已知傅里叶变换后的值,怎么反求an、bn?
根据傅里叶级数的公式,我们知道:
�(�)=�02+∑�=1∞(��cos����+��sin����)f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosLnπx+bnsinLnπx)
其中 �0a0、��an 和 ��bn 分别为原函数的各个系数。
如果已知一个函数 �(�)f(x) 的傅里叶变换 �^(�)f^(k),则可以通过以下步骤反求出其系数 ��an 和 ��bn:
根据逆傅里叶变换的公式,将 �^(�)f^(k) 反变换成 �(�)f(x):
�(�)=12�∫−∞∞�^(�)������f(x)=2π1∫−∞∞^(k)eikxdk
对于周期函数 �(�)f(x),定义其周期为 2�2L,则有:
�(�)=1�∫0��^(�)������f(x)=π1∫0π^(k)eikxdk
将反变换后的 �(�)f(x) 展开为傅里叶级数的形式:
�(�)=�02+∑�=1∞(��cos����+��sin����)f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosLnπx+bnsinLnπx)
系数 �0a0、��an 和 ��bn 可以通过以下公式计算:
�0=1�∫−���(�)��a0=L1∫−LLf(x)dx
��=1�∫−���(�)cos������an=L1∫−LLf(x)cosLnπxdx
��=1�∫−���(�)sin������bn=L1∫−LLf(x)sinLnπxdx
其中 �=1,2,3,...n=1,2,3,...。
通过以上步骤,就可以从傅里叶变换后的函数值反求出原函数的系数了。需要注意的是,反求过程中可能会出现积分难以计算等问题,需要根据具体情况进行处理。
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