题:已知n阶可逆阵A的任一行元素之和为均等于2,则3*A^2+2*A^(-1)的一个特征值为
\u8bbe\u4e09\u9636\u77e9\u9635A\u6709\u4e00\u4e2a\u7279\u5f81\u503c\u4e3a1\uff0c\u4e14\u884c\u5217\u5f0fA\u7b49\u4e8e0\u53caA\u7684\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u5143\u7d20\u548c\u4e3a0\uff0c\u6c42A\u7684\u53e6\u4e24\u4e2a\u7279\u5f81\u503c\uff01\u5217\u5f0fA\u7b49\u4e8e0\uff0c\u65450\u662fA\u7684\u7279\u5f81\u503c\u3002
\u6240\u6709\u7279\u5f81\u503c\u7684\u548c\u7b49\u4e8e\u77e9\u9635\u5bf9\u89d2\u4e0a\u6240\u6709\u5143\u7d20\u7684\u548c\u3002
\u65451+0+a=0
\u6545\u6700\u540e\u4e00\u4e2a\u7279\u5f81\u503c\u4e3a-1
\u56e0\u4e3a A \u4e58\u5217\u5411\u91cf (1,1,1....,1)^T \u65f6 \u76f8\u5f53\u4e8e\u628aA\u7684\u5404\u884c\u52a0\u8d77\u6765\u6784\u6210\u4e00\u4e2a\u5217\u5411\u91cf
A的任一行元素之和为均等于2说明 A(1,1,...,1)^T = (2,2,...,2)^T = 2(1,1,...,1)^T
即 2 是A的特征值
所以所求特征值为 3*2^2 + 2*1/2 = 13
绛旓細A鐨勪换涓琛鍏冪礌涔嬪拰涓哄潎绛変簬2 璇存槑 A(1,1,...,1)^T = (2,2,...,2)^T = 2(1,1,...,1)^T 鍗 2 鏄疉鐨勭壒寰佸 鎵浠ユ墍姹傜壒寰佸间负 3*2^2 + 2*1/2 = 13
绛旓細銆愬垎鏋愩戝綋A伪=位伪鏃讹紝伪鈮0锛岀О位涓篈鐨勭壒寰佸硷紝伪鏄睘浜幬荤殑鐗瑰緛鍚戦噺銆傘愯В绛斻戣n闃鐭闃礎涓 a11 a12...a1n a21 a22...a2n ...an1 an2...ann 鏍规嵁宸茬煡A鐨姣忚鍏冪礌涔嬪拰涓篴 鍒橝锛1 1 1...1)T=(a a a...a)T = a(1 1 1...1)T 閭ｄ箞A锛1 1 ...
绛旓細鑰 A 鐨勬墍鏈夌壒寰佸肩殑涔樼Н绛変簬 |A|, 鐢盇鍙, |A|鈮0 鎵浠 a鈮0.A^-1 鐨勭壒寰佸兼槸 1/a, 瀵瑰簲鐨勭壒寰佸悜閲忎粛鏄 (1,1,...,1)^T 鎵浠 A鐨閫嗙煩闃鐨勬瘡琛岀殑鍏冪礌鐨勫拰涓1/a.
绛旓細鍥犱负鎶婅鍒楀紡|A-aE|鐨勫墠n-1鍒楀姞鍒扮n鍒楋紝缁撴灉灏辨槸0 鎵浠鏄A鐨鐗瑰緛鍊
绛旓細AA^*=|A|E璇存槑AA^*鐨勭涓琛绗竴鍒楀厓绱犵瓑浜巪A|E鐨勭涓琛岀涓鍒楃殑鍏冪礌锛岃寍A|E鐨勭涓琛岀涓鍒楃殑鍏冪礌涓簗A|锛岃孉A^*鐨勭涓琛岀涓鍒鐨勫厓涓篴11^2+a12^2+...+a1n^2锛屽叾浠栧彲绫讳技寰楀嚭锛屾墍浠A| = ai1^2+ai2^2+...+ain^2锛宨=1,2,鈥︹ ...
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绛旓細浠=[1,...,1]^T 閭ｄ箞Ae=ae锛屽乏涔a^{-1}A^{-1}寰楃粨璁
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绛旓細璇锛欰鍙锛寍A|鈮0,鍒欏浜庝换鎰n鍏鍚戦噺b锛孉X=b 鏈夊敮涓瑙ｏ紝鍗冲瓨鍦▁1,x2,鈥︹︼紝xn,浣 x1a1+x2a2+鈥︹+xnan=b 鎴愮珛锛屽嵆b鍙湁a1,a2,鈥︹︼紝an绾挎ц〃鍑猴紝鎵浠ュ悜閲忕粍a1,a2,鈥,an,b閮界嚎鎬х浉鍏炽
绛旓細鑳姐侱 = 1 0 0 0 1 0 0 2 0 琛屽垪寮忕瓑浜0锛屼絾绗1琛涓嶆槸鍏朵綑琛岀殑绾挎х粍鍚堛倈A|=0涓A鐨琛岋紙鎴栧垪锛夊悜閲忕粍bai绾挎х浉鍏崇瓑浠凤紝鍥犳锛寍A|=0锛屽垯A涓繀鏈変竴鍒楀悜閲忓彲鐢卞叾浣欏垪鍚戦噺绾挎ц〃鍑虹殑缁撹鏄鐨勩傜煩闃电殑琛岀З涓庡垪绉╃浉绛夛紝瀵逛簬鏂归樀鑰岃█涓嶅彲鑳藉嚭鐜拌鍚戦噺缁勭嚎鎬х浉鍏宠屽垪鍚戦噺缁勭嚎鎬ф棤鍏崇殑鎯呭喌...
