sin x 的四次方 的积分怎么求 sin x 的四次方 的不定积分怎么求

sinx\u7684\u56db\u6b21\u65b9\u7684\u79ef\u5206\u600e\u4e48\u6c42\uff1f

\u964d\u5e42
cos2x=1-2(sinx)^2
\u56db\u6b21\u65b9\uff1a
\u56db\u6b21\u65b9\u5c31\u662f\u56db\u4e2a\u6240\u6307\u7684\u6570\u76f8\u4e58\uff0c\u4f8b\u56fe\u5219\u662f\u5341\u7684\u56db\u6b21\u65b9\uff0c\u5c31\u662f\u56db\u4e2a\u5341\u76f8\u4e58\u3002\u5f9710\u00d710\u00d710\u00d710=10 000
*\u6ce8\uff1a\u56db\u6b21\u65b9\u7684\u201c\u56db\u201d\u8981\u6bd4\u6570\u5b57\u5c0f\u4e00\u70b9\u70b9\u3002

\u222b(sinx)^4dx
=\u222b[(1/2)(1-cos2x]^2dx
=(1/4)\u222b[1-2cos2x+(cos2x)^2]dx
=(1/4)\u222b[1-2cos2x+(1/2)(1+cos4x)]dx
=(3/8)\u222bdx-(1/2)\u222bcos2xdx+(1/8)\u222bcos4xdx
=(3/8)\u222bdx-(1/4)\u222bcos2xd2x+(1/32)\u222bcos4xd4x
=(3/8)x-(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C

\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a

\u8bbeF(x)\u662f\u51fd\u6570f(x)\u7684\u4e00\u4e2a\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u6211\u4eec\u628a\u51fd\u6570f(x)\u7684\u6240\u6709\u539f\u51fd\u6570F(x)+ C(\u5176\u4e2d\uff0cC\u4e3a\u4efb\u610f\u5e38\u6570\uff09\u53eb\u505a\u51fd\u6570f(x)\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u53c8\u53eb\u505a\u51fd\u6570f(x)\u7684\u53cd\u5bfc\u6570\uff0c\u8bb0\u4f5c\u222bf(x)dx\u6216\u8005\u222bf\uff08\u9ad8\u7b49\u5fae\u79ef\u5206\u4e2d\u5e38\u7701\u53bbdx\uff09\uff0c\u5373\u222bf(x)dx=F(x)+C\u3002
\u5176\u4e2d\u222b\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u53f7\uff0cf(x)\u53eb\u505a\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\uff0cx\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u53d8\u91cf\uff0cf(x)dx\u53eb\u505a\u88ab\u79ef\u5f0f\uff0cC\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u5e38\u6570\u6216\u79ef\u5206\u5e38\u91cf\uff0c\u6c42\u5df2\u77e5\u51fd\u6570\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u8fc7\u7a0b\u53eb\u505a\u5bf9\u8fd9\u4e2a\u51fd\u6570\u8fdb\u884c\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u3002
\u867d\u7136\u5f88\u591a\u51fd\u6570\u90fd\u53ef\u901a\u8fc7\u5982\u4e0a\u7684\u5404\u79cd\u624b\u6bb5\u8ba1\u7b97\u5176\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u4f46\u8fd9\u5e76\u4e0d\u610f\u5473\u7740\u6240\u6709\u7684\u51fd\u6570\u7684\u539f\u51fd\u6570\u90fd\u53ef\u4ee5\u8868\u793a\u6210\u521d\u7b49\u51fd\u6570\u7684\u6709\u9650\u6b21\u590d\u5408\uff0c\u539f\u51fd\u6570\u4e0d\u53ef\u4ee5\u8868\u793a\u6210\u521d\u7b49\u51fd\u6570\u7684\u6709\u9650\u6b21\u590d\u5408\u7684\u51fd\u6570\u79f0\u4e3a\u4e0d\u53ef\u79ef\u51fd\u6570\u3002\u5229\u7528\u5fae\u5206\u4ee3\u6570\u4e2d\u7684\u5fae\u5206Galois\u7406\u8bba\u53ef\u4ee5\u8bc1\u660e\uff0c\u5982 \uff0cxx \uff0csinx/x\u8fd9\u6837\u7684\u51fd\u6570\u662f\u4e0d\u53ef\u79ef\u7684\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a
\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206_\u767e\u5ea6\u767e\u79d1

∫(sinx)^4dx

=∫[(1/2)(1-cos2x]^2dx

=(1/4)∫[1-2cos2x+(cos2x)^2]dx

=(1/4)∫[1-2cos2x+(1/2)(1+cos4x)]dx

=(3/8)∫dx-(1/2)∫cos2xdx+(1/8)∫cos4xdx

=(3/8)∫dx-(1/4)∫cos2xd2x+(1/32)∫cos4xd4x

=(3/8)x-(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

参考资料来源：百度百科——不定积分

降幂

cos2x=1-2(sinx)^2

要求sin(x)的四次方的积分，可以通过代数和三角恒等式的运用来进行计算。

我们知道，sin^2(x)的积分可以通过反正函数求得，即 ∫sin^2(x) dx = (x/2) - (1/4)sin(2x) + C。

那么，sin^4(x)可以通过将sin^2(x)平方来计算。根据恒等式sin^2(x) = (1/2)(1 - cos(2x))，我们有：

sin^4(x) = (sin^2(x))^2 = ((1/2)(1 - cos(2x)))^2

展开后得到：

sin^4(x) = (1/4)(1 - 2cos(2x) + cos^2(2x))

现在我们可以将这个结果代入sin^4(x)的积分：

∫sin^4(x) dx = (1/4)∫(1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)) dx

继续计算每一项的积分：

∫sin^4(x) dx = (1/4)(x - sin(2x)/2 + (1/4)sin(4x)) + C

因此，sin(x)的四次方的积分为(1/4)(x - sin(2x)/2 + (1/4)sin(4x)) + C。其中，C为积分常数。

一般这种情况都是积分区域从0到π/2的定积分，可采用华里士公式
①[(n-1)/n]×[(n-3)/(n-2)]……(1/2)×(π/2) (n为sinx的次数，n为偶数)
②[(n-1)/n]×[(n-3)/(n-2)]……(2/3)×1 (n为sinx的次数，n为奇数)

要计算sin^4(x)的积分，可以使用换元法结合三角函数的恒等式来计算。以下是计算积分的步骤：
1. 使用恒等式 sin^2(x) = (1/2)(1 - cos(2x)) 将sin^4(x)表示为sin^2(x)的平方的形式。
2. 令u = sin(x)，则du = cos(x)dx，由此可得到新的被积函数 u^2 * du。
3. 将原来的自变量x替换为u，并将被积函数转化为 u^2 * du。
4. 进行积分。由于被积函数是一个简单的幂函数，积分后可以得到结果。
下面是具体的计算过程：
∫sin^4(x)dx = ∫(sin^2(x))^2 dx = ∫(1/4)(1 - cos(2x))^2 dx
令 u = sin(x)，则 du = cos(x)dx，由此可得到新的被积函数：
(1/4)∫(1 - cos(2x))^2 dx = (1/4)∫(1 - cos(2x))(1 - cos(2x)) dx = (1/4)∫(1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)) dx
= (1/4)∫(1 - 2cos(2x) + (1/2)(1 + cos(4x))) dx
= (1/4)∫(3/2 - 2cos(2x) + (1/2)cos(4x)) dx
= (3/8)x - (1/4)sin(2x) + (1/8)sin(4x) + C
因此，sin^4(x)的积分结果为：
∫sin^4(x)dx = (3/8)x - (1/4)sin(2x) + (1/8)sin(4x) + C
其中C为积分常数

扩展阅读：sin x 2积分 ... sinx四次方的不定积分 ... sint4dsint的积分 ... sin x+y 的不定积分 ... sin x2 ... 火箭公式定积分 ... 求解方程计算器 ... sin x+y 的二重积分 ... 次方计算器 ...