如图，RT△ABC中，角A=30º，D为AC上一点，AD=2DC
\u5982\u56fe\uff0c\u5728Rt\u25b3ABC\u4e2d\u2220C=90º\u2220A=30ºBD\u662f\u2220ABC\u7684\u5e73\u5206\u7ebf\uff0cAD\uff1d2
\u671b\u91c7\u7eb3\uff01\u8c22\u8c22\uff01
∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0
→sinβ sin2(β+γ)+sin 2γ】- sinγ【 sin2（β+γ）+ sin2β】=0（积化和差）
→sin2(β+γ)【sinβ-sinγ】+2 sinβsinγ【cosγ- cosβ】=0（重新分组并提取公因式）
→sin [(β-γ)/2]【sin2(β+γ) cos[(β+γ)/2] + 2 sinβsinγsin [(β+γ)/2]=0（和差化积）
∴sin[(β-γ)/2]＝0
二。△ABC中，BD，CE是角平分线，BD＝CE；
则BC×BA－DC×DA＝CB×CA－EB×EA
即BC×（BE＋AE）－DC×DA＝CB×（CD＋AD）－EB×EA
而BC×AD＝BA×CD，CB×AE＝CA×BE
整理得BC×BE＋（CD＋DA）×BE－DC×DA＝CB×CD＋（BE＋EA）×CD－EB×EA
移项并因式分解得（BE－CD）（BC＋EA＋DA）＝0
因此BE＝CD
此时易证AB＝AC
三。设三角形$ABC$中，$BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，而$BD$和$CE$为两条内角平分线，则
$BD^2=ab(1-c^2/(a+b)^2)$，
$CE^2=ac(1-b^2/(a+c)^2)$，
因为$BD=CD$，所以
$ab(1-c^2/(a+b)^2)-ac(1-b^2/(a+c)^2)=0$，
上式两边除以$a$，通分后，对分子进行因式分解，则得到分子为
$(b-c)(a+b+c)(a^3+(a^2+bc)(b+c)+3abc)$，
所以只能$b-c=0$，命题得证。
四，设三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
∴∠FBC=∠CEF>90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.
设垂足分别为G、H;
∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF,
∴Rt△CGB≌Rt△FHE
∴CG=FH,BC=HE
连接CF
∵CF=FC,FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD
∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
六己知 在△ABC中，BE,CF是∠B，∠C的平分线，BE=CF。求证:AB=AC.
证法一 设AB≠AC,不妨设AB>AC，这样∠ACB>∠ABC，从而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBF。
在△BCF和△CBE中，因为BC=BC, BE=CF，∠BCF>∠CBE.
所以 BF>CE。 (1)
作平行四边形BEGF，则∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF，连CG，
故△FCG为等腰三角形，所以∠FCG=∠FGC。
因为∠FCE>∠FGE，所以∠ECG<∠EGC。
故得 CE>EG=BF. (2)
显然(1)与(2)是矛盾的，故假设AB≠AC不成立，于是必有AB=AC。
证法二 在△ABC中，假设∠B≥∠C，则可在CF上取一点F'，使∠F'BE=∠ECF'，这有CF≥CF'。
延长BF'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'F',有ΔA'BE∽ΔA'CF'.
从而A'B/A'C=BE/CF'≥BE/CF=1.
那么在△A'BC中，由A'B≥A'C，得:
∠A'CB≥∠A'BC，即∠C≥(∠B+∠C)/2，故∠B≤∠C。
再由假设∠B≥∠C，即有∠B=∠C。
所以△ABC为等腰三角形。
七， 2cosα/BE=1/BC+1/AB
2cosβ/CD=1/BC+1/AC
若α>β 可推出AB>AC矛盾！
若α<β 可推出AB<AC矛盾！
所以AB=AC
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