2道高一数学竞赛题目
\u9ad8\u4e00\u6570\u5b66\u7ade\u8d5b\u9898\u5b9a\u4e49\u57df\u662f[m,n],m\u2260n\uff0c\u56e0\u4e3ax\u22600\uff0c\u6240\u4ee5\u5b9a\u4e49\u57df\u8981\u4e48\u5927\u4e8e0\uff0c\u8981\u4e48\u5c0f\u4e8e0.
\u5148\u8ba8\u8bba\u5927\u4e8e0\u7684\u60c5\u51b5\uff1a
f\uff08x\uff09\u662f\u589e\u51fd\u6570\uff0c\u6240\u4ee5x=m\u7684\u65f6\u5019\uff0cf\uff08x\uff09=m\uff0c(1/a)-(1/m)=m
x=n\u7684\u65f6\u5019\uff0cf\uff08x\uff09=n\uff0c(1/a)-(1/n)=n
\u7531\u4e0a\u9762\u7684\u4e24\u4e2a\u7b49\u5f0f\uff0c\u6839\u636e\u67ef\u897f\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff0c\u53ef\u4ee5\u770b\u51faa\u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\u662fa\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e2\u3002
\u540c\u7406\uff0c\u53ef\u8ba8\u8bba\u5728\u5b9a\u4e49\u57df\u5c0f\u4e8e0\u7684\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0ca\u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\u662fa\u5c0f\u4e8e\u7b49\u4e8e-2
\u6700\u7ec8a\u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\u662f\uff1a\u7edd\u5bf9\u503ca\u22652
\u4e0d\u9700\u8981\u7528\u4efb\u4f55\u516c\u5f0f\uff08\u521d\u4e2d\u77e5\u8bc6\u2026\u2026\uff09
(1)
|f(x)| = |a(x²-1) + x| <= |a||x²-1| + |x|\uff08\u7edd\u5bf9\u503c\u4e09\u89d2\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff09
=|x|\uff09
= 1-|x|^2 + |x| = 5/4 - (1/2 - |x|)^2 <= 5/4
(2)
f(1) = 1, f(-1) = -1\uff0c\u5747\u5c0f\u4e8e17/8\uff0c\u6240\u4ee5\u6700\u5927\u503c\u4e0d\u5728-1,1\u5904\u53d6\u5230\uff0c\u8bf4\u660ef(x)\u5f00\u53e3\u5411\u4e0b\uff0c\u5373a < 0
\u914d\u65b9\u5f97
f(x) = a(x+1/(2a)) - a-1/(4a)
\u7531\u4e8e\u6700\u5927\u503c\u4e0d\u57281,-1\u4e0a\u53d6\u5230\uff0c\u53ea\u80fd\u5728x=-1/(2a)\u4e0a\u53d6\u5230\uff0c\u6240\u4ee5
-1 < -1/(2a) < 1
-a-1/(4a) = 17/8
\u540e\u8005\u662f\u4e00\u4e2a\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u89e3\u5f97a = -2\u6216-1/8\uff08\u820d\u53bb\uff0c\u4e0d\u6ee1\u8db3\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff09
1、
m+1/m=1－－>m^2+1=m--->m^2-m=-1两边同时乘以m，得
m^3-m^2=-m--->m^3=m^2-m=-1
m^2008=m*m^2007=m*m^(3*669)=m*(-1)669=-m
m^2009=(m^2010)/m=[m^(3*670)]/m=(-1)^670/m=1/m
m^2008+1/m^2009=-m+1/(1/m)=-m+m=0
2、解法如图
既然考虑的是正整数解，很显然X1、X2、X3、X4、X5、X6>=1
故而X1+X2+X3+3X4+4X5+5X6>=15
也就是X1+X2+X3+3X4+4X5+5X6的最小值为15
当前所要求的X1+X2+X3+3X4+4X5+5X6=21，是要求在其最小值上加上6
不妨设X1'=X2'=X3'=X4'=X5'=X6'=1
所以X1'+X2'+X3'+3X4'+4X5'+5X6'=15
对应的设，Xn=Xn'+xn（n=1、2、3、4、5、6）,xn>=0,xn是整数
X1+X2+X3+3X4+4X5+5X6=X1'+X2'+X3'+3X4'+4X5'+5X6'+ x1+x2+x3+3x4+4x5+5x6=21
即x1+x2+x3+3x4+4x5+5x6=6,
那么现在问题转化成
x1+x2+x3+3x4+4x5+5x6=6,
求xn的非负整数解的组数
余下的解法见图（在这个里面打符号太麻烦了）
注意：图中所示的解法漏了一组解，也就是x4=2时，其它都等于0的情况，故而总共有45组解
1）
∵ m + 1/m = 1
∴ m^2 - m + 1 = 0
∴ (m + 1) (m^2 - m + 1) = 0
即 m^3 + 1 = 0, m^3 = -1
设 m^2008 + 1/m^2009 = X, m^4017 - Xm^2009 + 1 = 0
∴ -1 + Xm^2 + 1 = 0 （m^2007 = -1, m^4017 = -1)
∴ Xm^2 = 0
∴ X = 0
2）6组独立的解
（21，0，0，0，0，0）
（0，21，0，0，0，0）
.....
（0，0，0，0，0，7/2)
其他任何解，都是以上 6 组解的组合。
首先正解应该是48，理由如下，还是想用组合知识，它可以体现一般性，使该问题 分析深刻一点，既然考虑的是正整数解，很显然X1、X2、X3、X4、X5、X6>=1
故而X1+X2+X3+3X4+4X5+5X6>=15
也就是X1+X2+X3+3X4+4X5+5X6的最小值为15
当前所要求的X1+X2+X3+3X4+4X5+5X6=21，是要求在其最小值上加上6
不妨设X1'=X2'=X3'=X4'=X5'=X6'=1
所以X1'+X2'+X3'+3X4'+4X5'+5X6'=15
对应的设，Xn=Xn'+xn（n=1、2、3、4、5、6）,xn>=0,xn是整数
X1+X2+X3+3X4+4X5+5X6=X1'+X2'+X3'+3X4'+4X5'+5X6'+ x1+x2+x3+3x4+4x5+5x6=21
即x1+x2+x3+3x4+4x5+5x6=6,
那么现在问题转化成
x1+x2+x3+3x4+4x5+5x6=6, 先引入一个结论，x1+x2+x3+...+xn=m,找它的非负数解，显然它的解的个数，与x1+1+x2+1+....+xn+1=m+n的解的个数是相等的，令xi+1=yi，有y1+y2+...yn=m+n,问题转化为求正整数的解的个数，考虑有m+n个小球排成一排，它们之间有m+n-1个空挡，用n-1个挡板插入空挡中分开小球，显然的每一种的插法对应一组解，有组合的知识知道有c[m+n-1，n-1],有组合的公式可以写成c[m+n-1,m]综上有x1+x2+x3+...+xn=m非负数的解的个数有c[m+n-1，m]对于x1+x2+x3=0,有公式知道有1组解，对于x1+x2+x3=1,有上面的公式知道有3个，x1+x2+x3=2，有上面的公式知道有6个，，x1+x2+x3=3,有10个解，x1+x2+x3=6，有28个解，对于每一组x1,x2,x3,相应的x4,x5,x6是唯一的，于是解得总数为1+3+6+10+28=48解，
绛旓細鏁板鎬濇兂鏉ユ瑁咃紝宸ф濆瑙ｆ斁鍏夎姃 涓閬鏁板绔炶禌棰鐨勪竴棰樺瑙 涓 銆佸紩瀛 鍖椾含甯備腑瀛︾敓鏁板绔炶禌鏈夌潃鎮犱箙鐨勫巻鍙层傝繎鍗佸嚑骞存潵锛屽寳浜競涓鐢熸暟瀛︾珵璧涙槸鍦ㄥ垵浜屽拰楂樹竴涓涓勾绾ц繘琛屻1990骞磋捣鍒嗕负鍒濊瘯鍜屽璇曪紝鍒濊瘯浠ユ櫘鍙婁负涓伙紝澶嶈瘯鍒欓傚害鎻愰珮銆傚懡棰樼揣瀵嗙粨鍚堜腑瀛︽暟瀛︽暀瀛﹀疄闄咃紝娲昏屼笉闅撅紝瓒ｈ屼笉鎬紝宸ц屼笉鍋忥紝...
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