谁知道一分之一加二分之一加三分之一…一直加到N分之一=?(即求和的通项公式) 二分之一加四分之一加八分之一……一直加到二n分之一等于多少

1\u52a02\u5206\u4e4b1\u52a03\u5206\u4e4b1\u4e00\u76f4\u52a0\u5230n\u5206\u4e4b1\u7b49\u4e8e\u591a\u5c11

\u7ed3\u679c\u4e3a\uff1a(n-1)/(n+1)
\u89e3\u9898\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
\u56e0\u4e3a1+2+...+n=n(n+1)/2
\u6240\u4ee51/(1+2+...+n)=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)]
\u6240\u4ee51/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+...+n)
=2[1/2-1/3]+2[1/3-1/4]+...+2[1/n-1/(n+1)]
=2(1/2-1/(n+1))
=(n-1)/(n+1)
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u6c42\u8c03\u548c\u7ea7\u6570\u7684\u65b9\u6cd5\uff1a
\u540e\u4e00\u4e2a\u7ea7\u6570\u6bcf\u4e00\u9879\u5bf9\u5e94\u7684\u5206\u6570\u90fd\u5c0f\u4e8e\u8c03\u548c\u7ea7\u6570\u4e2d\u6bcf\u4e00\u9879\uff0c\u800c\u4e14\u540e\u9762\u7ea7\u6570\u7684\u62ec\u53f7\u4e2d\u7684\u6570\u503c\u548c\u90fd\u4e3a1/2\uff0c\u8fd9\u6837\u76841/2\u6709\u65e0\u7a77\u591a\u4e2a\uff0c\u6240\u4ee5\u540e\u4e00\u4e2a\u7ea7\u6570\u662f\u8d8b\u5411\u65e0\u7a77\u5927\u7684\uff0c\u8fdb\u800c\u8c03\u548c\u7ea7\u6570\u4e5f\u662f\u53d1\u6563\u7684\u3002
\u5982\u679cAn\u662f\u5168\u90e8\u4e0d\u4e3a0\u7684\u7b49\u5dee\u6570\u5217\uff0c\u52191/An\u5c31\u79f0\u4e3a\u8c03\u548c\u6570\u5217\uff0c\u6c42\u548c\u6240\u5f97\u5373\u4e3a\u8c03\u548c\u7ea7\u6570\uff0c\u6613\u5f97\uff0c\u6240\u6709\u8c03\u548c\u7ea7\u6570\u90fd\u662f\u53d1\u6563\u4e8e\u65e0\u7a77\u7684\u3002
\u6b27\u62c9\u5e38\u6570\u662f\u4e2a\u65e0\u7406\u6570\uff0c\u56e0\u4e3a\u81ea\u7136\u6570\u5012\u6570\u548c\u867d\u7136\u662f\u53d1\u6563\u7684\u4f46\u662f\u5b83\u7684\u6bcf\u4e00\u9879\u90fd\u662f\u6709\u7406\u6570\uff0c\u800cln(n)\u786e\u662f\u4e2a\u65e0\u7406\u6570\uff0c\u4e00\u4e2a\u6709\u7406\u6570\u51cf\u53bb\u65e0\u7406\u6570\u5fc5\u7136\u662f\u65e0\u7406\u6570\u3002
\u901a\u8fc7\u5c06\u8c03\u548c\u7ea7\u6570\u7684\u548c\u4e0e\u4e00\u4e2a\u7455\u79ef\u5206\u4f5c\u6bd4\u8f83\u53ef\u8bc1\u6b64\u7ea7\u6570\u53d1\u6563\u3002\u8003\u8651\u53f3\u56fe\u4e2d\u957f\u65b9\u5f62\u7684\u6392\u5217\u3002\u6bcf\u4e2a\u957f\u65b9\u5f62\u5bbd1\u4e2a\u5355\u4f4d\u3001\u9ad81/n\u4e2a\u5355\u4f4d\uff08\u6362\u53e5\u8bdd\u8bf4\uff0c\u6bcf\u4e2a\u957f\u65b9\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u90fd\u662f1/n\uff09\uff0c\u6240\u4ee5\u6240\u6709\u957f\u65b9\u5f62\u7684\u603b\u9762\u79ef\u5c31\u662f\u8c03\u548c\u7ea7\u6570\u7684\u548c\u3002

\u89e3\uff1a
\u4e8c\u5206\u4e4b\u4e00\u52a0\u56db\u5206\u4e4b\u4e00\u52a0\u516b\u5206\u4e4b\u4e00\u2026\u2026\u4e00\u76f4\u52a0\u5230\u4e8cn\u5206\u4e4b\u4e00
=2\u5206\u4e4b1\u00d7\uff081-2\u7684n\u6b21\u65b9\u5206\u4e4b1\uff09/(1-2\u5206\u4e4b1)
=1-2\u7684n\u6b21\u65b9\u5206\u4e4b1
\u8bc1\u660e\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
\uff081\uff09\u6c42\u4e8c\u5206\u4e4b\u4e00\u52a0\u56db\u5206\u4e4b\u4e00\u52a0\u516b\u5206\u4e4b\u4e00\u52a0...\u52a0\u4e8c\u7684n\u6b21\u65b9\u5206\u4e4b\u4e00\u3002
\uff082\uff09\u4e8c\u5206\u4e4b\u4e00\u3001\u56db\u5206\u4e4b\u4e00\u3001\u516b\u5206\u4e4b\u4e00\u2026\u2026\u4e8c\u7684n\u6b21\u65b9\u5206\u4e4b\u4e00\u7b49\u7b49\uff0c\u6784\u6210\u4e00\u4e2a\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u3002
\uff083\uff091/2+1/4+1/8+...+(1/2)^n=[1/2-1/2^(n+1)]/(1-1/2)=1-(1/2)^n\u3002
\uff084\uff09\u5f53n\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\u65f6\uff0c1-(1/2)^n\u8fd1\u4f3c\u7b49\u4e8e1\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u7684\u6027\u8d28\uff1a
\uff081\uff09\u82e5m\u3001n\u3001p\u3001q\u2208N*\uff0c\u4e14m+n=p+q\uff0c\u5219am*an=ap*aq\u3002
\uff082\uff09\u5728\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u4e2d\uff0c\u4f9d\u6b21\u6bcfk\u9879\u4e4b\u548c\u4ecd\u6210\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u3002
\uff083\uff09\u82e5\u201cG\u662fa\u3001b\u7684\u7b49\u6bd4\u4e2d\u9879\u201d\u5219\u201cG^2=ab\uff08G\u22600\uff09\u201d\u3002
\uff084\uff09\u82e5{an}\u662f\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u516c\u6bd4\u4e3aq1\uff0c{bn}\u4e5f\u662f\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u516c\u6bd4\u662fq2\uff0c\u5219{a2n}\uff0c{a3n}\u2026\u662f\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u516c\u6bd4\u4e3aq1^2\uff0cq1^3\u2026{can}\uff0cc\u662f\u5e38\u6570\uff0c{an*bn}\uff0c{an/bn}\u662f\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u516c\u6bd4\u4e3aq1\uff0cq1q2\uff0cq1/q2\u3002
\uff085\uff09\u82e5\uff08an\uff09\u4e3a\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u4e14\u5404\u9879\u4e3a\u6b63\uff0c\u516c\u6bd4\u4e3aq\uff0c\u5219\uff08log\u4ee5a\u4e3a\u5e95an\u7684\u5bf9\u6570\uff09\u6210\u7b49\u5dee\uff0c\u516c\u5dee\u4e3alog\u4ee5a\u4e3a\u5e95q\u7684\u5bf9\u6570\u3002
\uff086\uff09\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u524dn\u9879\u4e4b\u548cSn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
\u5728\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u4e2d\uff0c\u9996\u9879A1\u4e0e\u516c\u6bd4q\u90fd\u4e0d\u4e3a\u96f6\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u7b49\u6bd4\u6570\u5217

1/1+1/2+1/3+....+1./n=C+lnn+εε是个无穷小量,C是欧拉常数=0.577216 lnn是自然对数。

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