5373
(k\u4e3a\u5e38\u6570\uff09
2\u3001\u6bd4\u8f83\u6027
\u6027\u8d283 \u5982\u679c\u5728\u533a\u57dfD\u4e0a\u6709f(x,y)\u2266g(x,y)\uff0c\u5219

3\u3001\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u53ef\u52a0\u6027\uff1a\u5982\u679c\u79ef\u5206\u533a\u95f4[a,b]\u88abc\u5206\u4e3a\u4e24\u4e2a\u5b50\u533a\u95f4[a,c]\u4e0e[c,b]\u5219\u6709

\u53c8\u7531\u4e8e\u6027\u8d282\uff0c\u82e5f(x)\u5728\u533a\u95f4D\u4e0a\u53ef\u79ef\uff0c\u533a\u95f4D\u4e2d\u4efb\u610fc\uff08\u53ef\u4ee5\u4e0d\u5728\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\uff09\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6\u3002
4\u3001\u5982\u679c\u5728\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\uff0cf(x)\u22650,\u5219

5\u3001\u79ef\u5206\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\uff1a\u8bbef(x)\u5728[a,b]\u4e0a\u8fde\u7eed\uff0c\u5219\u81f3\u5c11\u5b58\u5728\u4e00\u70b9\u03b5\u5728\uff08a\uff0cb)\u5185\u4f7f

\u2460\u672c\u9898\u7684\u79ef\u5206\u533a\u57df\u662f\u5728y=x\u5de6\u4e0a\u65b9\u7684\u90a3\u534a\u4e2a\u5706\u3002
\u2461\u628a(x-1)²+(y-1)²=2\u8868\u793a\u6210x=1+\u221a2
cos\u03b8\uff0cy=1+\u221a2
sin\u03b8\uff0c\u6765\u7b97\u51fa\u70b9\uff080\uff0c0\uff09\u5904\u7684\u03b8\u503c\uff1a
\u5728\u70b9\uff080\uff0c0\uff09\u5904\uff0cx=y=0\uff0c\u5f97\u5230cos\u03b8=sin\u03b8\uff0c\u5f97\u5230\u03b8=\u220f/4\u4e0e\u03b8=3\u220f/4\u3002
\u2462\u5982\u679c\u662f\u5706\u5fc3\u4e3a(0\uff0c0)
\u534a\u5f84\u4e3a\u221a2
\u7684\u5706\uff0c\u03b8\u7684\u8303\u56f4\u5c31\u662f0\u52302\u220f\u3002
\u2463\u5173\u4e8e\u201c\u628a\u8fd9\u4e2a\u5706\u770b\u4f5c\u662f\u56db\u4e2a1/4\u5706\u6765\u8ba1\u7b97\u201d\u7684\u95ee\u9898\uff0c\u4e0d\u4ec5\u662f\u79ef\u5206\u533a\u57df\u8981\u5177\u6709\u5bf9\u79f0\u6027\uff0c\u8fd8
\u9700\u8981\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u76f8\u5bf9\u4e8e\u79ef\u5206\u533a\u57df\u5177\u6709\u5bf9\u79f0\u6027\uff0c\u800c\u672c\u9898\u7684\u88ab\u79ef\u51fd\u6570x-y\u5728\u90a3\u534a\u4e2a\u5706\u57df\u4e0a\u4e0d\u662f\u5bf9\u79f0\u7684\u3002

极坐标，θ的变化都是从原点位置开始扫起的

圆心(1，1)，半径√2

圆心到原点所在的直线是y = x，于是该圆在原点的切线为y = - x

画图观看这切线与圆的变化，便知道θ由- π/4变化到3π/4

所以θ∈[- π/4，3π/4]

这个圆不是关于原点对称的，所以不能用1/4圆来算

一、一般分3种情况：

1. 原点（极点）在积分区域的内部，角度范围从0到2pi；

2.原点（极点）在积分区域的边界，角度范围从区域的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止；

3.原点（极点）在积分区域之外，角度范围从区域的靠极轴的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止。

二、方法：

1、将积分区域，分成一个个单连通区域；

2、所谓的单连通区域，就是任何极半径，     最多只能穿透一次、再触及区域曲线；

3、每一个单连通区域，都具有两根切线；

4、对每一个单连通区域，积分时的角度，     按顺时针方向，从第一根切线的角度，     积分到第二根曲线的角度；

5、整体的积分，就是对每个单连通区域的积分，     然后求和，得到最后结果；

6、角度必须是弧度制。

一般分3种情况：
1.原点（极点）在积分区域的内部，角度范围从0到2pi;
2.原点（极点）在积分区域的边界，角度范围从区域的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止
3.原点（极点）在积分区域之外，角度范围从区域的靠极轴的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止。
可以参考这个解释：http://zhidao.baidu.com/question/507046672.html?qbl=relate_question_0&word=%B6%FE%D6%D8%BB%FD%B7%D6%20%BC%AB%D7%F8%B1%EA%20%BD%C7%B6%C8%B5%C4%B7%B6%CE%A7%D4%F5%C3%B4%B6%A8%3F%D4%DA%CF%DF%B5%C8%21

①本题的积分区域是在y=x左上方的那半个圆。
②把(x-1)²+(y-1)²=2表示成x=1+√2 cosθ，y=1+√2 sinθ，来算出点（0，0）处的θ值：
在点（0，0）处，x=y=0，得到cosθ=sinθ，得到θ=∏/4与θ=3∏/4。
③如果是圆心为(0，0) 半径为√2 的圆，θ的范围就是0到2∏。
④关于“把这个圆看作是四个1/4圆来计算”的问题，不仅是积分区域要具有对称性，还
需要被积函数相对于积分区域具有对称性，而本题的被积函数x-y在那半个圆域上不是对称的。

参考百度文库

二重积分与极坐标下的二重积分

ppt格式的那篇

扩展阅读：极坐标系θ取值范围 ... 极坐标方程θ取值范围 ... 极坐标系如何判断角度 ... 三重积分球坐标系公式 ... 三重积分极坐标θ范围 ... 二重积分θ的取值范围 ... 二重积分极坐标r范围 ... 二重积分角度怎么看 ... 极坐标求二重积分角度范围 ...