如何用初等变换化实对称矩阵为反对称矩阵？
设A为n阶实反对称矩阵，r为A的特征值，x为A对应r的特征列向量
A*x=r*x
(x的共轭转置矩阵)*A*x=r*(x的共轭转置矩阵)*x……①
因为x非零，所以(x的共轭转置矩阵)*x是一个正数，记为X
将①式两边分别作共轭转置，因为A实反对称，所以A的共轭转置矩阵=-A
(x的共轭转置矩阵)*(-A)*x=(r的共轭)*X
-(x的共轭转置矩阵)*A*x=(r的共轭)*X……②
将①②两式相加， (r+r的共轭)*X=0
因为X>0，所以r+r的共轭=0
即r=0或r是纯虚数
扩展资料
实反对称矩阵有如下性质：
性质1：奇数阶反对称矩阵的行列式值为0。
性质2：当A为n阶实反对称矩阵时， 有XTAX =0。
性质3：实反对称矩阵的特征值是零或纯虚数。
性质4：若A为实反对称矩阵，A的特征值λ= bi(b≠0)所对应特征向量α+βi中实部与虚部对应的向量α、β相互正交。
性质5：若A为n阶实反对称矩阵，则存在n阶正交矩阵Γ。
绛旓細鏄殑锛屽洜涓轰綘鍘熸潵灏辨槸瀹炲绉帮紝閭ｄ箞缁忚繃涓绯诲垪鐨勫彲閫嗗彉鎹紝鐢ㄥ彲閫嗙煩闃典笌鍘熸潵鐨勭煩闃佃繘琛屽乏涔樻垨鑰呮槸鍙充箻锛屽畠鍙兘鏈鍚庝細琚綘鍖涓洪樁姊煩闃碉紝浣嗘槸鏈変簺鎯呭喌涓嬩笉闇瑕侊紝鎵浠ユ渶鍚庡畠渚濈劧鏄竴涓瀹炲绉扮煩闃锛岃繖涓鐐规槸娌℃湁浠讳綍鍙樺寲鐨勩鍒濈瓑鐭╅樀 鏄鎸囩敱鍗曚綅鐭╅樀缁忚繃涓娆鍒濈瓑鍙樻崲寰楀埌鐨勭煩闃点傚垵绛夌煩闃电殑妯℃牱鍙互鍐欎竴涓3闃...
绛旓細2銆佸綋浜屾鍨嬬殑绯绘暟鍦ㄥ疄鏁板煙涓婃椂锛屽搴旂殑浜屾鍨鐭╅樀鏄疄瀵圭О鐭╅樀锛屽疄瀵圭О鐭╅樀閮藉彲浠ラ氳繃鍙嗙嚎鎬鍙樻崲鍖涓烘爣鍑嗗瀷锛屼富瑕佺殑鏂规硶鏈夐厤鏂规硶鍜鍒濈瓑鍙樻崲娉曘傚绉板弻绾挎 鍦ㄤ綆灞傜殑鍩熺殑鐗瑰緛涓嶆槸2鐨勬椂鍊欙紝浜屾褰㈠紡绛変环浜庡绉板弻绾挎у舰寮忋備簩娆″舰寮忔绘槸鐢熸垚瀵圭О鍙岀嚎鎬у舰寮忥紙閫氳繃鏋佸寲鎭掔瓑寮忥級锛岃屽弽杩囨潵瑕佹眰闄や互2銆傛敞鎰...
绛旓細鏈夌殑锛屼竴鑸槸鍑戝嚭鍏洜寮忓拰闆讹紝姣斿姝ら锛屽彲鍏堢浜岃鍔犱笂绗笁琛岋紝鐒跺悗绗笁鍒楀姞涓婄浜屽垪锛岀劧鍚庢寜绗笁琛屽睍寮锛岃繖涔熸槸鏈甯歌鐨勮В娉
绛旓細1 P閫嗙殑姹傛硶:姹傞嗙煩闃垫柟娉曞皢{P,E}鍒濈瓑鍙樻崲鎴{E,Q}Q灏辨槸P閫唦.杩欎釜鑷繁鐪嬩功.鍒橝鍙眰.绗簩闂:x'=(x1,x2...,xn),x'Ax鎸夌収鐭╅樀涔樻硶鍏堜箻Ax,鍐嶅仛x'Ax,灏辨槸瀵瑰簲鐨勪簩娆″瀷鏄簩娆￠綈娆″紡.绗笁闂:浠绘剰瀵圭О鐭╅樀A涓瀹氬瓨鍦║,浣垮緱U'AU涓烘爣鍑嗗瀷,U灏辨槸P鐨勫彶瀵嗘柉姝ｄ氦鍖.璇︽儏鐧"鍙插瘑鏂浜ゅ寲".
绛旓細鍏堟眰鐗瑰緛鍊硷細鍐嶅垎鍒眰鐗瑰緛鍚戦噺锛氬緱鍒扮煩闃礟 鏄剧劧璇瀹炲绉扮煩闃鏈3涓笉鍚岀殑鐗瑰緛鍊硷紝鏈3涓嚎鎬ф棤鍏崇殑鐗瑰緛鍚戦噺锛屽洜姝ゅ彲浠ュ瑙掑寲 骞朵笖鏈塒^(-1)AP=diag(0,-1,9)
绛旓細涓嶄竴瀹氥備絾鏄鏋滀袱涓瀹炲绉扮煩闃鐩镐技锛屽垯蹇呭畾鍚堝悓
绛旓細鐩镐技鐭╅樀姝ｈ礋鎯ф寚鏁扮浉鍚岋紝瀹炲绉扮煩闃涓庡崟浣嶉樀鐩镐技璇存槑鎵鏈夌壒寰佸奸兘澶т簬闆讹紝鍥犳搴旇鏄瀹氱煩闃
绛旓細2. 杩欒浠庡彉鎹㈢殑瑙掑害鏉ョ悊瑙ｃ傚乏涔鍒濈瓑鐭╅樀锛屾槸瀵硅浣滃垵绛夊彉鎹紝鍐嶅彸涔樿繖涓垵绛夌煩闃电殑杞疆锛屾槸瀵瑰垪浣溾滃绉扳濈殑鍒濈瓑鍙樻崲锛屽洜涓鐭╅樀鏄瀵圭О鐨勶紝鎵浠ヨ繖鏍峰仛涓瀹氭渶鍚庡彲浠ユ妸瀹冨瑙掑寲銆傛瘮濡傚亣璁瀵圭О鐭╅樀锛1,1锛変綅缃殑鍏冪礌涓嶄负0锛屽厛鐢ㄨ鍒濈瓑鍙樻崲閫氳繃绗竴琛屾妸绗笁琛岀殑绗竴涓厓绱犳秷涓0锛岄偅涔堝啀鍙充箻杩欎釜鍙樻崲...
绛旓細鍙嗙嚎鎬鍙樻崲鏄X=C1Y,鍐嶅仛浼哥缉鍙樻崲Y=C2Z,灏嗕簩娆″瀷Y^BY鍖栨垚瑙勮寖鍨媄^TEZ,瑙勮寖鍨嬬殑鐭╅樀灏辨槸鍗曚綅鐭╅樀E,灏嗕袱閮ㄥ彲閫嗙嚎鎬у彉鎹㈠鍚堬紝鍗砐=C1C2Z=CZ,鍏朵腑C=C1C2鍙嗭紝鍘熶簩娆″瀷鍖栨垚瑙勮寖鍨媄^TEZ,鍗矯^TAC=E.杩欓鏈変釜鍓嶆彁锛屽氨鏄疉鐨勬鎯ф寚鏁(涔熸槸A鐨勬鐗瑰緛鍊间釜鏁)涓簄,鍚﹀垯棰樼洰鏃犺В銆
绛旓細鍙互鐢ㄧ煩闃电殑褰㈠紡鏉ヨ〃绀轰竴涓嚎鎬ф柟绋嬬粍锛岃繖鑷冲皯鍦ㄤ功鍐欏拰琛ㄨ揪涓婇兘鏇村姞绠娲併傜郴鏁扮煩闃靛拰澧炲箍鐭╅樀銆傞珮鏂秷鍏冩硶涓绾挎ф柟绋嬬粍鐨鍒濈瓑鍙樻崲锛屽氨瀵瑰簲鐨鏄煩闃鐨勫垵绛夎鍙樻崲銆傞樁姊舰鏂圭▼缁勶紝瀵瑰簲鐨勬槸闃舵褰㈢煩闃点傛崲瑷涔嬶紝浠绘剰鐨勭嚎鎬ф柟绋嬬粍锛岄兘鍙互閫氳繃瀵瑰叾澧炲箍鐭╅樀鍋氬垵绛夎鍙樻崲鍖栦负闃舵褰㈢煩闃碉紝姹傚緱瑙ｃ傞樁姊舰鐭╅樀...
