欲做一个容积为V的无盖圆柱形蓄水池 已知池底单位造价为周围造价的2倍 问蓄水池的尺寸如何设计才能使总造 高数题目 请各位高手帮帮忙！！欲做一个容积为300立方米的无...
\u8981\u505a\u4e00\u4e2a\u5bb9\u79ef\u4e3aVm^3 \u5e95\u4e3a\u6b63\u65b9\u5f62\u7684\u65e0\u76d6\u957f\u65b9\u4f53\u84c4\u6c34\u6c60\uff0c\u5df2\u77e5\u6c60\u5e95\u5355\u4f4d\u9020\u4ef7\u4e3a\u5468\u56f4\u9020\u4ef7\u7684\u4e24\u500d\u3002\u95ee\u84c4\u6c34\u6c60\u7684\u8bbe\u84c4\u6c34\u6c60\u5e95\u8fb9\u4e3aa\uff08m\uff09\uff0c\u6c60\u6df1b\uff08m\uff09,\u6c60\u5e95\u5355\u4f4d\u9020\u4ef7\u4e3a2c\uff0c\u90a3\u4e48\u5468\u56f4\u5355\u4f4d\u9020\u4ef7\u4e3ac\uff0c
\u6709a²b=V
\u603b\u9020\u4ef7S=2a²c+4abc=2c(a²+2ab)
\u8bbe\u76ee\u6807\u51fd\u6570S'=a²+2ab=V/b+2V/a (\u5229\u7528a²b=V\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230)
=V(1/a+1/a+1/b)\u2265V∛\uff081/a²b\uff09
(\u5229\u7528\u57fa\u672c\u4e0d\u7b49\u5f0fx+y+z\u2265∛xyz )
\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a=b\u65f6\u6210\u7acb\uff0c\u53c8a²b=V
\u90a3\u4e48a=b=∛V
\u6ce8\uff1a\u672c\u9898\u89e3\u6cd5\u6709\u5f88\u591a\uff0c\u5b66\u4e86\u5bfc\u6570\u4e4b\u540e\u53ef\u4ee5\u6c42\u5bfc\u505a\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7528\u591a\u5143\u51fd\u6570\u5fae\u5206\u505a
\u8bbe\u5355\u4f4d\u9020\u4ef7\u4e3a1,\u6c60\u5e95\u534a\u5f84\u4e3aR,\u6c60\u9ad8\u4e3aH,\u5219\u84c4\u6c34\u6c60\u603b\u9020\u4ef7Y=2TT R^2+2TT RH=2TT(R^2+RH)\u56e0\u4e3aTTR^2*H=300,\u6240\u4ee5\u4ee5\u540e\u5c31\u662f\u7528\u5bfc\u6570\u6c42\u6700\u503c\u3002
解：假设底面半径为r,高为h,则有V=πhr^2
h=V/πr^2
总造价设为S，如果周围单位造价为1，则池底为2，于是有
S=2πr^2+2πhr
将 h=V/πr^2代入
则S=2πr^2+2πrV/πr^2
=2πr^2+2V/r
求导函数
S′=4πr-2V/r^2
令S′=0 求拐点
则4πr-2V/r^2=0
r=（V/2π)开三次方
因为当r→0时，S无限大
当r→+∞时，S无限大
所以r=（V/2π)开三次方,S为最小值
即，当地面半径r=（V/2π)开三次方时，蓄水池的造价最低。
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