正态分布、标准正态分布（定义、期望、方差、例题）
揭秘正态分布与标准正态分布：期望、方差及其应用实例
定义篇： 在概率论的殿堂中，有一种神秘的连续型随机变量家族——正态分布，它的身影无处不在。当我们说一个随机变量 X 服从正态分布，记为 X ~ N(μ, σ²)，那它的密度函数就呈现出一种特有的对称美，关于参数μ对称，峰值在μ处，离μ越远，概率密度逐渐减小。
数学期望与方差解析： 让我们深入了解正态分布的核心参数——数学期望 μ 和方差 σ²。正态分布的数学期望，简单来说，就是随机变量取值的“中心点”，记为 μ = E(X)，这个概念可通过严谨的数学证明得以确立。而方差 σ²，则衡量了数据的散布程度，它是随机变量 X 的均方离差，即 σ² = Var(X)。
标准正态分布的出现： 当我们把随机变量 X 变换为 Z = (X - μ) / σ，这就构成了标准正态分布 N(0, 1)，它的特殊之处在于零为中心，单位方差。标准正态分布的分布函数和密度函数，就像一幅美丽的画卷，展示了数据分布的规律和特性。
实际应用中的难题： 在实际问题中，标准正态分布的反函数——α分位点，常常扮演重要角色。例如，当我们知道成年男子身高的期望值μ=1.70m和方差σ²=0.1²，如何计算一个男子身高超过1.80m的概率？或者在城市公交设计中，为了确保95%的男性能顺利等车，车门高度应设定在什么范围呢？这些问题都依赖于标准正态分布的知识。
工程法则：3σ原理： 令人惊奇的是，3σ法则在工程和质量控制中扮演着决策者的角色。它告诉我们，正态分布中大约99.7%的数据会落在μ±3σ的范围内，这对于设定产品规格和避免质量问题具有指导意义。
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