求09年全国初中数学竞赛（广州赛区）复赛试题及答案
\u6c422009\u5168\u56fd\u521d\u4e2d\u6570\u5b66\u7ade\u8d5b\u521d\u8d5b\u8bd5\u9898\uff08\u5e7f\u5dde\u8d5b\u533a\uff09\u53ca\u7b54\u68482009\u5e74\u5168\u56fd\u521d\u4e2d\u6570\u5b66\u7ade\u8d5b\u5e7f\u5dde\u8d5b\u533a
\u521d\u4e2d\u6570\u5b66\u7ade\u8d5b\u8bd5\u9898
\u4e00\u3001\u9009\u62e9\u9898(\u672c\u9898\u51718\u5c0f\u9898\uff0c\u6bcf\u5c0f\u98986\u5206\uff0c\u6ee1\u520648\u5206)\uff1a\u4e0b\u9762\u5404\u9898\u7ed9\u51fa\u7684\u9009\u9879\u4e2d\uff0c\u53ea\u6709\u4e00\u9879\u662f\u6b63\u786e\u7684\uff0c\u8bf7\u5c06\u6b63\u786e\u9009\u9879\u7684\u4ee3\u53f7\u586b\u5728\u9898\u540e\u7684\u62ec\u53f7\u5185\uff0e
1.\u5df2\u77e5\u51fd\u6570y = x2 + 1\u2013 x \uff0c\u70b9P(x\uff0cy)\u5728\u8be5\u51fd\u6570\u7684\u56fe\u8c61\u4e0a. \u90a3\u4e48\uff0c\u70b9P(x\uff0cy)\u5e94\u5728\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u5e73\u9762\u7684 ( )
(A)\u7b2c\u4e00\u8c61\u9650 (B)\u7b2c\u4e8c\u8c61\u9650 (C)\u7b2c\u4e09\u8c61\u9650 (D)\u7b2c\u56db\u8c61\u9650
2\uff0e\u4e00\u53ea\u76d2\u5b50\u4e2d\u6709\u7ea2\u7403m\u4e2a\uff0c\u767d\u740310\u4e2a\uff0c\u9ed1\u7403n\u4e2a\uff0c\u6bcf\u4e2a\u7403\u9664\u989c\u8272\u5916\u90fd\u76f8\u540c\uff0c\u4ece\u4e2d\u4efb\u53d6\u4e00\u4e2a\u7403\uff0c\u53d6\u5f97\u662f\u767d\u7403\u7684\u6982\u7387\u4e0e\u4e0d\u662f\u767d\u7403\u7684\u6982\u7387\u76f8\u540c\uff0c\u90a3\u4e48m\u4e0en\u7684\u5173\u7cfb\u662f ( )
(A) m + n = 10 (B) m + n = 5 (C) m = n = 10 (D) m = 2\uff0cn = 3
3\uff0e\u6211\u7701\u89c4\u5b9a\uff1a\u6bcf\u5e7411\u6708\u7684\u6700\u540e\u4e00\u4e2a\u661f\u671f\u65e5\u4e3e\u884c\u521d\u4e2d\u6570\u5b66\u7ade\u8d5b\uff0c\u660e\u5e74\u4e3e\u884c\u521d\u4e2d\u6570\u5b66\u7ade\u8d5b\u7684\u65e5\u671f\u662f ( )
(A)11\u670826\u65e5 (B)11\u670827\u65e5 (C)11\u670829\u65e5 (D)11\u670830\u65e5
4.\u5728\u5e73\u9762\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\u6709\u4e24\u70b9A(\u20132\uff0c2)\uff0cB(3\uff0c2)\uff0cC\u662f\u5750\u6807\u8f74\u4e0a\u7684\u4e00\u70b9\uff0c\u82e5\u25b3ABC\u662f\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u5219\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6\u7684\u70b9C\u6709 ( )
(A)1\u4e2a (B)2\u4e2a (C)4\u4e2a (D)6\u4e2a
5\uff0e\u5982\u56fe\uff0c\u5728\u6b63\u4e09\u89d2\u5f62ABC\u7684\u8fb9BC\uff0cCA\u4e0a\u5206\u522b\u6709\u70b9E\u3001F\uff0c\u4e14\u6ee1\u8db3
BE = CF = a\uff0cEC = FA = b (a > b ). \u5f53BF\u5e73\u5206AE\u65f6\uff0c\u5219 ab \u7684\u503c\u4e3a \uff08 \uff09
(A) 5 \u2013 12 (B) 5 \u2013 22 (C) 5 + 12 (D) 5 + 22
6\uff0e\u67d0\u5355\u4f4d\u5728\u4e00\u5feb\u9910\u5e97\u8ba2\u4e8622\u76d2\u76d2\u996d\uff0c\u5171\u82b1\u8d39140\u5143\uff0c\u76d2\u996d\u5171\u6709\u7532\u3001\u4e59\u3001\u4e19\u4e09\u79cd\uff0c\u5b83\u4eec\u7684\u5355\u4ef7 \u5206\u522b\u4e3a8\u5143\u30015\u5143\u30013\u5143\uff0e\u90a3\u4e48\u53ef\u80fd\u7684\u4e0d\u540c\u8ba2\u9910\u65b9\u6848\u6709 ( )
(A)1\u4e2a (B)2\u4e2a (C)3\u4e2a (D)4\u4e2a
7\uff0e\u5df2\u77e5a > 0\uff0cb > 0\u4e14a (a + 4b ) = 3b (a + 2b ). \u5219 a + 6ab \u2013 8b2a \u2013 3ab + 2b \u7684\u503c\u4e3a ( )
(A)1 (B)2 (C) 1911 (D) 2
8\uff0e\u5982\u56fe\uff0c\u5728\u68af\u5f62ABCD\u4e2d\uff0c\u2220D = 90\u00b0\uff0cM\u662fAB\u7684\u4e2d\u70b9\uff0c\u82e5
CM = 6.5\uff0cBC + CD + DA = 17\uff0c\u5219\u68af\u5f62ABCD\u7684\u9762\u79ef\u4e3a ( )
(A)20 (B)30 (C)40 (D)50
\u4e8c\u3001\u586b\u7a7a\u9898(\u672c\u9898\u51714\u5c0f\u9898\uff0c\u6bcf\u5c0f\u98988\u5206\uff0c\u6ee1\u520632\u5206)\uff1a\u5c06\u7b54\u6848
\u76f4\u63a5\u586b\u5199\u5728\u5bf9\u5e94\u9898\u76ee\u4e2d\u7684\u6a2a\u7ebf\u4e0a\uff0e
9\uff0e\u5982\u56fe\uff0c\u5728\u83f1\u5f62ABCD\u4e2d\uff0c\u2220A = 100\u00b0\uff0cM\uff0cN\u5206\u522b\u662fAB\u548cBC
\u7684\u4e2d\u70b9\uff0cMP\u22a5CD\u4e8eP\uff0c\u5219\u2220NPC\u7684\u5ea6\u6570\u4e3a \uff0e
10\uff0e\u82e5\u5b9e\u6570a \u6ee1\u8db3a3 + a2 \u2013 3a + 2 = 3a \u2013 1a2 \u2013 1a3 \uff0c
\u5219 a + 1a = \uff0e
11\uff0e\u5982\u56fe\uff0c\u5728\u25b3ABC\u4e2d\u2220BAC = 45\u00b0\uff0cAD\u22a5BC\u4e8eD\uff0c\u82e5BD = 3\uff0cCD
= 2\uff0c\u5219S\u22bfABC = .
12\uff0e\u4e00\u6b21\u51fd\u6570 y = \u2013 3 3 x + 1 \u4e0e x \u8f74\uff0cy\u8f74\u5206\u522b\u4ea4\u4e8e
\u70b9A\uff0cB\uff0e\u4ee5\u7ebf\u6bb5AB\u4e3a\u8fb9\u5728\u7b2c\u4e00\u8c61\u9650\u5185\u4f5c\u6b63\u65b9\u5f62ABCD (\u5982
\u56fe)\uff0e\u5728\u7b2c\u4e8c\u8c61\u9650\u5185\u6709\u4e00\u70b9P(a\uff0c12 )\uff0c\u6ee1\u8db3S\u25b3ABP = S\u6b63\u65b9\u5f62ABCD \uff0c
\u5219a = \uff0e
\u4e09\uff0c\u89e3\u7b54\u9898(\u672c\u9898\u51713\u5c0f\u9898\uff0c\u6bcf\u5c0f\u989820\u5206\uff0c\u6ee1\u520660\u5206)
13\uff0c\u5982\u56fe\uff0c\u70b9Al\uff0cBl\uff0cC1\u5206\u522b\u5728\u25b3ABC\u7684\u8fb9AB\uff0cBC\uff0cCA\u4e0a\uff0c
\u4e14AA1AB = BB1BC = CC1CA = k ( k < 12 )\uff0e\u82e5\u25b3ABC\u7684\u5468\u957f\u4e3ap\uff0c\u25b3A1B1C1
\u7684\u5468\u957f\u4e3ap1\uff0c\u6c42\u8bc1\uff1ap1 < (1 \u2013 k)p.
14\uff0e\u67d0\u6821\u4e00\u95f4\u5bbf\u820d\u91cc\u4f4f\u6709\u82e5\u5e72\u4f4d\u5b66\u751f\uff0c\u5176\u4e2d\u4e00\u4eba\u62c5\u4efb\u820d\u957f\uff0e\u5143\u65e6\u65f6\uff0c\u8be5\u5bbf\u820d\u91cc\u7684\u6bcf\u4f4d\u5b66\u751f\u4e92\u8d60\u4e00\u5f20\u8d3a\u5361\uff0c\u5e76\u4e14\u6bcf\u4eba\u53c8\u8d60\u7ed9\u5bbf\u820d\u697c\u7684\u6bcf\u4f4d\u7ba1\u7406\u5458\u4e00\u5f20\u8d3a\u5361\uff0c\u6bcf\u4f4d\u5bbf\u820d\u7ba1\u7406\u5458\u4e5f\u56de\u8d60\u820d\u957f\u4e00\u5f20\u8d3a\u5361\uff0c\u8fd9\u6837\u5171\u7528\u53bb\u4e8651\u5f20\u8d3a\u5361\uff0e\u95ee\u8fd9\u95f4\u5bbf\u820d\u91cc\u4f4f\u6709\u591a\u5c11\u4f4d\u5b66\u751f\uff0e
15\uff0e\u82e5a1\uff0ca2\uff0c\u2026\uff0can\u5747\u4e3a\u6b63\u6574\u6570\uff0c\u4e14a1 < a2< \u2026 < an\u2264 2007\uff0e\u4e3a\u4fdd\u8bc1\u8fd9\u4e9b\u6574\u6570\u4e2d\u603b\u5b58\u5728\u56db\u4e2a\u4e92\u4e0d\u76f8\u540c\u7684\u6570ai\uff0caj\uff0cak\uff0cal\uff0c\u4f7f\u5f97ai + aj = ak + al = an\uff0c\u90a3\u4e48n\u7684\u6700\u5c0f\u503c\u662f\u591a\u5c11?\u5e76\u8bf4\u660e\u7406\u7531\uff0e
\u53c2\u8003\u7b54\u6848\uff1a
\u4e00\uff0e BADDC CBB \u4e8c. 9. 50\u00b0 10. 2\u6216\u2013 3 11. 15 12. 3 2 \u2013 8\uff0e
\u4e09\uff0e13. \u7565 14. 6\u4f4d\u5b66\u751f 15. \u7565.
\u90fd\u8003\u5b8c\u4e86\uff0c\u8981\u7b54\u6848\u5e72\u561b\u3002\u8fdbwww.gdjy.cn\u627e
答案补充一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）以下每道小题均给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填，多填或错填都的0分）1、已知非零实数a、b满足|2a-4|+|b+2|+(a-3)b2 +4=2a，则a+b等于（ ）A、-1 B、0 C、1 D、2解 有题设知a≥3，题设等式化为|b+2|+(a-3)b2 =0，于是a=3，b=-2，从而a+b=1，选C
答案补充
2、如图所示，菱形ABCD边长为a，点O在对角线AC上一点，且OA=a，OB=OC=OD=1,则a等于（ ）A、5+12 B、5-12 C、1 D、2解：∵△BOC∽△ABC，∴B0AB =BCAC 即1a =aa+1 ∴a2-a-1=0由于a＞0，解得a=5+12 ，选A
答案补充
3、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则关于x、y的方程组 只有正数解的概率为（ ）A、112 B、29 C、518 D、1336 解 当2a-b=0时，方程组无解当2a-b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为1336 选D
答案补充
4、如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖CD，∠B=90°，动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）A、10 B、16 C、18 D、32解 根据图象可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求的AB=8，故S△ABC=12 ×8×4=16 选B
答案补充
5、关于x、y的方程x2+xy+y2=29的整数解（x、y）的组数为（ ）A、2组 B、3组 C、4组 D、无穷多组解 可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2+yx+（2y2-29）=0由于该方程有整数根，根据判别式△≥0，且是完全平方数由△=y2-4(2y2-29)= -7y2+116≥0解得y2≤1167 ≈16.57y2 0 1 4 9 16△ 116 109 88 53 4显然只有y2=16时，△=4是完全平方数，符合要求当y=4时，原方程为x2+4x+3=0，此时x1=-1，x2=-3当y=-4时，原方程为x2-4x+3=0，此时x3=1，x4=3所以，原方程的整数解为 选C
答案补充
6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将能行驶 ；解 设每个轮胎报废时总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为k5000 ，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为k3000 ，又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm，分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有 则x+y=3750 ∴填3750
答案补充
7、已知线段AB的中点为C，以点C为圆心，AB长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD=AC；再以点D为圆心，DA的长位半径作圆，与⊙A分别相交于点F、G两点，连接FG交AB于点H，则AHAB 的值为 ；解 如图，延长AD与⊙D相交于点E，连接AF，EF。由题设知AC=13 AD，AB=13 AE,在△FHA和△EFA中，∠EFA=∠FHA=90°，∠FAH=∠EAF∴Rt△FHA∽Rt△EFA，AHAF =AFAE ,而AF=AB,∴AHAB =13 ，填13
答案补充
8、已知a1，a2、a3、a4、a5满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程（x-a1）（x-a2）（x-a3）（x-a4）（x-a5）=2009的整数根，则b的值为 ；解 ∵（b-a1）（b-a2）（b-a3）（b-a4）（b-a5）=2009,且a1，a2、a3、a4、a5是五个不同的整数，∴（b-a1），（b-a2），（b-a3），（b-a4），（b-a5），也是五个不同的整数，又∵2009=1×（-1）×7×（-7）×41，∴（b-a1）+（b-a2）+（b-a3）+（b-a4）+（b-a5）=41，又∵a1+a2+a3+a4+a5=9∴可得b=10 填10
答案补充
9、如图所示，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线，若AC=14,BC=20，CD=12，则CE的长等于 解 如图，有勾股定理知AD=9,BD=16，所以AB=AD+BD=25故由勾股定理知△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°作EF⊥BC，垂足为F，设EF=x，由∠ECF=12 ∠ACB=45°，得CF=x，于是BF=20-x，由于EF‖AC，所以EFAC =BFBC ,即x15 =20-x20 ，解得x=607 ∴CE=2 x=607 2 填607 2
答案补充
10、10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若抱出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ；解 设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应该是8-x，于是报7的人心里想的数是12-（8-x）=4+x，报9的人心里想的数是16-（4+x）=12-x，报1的人心里想的数是20-（12-x）=8+x，报3的人心里想的数是4-（8+x）=-4-x∴x=-4-x，解得x=-2填-2
答案补充
13、如图，给定锐角△ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过电D、E分别作l的垂线，垂足分别为F、G，试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论？解法1 结论是DF=EG，下面给出的证明。∵∠FCD=∠EAB，∴Rt△FCD∽Rt△EAB，于是可得……5分DF=BE•CDAB 同理可得EG=AD•CEAB ……10分又∵tan∠ACB=ADCD =BECE ,∴BE•CD=AD•CE，于是可得DF=EG ……20分解法2 结论是DF=EG，下面给出证明……5分 连接DE，∵∠ADB=∠AEB=90°，∴A、B、D、E四点共圆，故∠CED=∠ABC……10分又l是⊙O的过点C的切线，∴∠ACG=∠ABC……15分∴∠CED=∠ACG，于是DE‖FG，故DF=EG……20分
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