请问第一型曲线积分，化为极坐标时微元为什么是这种如图形式 第一类曲线积分里，给出曲线是极坐标形式的，怎么推导ds
\u8bf7\u95ee\u7b2c\u4e00\u578b\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\uff0c\u5316\u4e3a\u6781\u5750\u6807\u65f6\u5fae\u5143\u4e3a\u4ec0\u4e48\u662f\u8fd9\u79cd\u5982\u56fe\u5f62\u5f0f\u6781\u5750\u6807\u65b9\u7a0b\u4e3a
r=r(\u03b8)
\u8f6c\u6362\u6210\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\u5c31\u662f
x=r(\u03b8)cos\u03b8
y=r(\u03b8)sin\u03b8
\u4ece\u800c
x'=r'(\u03b8)cos\u03b8-r(\u03b8)sin\u03b8
y'=r'(\u03b8)sin\u03b8+r(\u03b8)cos\u03b8
(x')²+(y')²=[r'(\u03b8)]²+[r(\u03b8)]²
\u4ee3\u5165\u5f27\u957f\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f\u5373\u53ef\u3002
\u5c06x\u3001y\u7684\u6781\u5750\u6807\u5f62\u5f0f\u5206\u522b\u5e26\u5165 \u6c42\u5bfc \u6ce8\u610f\u8981\u5bf9\u5176\u4e2d\u7684\u03c1\u4e5f\u8981\u8fdb\u884c\u6c42\u5bfc \u6362\u7b97\u5b8c\u6bd5 \u56e0\u4e3a\u6839\u636e\u4e0d\u540c\u9898\u610f \u03c1\u5728\u9898\u610f\u4e2d\u4ee3\u8868\u4e0d\u540c\u7684\u5f0f\u5b50\u4e14\u542b\u6709\u53c2\u6570\u03b8
极坐标方程为r=r(θ)
转换成参数方程就是
x=r(θ)cosθ
y=r(θ)sinθ
从而
x'=r'(θ)cosθ-r(θ)sinθ
y'=r'(θ)sinθ+r(θ)cosθ
(x')²+(y')²=[r'(θ)]²+[r(θ)]²
代入弧长曲线积分计算公式即可。
极坐标方程为：
r=r(θ)转换成参数方程就是：
x=r(θ)cosθ
y=r(θ)sinθ
从而
x'=r'(θ)cosθ-r(θ)sinθ
y'=r'(θ)sinθ+r(θ)cosθ
(x')²+(y')²=[r'(θ)]²+[r(θ)]²
代入弧长曲线积分计算公式即可。
大四要用到，重新思考了一下这个问题。尹强的答案虽然合理，课本上可能也是这样写的，但不利于我们记忆。所有顺手再写一个从定义出发的推导过程。
由于r和θ依然是正交基，所有还是用勾股定理来计算。在把微分写成积分计算即可。
这里的难点是，既然是微分计算，所以每个点的计算都对应着一个相对坐标系来看的，即如图所示。
绛旓細鏋佸潗鏍鏂圭▼涓 r=r(胃)杞崲鎴愬弬鏁版柟绋嬪氨鏄 x=r(胃)cos胃 y=r(胃)sin胃 浠庤 x'=r'(胃)cos胃-r(胃)sin胃 y'=r'(胃)sin胃+r(胃)cos胃 (x')²+(y')²=[r'(胃)]²+[r(胃)]²浠ｅ叆寮ч暱鏇茬嚎绉垎璁＄畻鍏紡鍗冲彲銆
绛旓細杞寲涓烘瀬鍧愭爣銆
绛旓細鎮ㄧ敤鏋佸潗鏍锛歺=rcos胃,y=rsin胃,L:r=Rcos胃,浜庢槸x=R(cos胃)^2=R(1+cos2胃)/2,y=Rsin2胃/2 鍒檇x=-Rsin2胃d胃,dy=Rcos2胃d胃,鎵浠s=鈭歔(ax)^2+(dy)^2=Rd胃,鈭甃xds=鈭<-蟺/2锛屜/2>R(1+cos2胃)/2*Rd胃 =R^2(胃/2+sin2胃/4)|<-蟺/2锛屜/2> =蟺R^2...
绛旓細鐢鏋佸潗鏍鍖栫畝鍗冲彲銆備换浣曢珮鏂嚱鏁扮殑绉垎鍧囧彲绠鍖栦负鍚珮鏂Н鍒嗙殑椤广傚父鏁癮鍙互琚彁鍑虹Н鍒嗐備娇鐢▂=x-b鏉ュ彇浠-b鑾峰緱 浣跨敤z=y/c鍙栧緱
绛旓細灏唜銆亂鐨鏋佸潗鏍褰㈠紡鍒嗗埆甯﹀叆 姹傚 娉ㄦ剰瑕佸鍏朵腑鐨勏佷篃瑕佽繘琛屾眰瀵 鎹㈢畻瀹屾瘯 鍥犱负鏍规嵁涓嶅悓棰樻剰 蟻鍦ㄩ鎰忎腑浠ｈ〃涓嶅悓鐨勫紡瀛愪笖鍚湁鍙傛暟胃
绛旓細1銆佸弻绾界嚎鏋佸潗鏍鏂圭▼r^2=a^2*cos(2蠁)锛屼篃灏辨槸 r = a鈭(cos2蠁)銆傛敞鎰忛鐩腑瑙ｇ瓟鐨绗竴琛屽弻绾界嚎鏋佸潗鏍囨柟绋嬪啓閿欎簡锛侊紒2銆佺敱鍙岀航绾跨殑琛ㄨ揪寮忓垽鏂叾鍚屾椂鍏充簬x杞淬亂杞村绉帮紝鑰岃绉嚱鏁皘y|鍏充簬x锛寉閮芥槸鍋跺嚱鏁帮紝鎵浠ヤ粎鑰冭檻绗竴璞￠檺锛屾渶鍚庣粨鏋滀箻浠4銆3銆佺涓璞￠檺锛0鈮は嗏墹蟺/2锛岀敱 r = ...
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绛旓細娌℃湁锛岀┖闂存病鏈鏋佸潗鏍囷紝鏈変篃鏄煴鍧愭爣銆佺悆鍧愭爣 绌洪棿鏇茬嚎鍙湁涓ょ褰㈠紡锛氫竴鑸紡锛堜袱涓洸闈氦绾匡級銆佸弬鏁版柟绋 鎵浠ョ┖闂存洸闈㈡病鏈夋瀬鍧愭爣
绛旓細x^2+y^2=2x鐨勪笂鍗婂渾鍛ㄤ笌x杞村寘鍥村尯鍩熴鍙樹负鏋佸潗鏍鍚庯紝x锛漴cosa锛寉锛漴sina锛屽垯鏄痳^2=2rcosa锛屽嵆r锛2cosa锛屽洜涓簉>=0锛屾晠cosa>=0锛屽啀鐢眣>=0锛屽緱sina>=0锛屽洜姝 0<=a<=pi/2锛屾晠0<=r<=2cosa銆绉垎鍖栦负 绉垎锛堜粠0鍒皃i/2锛塪a绉垎锛堜粠0鍒2cosa锛塮(rcosa锛宺sina)rdr ...
绛旓細(1)鐩磋鍧愭爣绯伙紝鑻ユ洸绾垮彲鍙傛暟鍖栦负x=f(t)锛寉=g(t)锛屽垯绗竴绫鏇茬嚎绉垎鐨勮绠楀叕寮忎负鈭(f(t),g(t))ds銆(2)鏋佸潗鏍绯伙紝鑻ユ洸绾垮彲鍙傛暟鍖栦负r=r(t)锛屛=胃(t)锛屽垯绗竴绫绘洸绾跨Н鍒嗙殑璁＄畻鍏紡涓衡埆(r(t)cos胃(t),r(t)sin胃(t))ds銆(3)鍙傛暟鏂圭▼锛岃嫢鏇茬嚎鍙弬鏁板寲涓簒=x(t)锛寉=y(t)锛...
