给出了线性变换值域与核的基本性质以及值域与核是直和的条件 如何证明线性变换的值域与核都是v的子空间
\u7ebf\u6027\u53d8\u6362\u7684\u6838\u4e0e\u503c\u57df\u7684\u7279\u70b9\u548c\u4f5c\u7528\u3002\u7ebf\u6027\u53d8\u6362\u7684\u503c\u57df\u4e0e\u6838\u90fd\u662fV\u7684\u5b50\u7a7a\u95f4\u3002AV\u7684\u7ef4\u6570\u79f0\u4e3aA\u7684\u79e9\uff0cA\u7684\u7ef4\u6570\u79f0\u4e3aA\u7684\u96f6\u5ea6\u3002A V\u5bf9\u4e8eV\u7684\u52a0\u6cd5\u4e0e\u6570\u91cf\u4e58\u6cd5\u5c01\u95ed\u3002\u8bbe\u03c3\u4e3an\u7ef4\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4V\u7684\u7ebf\u6027\u53d8\u6362\uff0c\u5219\u03c3\u7684\u79e9\u5341\u03c3\u7684\u96f6\u5ea6=n\uff0c\u5373dim\u03c3(V)+ dim\u03c3(O)=n\u3002
\u867d\u7136\u03c3(V)\u4e0e\u03c3(0)\u7684\u7ef4\u6570\u4e4b\u548c\u7b49\u4e8en\uff0c\u4f46\u662f\u03c3(V) +\u03c3-0\u672a\u5fc5\u7b49\u4e8eV\u3002
\u8bbe\u03c3\u4e3an\u7ef4\u7ebf\u6027\u7a7a\u95f4V\u7684\u7ebf\u6027\u53d8\u6362\uff0c\u5219
i ) \u03c3\u662f\u6ee1\u5c04\u53f0\u03c3(V)= V
ii ) \u03c3\u662f\u5355\u5c04\u53f0\u03c3-(0)= {0}
\u8bc1\u660e: i)\u663e\u7136\u3002
ii)\u56e0\u4e3a\u03c3(0)=0\uff0c\u82e5\u03c3\u4e3a\u5355\u5c04\uff0c\u5219\u03c3\u2018(0)={0}\u3002\u53cd\u4e4b\uff0c\u82e5\u03c3-(0)={0}\uff0c\u4efb\u53d6a\u3001\u03b2\u2208V\uff0c\u82e5o(a)=o( B)\uff0c\u5219\u03c3(a- \u03b2)=\u03c3(a)-\u03c3(B)= 0\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u77e9\u9635\u4e58\u4ee5\u5411\u91cf\u4e0e\u7ebf\u6027\u53d8\u6362\u7684\u610f\u4e49
\u77e9\u9635\u4e58\u7684\u610f\u4e49\uff0c\u5176\u5b9e\u5c31\u662f\u5c06\u4e00\u4e2a\u5411\u91cf\uff0c\u7ecf\u8fc7\u67d0\u4e2a\u51fd\u6570\uff08\u77e9\u9635\uff09\u4e4b\u540e\uff0c\u8f93\u51fa\u6210\u4e3a\u53e6\u5916\u4e00\u4e2a\u5411\u91cf\u3002\u6216\u8005\u8bf4\uff0c\u53d8\u6362\u5c31\u662f\u610f\u5473\u7740\uff0c\u5c06\u539f\u6765\u7684\u5411\u91cf\u8fd0\u52a8\uff08\u53d8\u6362\uff09\u5230\u53e6\u4e00\u4e2a\u5730\u65b9\u3002\u800c\u7ebf\u6027\u53d8\u6362\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u5728\u53d8\u6362\u7684\u57fa\u7840\u4e0a\uff0c\u518d\u52a0\u4e00\u4e2a\u6761\u4ef6\uff0c\u7ebf\u6027\u7684\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u539f\u6765\u7684\u4e00\u6761\u76f4\u7ebf\uff0c\u5728\u53d8\u6362\u4e86\u4e4b\u540e\u8fd8\u5e94\u8be5\u662f\u76f4\u7ebf\u3002
\u77e9\u9635A\u5bf9\u5411\u91cf\u7684\u53d8\u6362\uff0c\u5176\u5b9e\u662f\u65bd\u52a0\u5728\u5176\u57fa\u5e95\u4e0a\u7684\u53d8\u6362\uff0c\u800c\u65b0\u7684\u5411\u91cf\u5173\u4e8e\u65b0\u7684\u57fa\u5e95\u7684\u7ebf\u6027\u7ec4\u5408,\u4e0e\u539f\u6765\u7684\u5411\u91cf\u5173\u4e8e\u539f\u6765\u7684\u57fa\u5e95\u7684\u7ebf\u6027\u7ec4\u5408\uff0c\u662f\u4e00\u6837\u7684\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a
\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u7ebf\u6027\u53d8\u6362
\u76f4\u63a5\u6309\u5b50\u7a7a\u95f4\u5b9a\u4e49\u53bb\u9a8c\u8bc1\u5373\u53ef\uff1a\uff08\u8bbeA\u662f\u4e00V\u4e0a\u7684\u7ebf\u6027\u53d8\u6362\uff09
\uff081\uff09\u5bf9\u4efb\u610f\u7684a\u3001b\u5c5e\u4e8eKerA\uff0c\u4efb\u610f\u7684\u6570k\uff0c\u6709A\uff08a+b\uff09=Aa+Ab=0\u4e14A\uff08ka\uff09=kAa=0\uff0c\u6240\u4ee5a+b\u4e0eka\u5747\u5c5e\u4e8eKerA\uff0c\u53c8KerA\u662fV\u7684\u5b50\u96c6\uff08\u4e14\u663e\u7136\u975e\u7a7a\u56e0\u4e3a0\u5c5e\u4e8eKerA\uff09\uff0c\u4ece\u800cKerA\u662fV\u7684\u5b50\u7a7a\u95f4
\uff082\uff09\u5bf9\u4efb\u610f\u7684a'\u3001b'\u5c5e\u4e8eImA\u3001\u4efb\u610f\u7684\u6570k\uff0c\u5b58\u5728a\u3001b\u5c5e\u4e8eV\u4f7f\u5f97Aa=a'\u3001Ab=b'\uff0c\u6240\u4ee5A\uff08a+b\uff09=Aa+Ab=a'+b'\u5c5e\u4e8eImA\u4e14ka'=kAa=A\uff08ka\uff09\u5c5e\u4e8eImA\uff0c\u53c8ImA\u662fV\u7684\u975e\u7a7a\u5b50\u96c6\u5408\uff08\u7531A\u662fV\u4e0a\u7684\u7ebf\u6027\u53d8\u6362\u53ef\u77e5\uff09\uff0c\u4ece\u800cImA\u662fV\u7684\u5b50\u7a7a\u95f4
核空间是零空间
设a属于T的像空间A
T(x)=a x是整个空间的某个向量
设b属于T的核空间B
T(b)=0
质和条件：T是幂等变换 T^2=T
要证明质和首先证明A+B=V,V是整个线性空间
T(x)=a a属于像空间
T(x-a)=T(x)-T(a)=T(x)-T(T(x))=T(x)-T(x)=0
所以x-a属于零空间
由a的任意性可知A+B=V
设a属于像空间且属于零空间
a=T(x)
T(a)=T(T(x))=T(x)=a=0
即A交B={0}
即证明了T是幂等变换可推出值域与核是直和
值域与核是直和的条件可以是T是幂等变换
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