勾股定理 证明方法 勾股定理的最简单的证明方法是什么？
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u5341\u516d\u79cd\u8bc1\u660e\u65b9\u6cd5\u52a0\u83f2\u5c14\u5fb7\u8bc1\u6cd5\u3001\u52a0\u83f2\u5c14\u5fb7\u8bc1\u6cd5\u53d8\u5f0f\u3001\u9752\u6731\u51fa\u5165\u56fe\u8bc1\u6cd5\u3001\u6b27\u51e0\u91cc\u5f97\u8bc1\u6cd5\u3001\u6bd5\u8fbe\u54e5\u62c9\u65af\u8bc1\u6cd5\u3001\u534e\u8605\u82b3\u8bc1\u6cd5\u3001\u8d75\u723d\u5f26\u56fe\u8bc1\u6cd5\u3001\u767e\u725b\u5b9a\u7406\u8bc1\u6cd5\u3001\u5546\u9ad8\u5b9a\u7406\u8bc1\u6cd5\u3001\u5546\u9ad8\u8bc1\u6cd5\u3001\u5218\u5fbd\u8bc1\u6cd5\u3001\u7ec9\u5143\u667a\u8bc1\u6cd5\u3001\u6885\u6587\u9f0e\u8bc1\u6cd5\u3001\u5411\u660e\u8fbe\u8bc1\u6cd5\u3001\u6768\u4f5c\u6885\u8bc1\u6cd5\u3001\u674e\u9510\u8bc1\u6cd5
\u4f8b\uff0c\u5982\u4e0b\u56fe\uff1a
\u8bbe\u25b3ABC\u4e3a\u4e00\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u5176\u4e2dA\u4e3a\u76f4\u89d2\u3002\u4eceA\u70b9\u5212\u4e00\u76f4\u7ebf\u81f3\u5bf9\u8fb9\uff0c\u4f7f\u5176\u5782\u76f4\u4e8e\u5bf9\u8fb9\u3002\u5ef6\u957f\u6b64\u7ebf\u628a\u5bf9\u8fb9\u4e0a\u7684\u6b63\u65b9\u5f62\u4e00\u5206\u4e3a\u4e8c\uff0c\u5176\u9762\u79ef\u5206\u522b\u4e0e\u5176\u4f59\u4e24\u4e2a\u6b63\u65b9\u5f62\u76f8\u7b49\u3002
\u8bbe\u25b3ABC\u4e3a\u4e00\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u5176\u76f4\u89d2\u4e3a\u2220CAB\u3002
\u5176\u8fb9\u4e3aBC\u3001AB\u548cCA\uff0c\u4f9d\u5e8f\u7ed8\u6210\u56db\u65b9\u5f62CBDE\u3001BAGF\u548cACIH\u3002
\u753b\u51fa\u8fc7\u70b9A\u4e4bBD\u3001CE\u7684\u5e73\u884c\u7ebf\uff0c\u5206\u522b\u5782\u76f4BC\u548cDE\u4e8eK\u3001L\u3002
\u5206\u522b\u8fde\u63a5CF\u3001AD\uff0c\u5f62\u6210\u25b3BCF\u3001\u25b3BDA\u3002
\u2220CAB\u548c\u2220BAG\u90fd\u662f\u76f4\u89d2\uff0c\u56e0\u6b64C\u3001A\u548cG\u5171\u7ebf\uff0c\u540c\u7406\u53ef\u8bc1B\u3001A\u548cH\u5171\u7ebf\u3002
\u2220CBD\u548c\u2220FBA\u90fd\u662f\u76f4\u89d2\uff0c\u6240\u4ee5\u2220ABD=\u2220FBC\u3002
\u56e0\u4e3aAB=FB\uff0cBD=BC\uff0c\u6240\u4ee5\u25b3ABD\u224c\u25b3FBC\u3002
\u56e0\u4e3aA\u4e0eK\u548cL\u5728\u540c\u4e00\u76f4\u7ebf\u4e0a\uff0c\u6240\u4ee5\u56db\u8fb9\u5f62BDLK=2\u25b3ABD\u3002
\u56e0\u4e3aC\u3001A\u548cG\u5728\u540c\u4e00\u76f4\u7ebf\u4e0a\uff0c\u6240\u4ee5\u6b63\u65b9\u5f62BAGF=2\u25b3FBC\u3002
\u56e0\u6b64\u56db\u8fb9\u5f62BDLK=BAGF=AB²\u3002
\u540c\u7406\u53ef\u8bc1\uff0c\u56db\u8fb9\u5f62CKLE=ACIH=AC²\u3002
\u628a\u8fd9\u4e24\u4e2a\u7ed3\u679c\u76f8\u52a0\uff0cAB²+AC²=BD\u00d7BK+KL\u00d7KC
\u7531\u4e8eBD=KL\uff0cBD\u00d7BK+KL\u00d7KC=BD(BK+KC)=BD\u00d7BC
\u7531\u4e8eCBDE\u662f\u4e2a\u6b63\u65b9\u5f62\uff0c\u56e0\u6b64AB²+AC²=BC²\uff0c\u5373a²+b²=c²\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u8bc1\u660e\u662f\u8bba\u8bc1\u51e0\u4f55\u7684\u53d1\u7aef\uff1b
2\u3001\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u662f\u5386\u53f2\u4e0a\u7b2c\u4e00\u4e2a\u628a\u6570\u4e0e\u5f62\u8054\u7cfb\u8d77\u6765\u7684\u5b9a\u7406\uff0c\u5373\u5b83\u662f\u7b2c\u4e00\u4e2a\u628a\u51e0\u4f55\u4e0e\u4ee3\u6570\u8054\u7cfb\u8d77\u6765\u7684\u5b9a\u7406\uff1b
3\u3001\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u5bfc\u81f4\u4e86\u65e0\u7406\u6570\u7684\u53d1\u73b0\uff0c\u5f15\u8d77\u7b2c\u4e00\u6b21\u6570\u5b66\u5371\u673a\uff0c\u5927\u5927\u52a0\u6df1\u4e86\u4eba\u4eec\u5bf9\u6570\u7684\u7406\u89e3\uff1b
4\u3001\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u662f\u5386\u53f2\u4e0a\u7b2c\u2014\u4e2a\u7ed9\u51fa\u4e86\u5b8c\u5168\u89e3\u7b54\u7684\u4e0d\u5b9a\u65b9\u7a0b\uff0c\u5b83\u5f15\u51fa\u4e86\u8d39\u9a6c\u5927\u5b9a\u7406\uff1b
5\u3001\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u662f\u6b27\u6c0f\u51e0\u4f55\u7684\u57fa\u7840\u5b9a\u7406\uff0c\u5e76\u6709\u5de8\u5927\u7684\u5b9e\u7528\u4ef7\u503c\uff0c\u8fd9\u6761\u5b9a\u7406\u4e0d\u4ec5\u5728\u51e0\u4f55\u5b66\u4e2d\u662f\u4e00\u9897\u5149\u5f69\u593a\u76ee\u7684\u660e\u73e0\uff0c\u88ab\u8a89\u4e3a\u201c\u51e0\u4f55\u5b66\u7684\u57fa\u77f3\u201d\uff0c\u800c\u4e14\u5728\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u548c\u5176\u4ed6\u79d1\u5b66\u9886\u57df\u4e5f\u6709\u7740\u5e7f\u6cdb\u7684\u5e94\u7528\u30021971\u5e745\u670815\u65e5\uff0c\u5c3c\u52a0\u62c9\u74dc\u53d1\u884c\u4e86\u4e00\u5957\u9898\u4e3a\u201c\u6539\u53d8\u4e16\u754c\u9762\u8c8c\u7684\u5341\u4e2a\u6570\u5b66\u516c\u5f0f\u201d\u90ae\u7968\uff0c\u8fd9\u5341\u4e2a\u6570\u5b66\u516c\u5f0f\u7531\u8457\u540d\u6570\u5b66\u5bb6\u9009\u51fa\u7684\uff0c\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u662f\u5176\u4e2d\u4e4b\u9996\u3002
\u7b80\u5355\u7684\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u8bc1\u660e\u65b9\u6cd5\u5982\u4e0b\uff1a
\u62d3\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u4f7f\u7528\u65b9\u6cd5\uff1a
1\u3001\u786e\u4fdd\u4e09\u89d2\u5f62\u662f\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u3002 \u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u53ea\u9002\u7528\u4e8e\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\uff0c\u6240\u4ee5\uff0c\u5728\u5e94\u7528\u5b9a\u7406\u4e4b\u524d\uff0c\u4f60\u9700\u8981\u5148\u786e\u5b9a\u4e09\u89d2\u5f62\u662f\u5426\u662f\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u8fd9\u4e00\u70b9\u975e\u5e38\u91cd\u8981\u3002\u5e78\u597d\uff0c\u533a\u5206\u76f4\u63a5\u4e09\u89d2\u5f62\u548c\u522b\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u65b9\u6cd5\u53ea\u6709\u4e00\u4e2a\uff0c\u90a3\u5c31\u662f\u770b\u4e00\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\u662f\u5426\u6709\u4e00\u4e2a90\u5ea6\u7684\u89d2\u3002
2\u3001\u786e\u5b9a\u53d8\u91cfa\uff0cb\uff0cc\u5bf9\u5e94\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u8fb9\u3002\u5728\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u4e2d\uff0ca\uff0cb\u8868\u793a\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e24\u6761\u76f4\u89d2\u8fb9\uff0c\u800cc\u7528\u6765\u8868\u793a\u659c\u8fb9\uff0c\u5373\u76f4\u89d2\u5bf9\u5e94\u7684\u90a3\u6761\u6700\u957f\u7684\u8fb9\u3002\u6240\u4ee5\uff0c\u5148\u7ed9\u4e24\u6761\u76f4\u89d2\u8fb9\u5206\u522b\u6807\u6ce8\u4e0aa\uff0cb\uff08\u5177\u4f53\u7684\u5bf9\u5e94\u5173\u7cfb\u6ca1\u6709\u8981\u6c42\uff09\uff0c\u800c\u659c\u8fb9\u6807\u6ce8\u4e0ac\u3002
3\u3001\u786e\u5b9a\u4f60\u6240\u8981\u6c42\u7684\u8fb9\u3002\u4f7f\u7528\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u53ef\u4ee5\u6c42\u51fa\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4efb\u610f\u4e00\u6761\u8fb9\u7684\u957f\u5ea6\uff0c\u4f46\u524d\u63d0\u662f\u77e5\u9053\u53e6\u5916\u4e24\u6761\u8fb9\u7684\u957f\u5ea6\u3002\u5148\u786e\u5b9a\u54ea\u4e00\u6761\u8fb9\u7684\u957f\u5ea6\u662f\u672a\u77e5\u7684\u2014\u2014a\uff0cb\u6216\u8005c\u3002
4\u3001\u4ee3\u5165\u3002\u5c06\u4e24\u6761\u5df2\u77e5\u8fb9\u7684\u957f\u5ea6\u5e26\u5165\u5230\u516c\u5f0fa2 + b2 = c2\u4e2d\uff0c\u5176\u4e2da\u548cb\u5bf9\u5e94\u7684\u662f\u4e24\u76f4\u89d2\u8fb9\u7684\u957f\u5ea6\uff0c\u800cc\u4ee3\u8868\u659c\u8fb9\u957f\u5ea6\u3002\u5728\u4e0a\u9762\u7684\u4f8b\u5b50\u4e2d\uff0c\u6211\u4eec\u77e5\u9053\u4e00\u6761\u76f4\u89d2\u8fb9\u548c\u659c\u8fb9\u7684\u957f\u5ea6\uff083\u548c5\uff09\uff0c\u7136\u540e\u5c063\u548c5\u4ee3\u5165\u5230\u516c\u5f0f\u4e2d\uff0c\u670932 + b2 = 2\u3002
5\u3001\u8ba1\u7b97\u5e73\u65b9\u3002\u9996\u5148\uff0c\u8ba1\u7b97\u4e24\u6761\u5df2\u77e5\u8fb9\u957f\u5ea6\u7684\u5e73\u65b9\u503c\u3002\u6216\u8005\uff0c\u4f60\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5148\u4e0d\u8ba1\u7b97\u51fa\u6765\uff0c\u7136\u540e\u4fdd\u7559\u5e73\u65b9\uff0c\u5e26\u5230\u5f0f\u5b50\u4e2d\u76f4\u63a5\u8ba1\u7b97\u5e73\u65b9\u548c\u3002\u5728\u4e0a\u8ff0\u4f8b\u5b50\u4e2d\uff0c3\u548c5\u7684\u5e73\u65b9\u5206\u522b\u662f9\u548c25\uff0c\u6240\u4ee5\u65b9\u7a0b\u53ef\u4ee5\u6539\u5199\u4e3a9 + b2 = 25\u3002
6\u3001\u5c06\u672a\u77e5\u53d8\u91cf\u79fb\u5230\u7b49\u53f7\u4e00\u8fb9\u3002\u5982\u679c\u6709\u5fc5\u8981\u7684\u8bdd\uff0c\u8fd0\u7528\u57fa\u672c\u7684\u4ee3\u6570\u64cd\u4f5c\uff0c\u5c06\u672a\u77e5\u53d8\u91cf\u79fb\u52a8\u5230\u7b49\u53f7\u4e00\u4fa7\uff0c\u800c\u5c06\u5df2\u77e5\u53d8\u91cf\u79fb\u52a8\u5230\u7b49\u53f7\u7684\u53e6\u4e00\u4fa7\u3002\u5982\u679c\u4f60\u8981\u6c42\u7684\u662f\u659c\u8fb9\u957f\uff0c\u90a3\u4e48\u5c31\u4e0d\u9700\u8981\u518d\u79fb\u52a8\u53d8\u91cf\u4e86\u3002\u5728\u4e0a\u8ff0\u4f8b\u5b50\u4e2d\uff0c\u65b9\u7a0b\u5f0f\u662f9 + b2 = 25\u3002\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u51cf\u53bb9\uff0c\u7b49\u5f0f\u53d8\u4e3ab2= 16\u3002
7\u3001\u6c42\u5f00\u65b9\u3002\u73b0\u5728\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u4e00\u8fb9\u662f\u6570\u5b57\uff0c\u53e6\u4e00\u8fb9\u662f\u53d8\u91cf\uff0c\u7136\u540e\u540c\u65f6\u6c42\u4e24\u8fb9\u7684\u5e73\u65b9\u6839\u3002\u5728\u4e0a\u8ff0\u4f8b\u5b50\u4e2db2 = 16\uff0c\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u6c42\u5e73\u65b9\u6839\uff0c\u6709b = 4\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u672a\u77e5\u8fb9\u7684\u957f\u5ea6\u5c31\u662f4\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。
关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。
证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。
过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可证
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC，
即 c2=a2+b2
证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以 a2+b2=c2
证法3 如图26-4（梅文鼎图）。
在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设
五边形ACKDE的面积=S
一方面，
S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积
=c2+ab (1)
另一方面，
S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积
+2倍△ABC面积
=b2+a2+ab. (2)
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。
设五边形EKJBD的面积为S。一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面，
S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1)，(2)
得出论证
都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc
勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法！但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”：http://cimg.163.com/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。 以下网址为刘徽的“青朱出入图”：http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif
勾股定理应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：“禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。”这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。
勾股定理的证明方法据说已有500余种，其中，美国第20任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．总统怎么想到去证明勾股定理的？事情的经过是这样的：
1876年初，一个周末的傍晚，当时任美国俄亥俄州共和党议员的伽菲尔德，正在华盛顿的效外散步，他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在争论着什么，出于好奇走近一看，只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是，伽菲尔德问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬的说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又问：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味．
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心研究小男孩留给他的难题，他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．
他是这样分析的，如右图所示：
因为 ，
又因为
比较上面两式，得 ．
1876年，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法．
1881年，伽菲尔德就任美国第20任总统，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷的证明，就把这一证法称为“总统”证法．
http://teacher.wjszzx.cn/html/2006-04/4887.htm里面有图
梯形的面积=三个三角形的面积和
1/2(a+b)*(a+b)=1/2ab+1/2ab+1/2c^2
整理得
a^2+b^2=c^2
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