当x趋于0，sin(x-1)能等价于x-1吗？不能的话，怎么算？ x趋于0时,sin1/x为什么不可以等于1/x?
limx~0sin1/x\u53ef\u4ee5\u7b49\u4ef7\u4e8e1/x\u5417\uff1f\u89e3\u7b54\uff1a\uff081\uff09\u2235\u5f53x\u8d8b\u4e8e0\u65f6\uff0c1/x\u8d8b\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u800csin\uff081/x\uff09\u7684
\u503c\u57df
\u662f[-1,1].\u2234\u5f53x\u8d8b\u4e8e0\u65f6\uff0csin\uff081/x\uff09\u4e0d\u7b49\u4ef7\u4e8e1/x\uff1b\uff082\uff09\u5f53x\u8d8b\u4e8e0\u65f6\uff0c1/x\u8d8b\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\uff08sin1\uff09/x\u4e5f\u8d8b\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u4f46\u2235(sin1)/1\u22601\uff0c\u3001\u2234\u5f53x\u8d8b\u4e8e0\u65f6\uff0c\uff08sin1\uff09/x\u4e5f\u4e0d\u7b49\u4ef7\u4e8e1/x\u3002
x\u21920\u65f6\uff0c1/x\u2192\u221e\uff0c\u2234 sin1/x\u662f\u5728[-1,1]\u9707\u8361\u7684\u6709\u754c\u53d8\u91cf\uff0c\u5f53\u7136\u4e0d\u7b49\u4ef7\u3002
\u57280\u9644\u8fd1\u5b58\u5728\u4f7f\u5f97sin(1/x)\u21920\u7684\u5b50\u5217\uff0c\u5e76\u4e14\u5b58\u5728\u4f7f\u5f97sin(1/x)\u21921\u7684\u5b50\u5217\u3002
\u5982\u4e0b\uff1a
\u5728x=1/(k\u03c0)\uff0ck\u4e3a\u6b63\u6574\u6570\uff0ck\u2192\u221e\uff0c\u5373x\u21920\uff0c\u6b64\u65f6sin(1/x)=sin(k\u03c0)=0\u3002
\u5728x=1/(2k\u03c0+\u03c0/2)\uff0ck\u4e3a\u6b63\u6574\u6570\uff0ck\u2192\u221e\uff0c\u5373x\u21920\uff0c\u6b64\u65f6sin(1/x)=sin(2k\u03c0+\u03c0/2)=1\u3002
\u8bbe\uff5bxn}\u4e3a\u4e00\u4e2a\u65e0\u7a77\u5b9e\u6570\u6570\u5217\u7684\u96c6\u5408\u3002\u5982\u679c\u5b58\u5728\u5b9e\u6570a\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u6b63\u6570\u03b5\uff08\u4e0d\u8bba\u5176\u591a\u4e48\u5c0f\uff09\uff0c\u90fdN>0\uff0c\u4f7f\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff5cxn-a|<\u03b5\u5728n\u2208\uff08N,+\u221e\uff09\u4e0a\u6052\u6210\u7acb\uff0c\u90a3\u4e48\u5c31\u79f0\u5e38\u6570a\u662f\u6570\u5217\uff5bxn}\u7684\u6781\u9650\uff0c\u6216\u79f0\u6570\u5217\uff5bxn}\u6536\u655b\u4e8ea\u3002
\u6570\u5b66\u4e2d\u7684\u201c\u6781\u9650\u201d\u6307\uff1a\u67d0\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\u4e2d\u7684\u67d0\u4e00\u4e2a\u53d8\u91cf\uff0c\u6b64\u53d8\u91cf\u5728\u53d8\u5927\uff08\u6216\u8005\u53d8\u5c0f\uff09\u7684\u6c38\u8fdc\u53d8\u5316\u7684\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u9010\u6e10\u5411\u67d0\u4e00\u4e2a\u786e\u5b9a\u7684\u6570\u503cA\u4e0d\u65ad\u5730\u903c\u8fd1\u800c\u201c\u6c38\u8fdc\u4e0d\u80fd\u591f\u91cd\u5408\u5230A\u201d\uff08\u201c\u6c38\u8fdc\u4e0d\u80fd\u591f\u7b49\u4e8eA\uff0c\u4f46\u662f\u53d6\u7b49\u4e8eA\u2018\u5df2\u7ecf\u8db3\u591f\u53d6\u5f97\u9ad8\u7cbe\u5ea6\u8ba1\u7b97\u7ed3\u679c\uff09\u7684\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u3002
\u6b64\u53d8\u91cf\u7684\u53d8\u5316\uff0c\u88ab\u4eba\u4e3a\u89c4\u5b9a\u4e3a\u201c\u6c38\u8fdc\u9760\u8fd1\u800c\u4e0d\u505c\u6b62\u201d\u3001\u5176\u6709\u4e00\u4e2a\u201c\u4e0d\u65ad\u5730\u6781\u4e3a\u9760\u8fd1A\u70b9\u7684\u8d8b\u52bf\u201d\u3002\u6781\u9650\u662f\u4e00\u79cd\u201c\u53d8\u5316\u72b6\u6001\u201d\u7684\u63cf\u8ff0\u3002\u6b64\u53d8\u91cf\u6c38\u8fdc\u8d8b\u8fd1\u7684\u503cA\u53eb\u505a\u201c\u6781\u9650\u503c\u201d\uff08\u5f53\u7136\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7528\u5176\u4ed6\u7b26\u53f7\u8868\u793a\uff09\u3002
sin（1-x）可以等价于1-x， 必须有：x趋于1因为x→0，所以原式用等价无穷小替换后得： lim【sinxsin（sinx）】/x 由sin（sinx）=sinx-sinx/3！
sin(1-x)可以等价于1-x，必须有：x趋于1
in（1-x）可以等价于1-x， 必须有：x趋于1因为x→0，所以原式用等价无穷小替换后得： lim【sinxsin（sinx）】/x 由sin（sinx）
脉脉发布的《互联网人才流动报告2020》显示，现在 UI 设计师是互联网行业求职竞争最激烈的岗位：
绛旓細涓嶈兘锛x瓒嬩簬0鏃讹紝sin锛坸-1锛瓒嬭繎浜巗in锛-1锛夛紝x-1瓒嬭繎浜-1锛宻in锛-1锛夆墵-1锛屾墍浠ヤ笉鑳界瓑浠枫
绛旓細y=sinx(x-1)濡傛灉鏄湪x0y鐩磋鍧愭爣绯讳腑锛屽垯涓嶆槸鍋跺嚱鏁般
绛旓細sin锛1-x锛鍙互绛変环浜1-x锛屽繀椤绘湁锛x瓒嬩簬1
绛旓細sinx锝瀤锛屽彧瑕佹槸杩欓噷鐨x瓒嬪悜浜0锛閮藉彲浠ワ紝x鍙互鏄湭鐭ラ噺锛屼篃鍙互鏄緢澶嶆潅鐨勮〃杈惧紡锛屽湪鏋侀檺璁＄畻涓紝鍙敤浜庝箻娉曞叧绯讳腑锛屼笉鑳界敤浜庡姞鍑忔硶锛屼竴鑸箻娉曚腑浣滀负鍥犲紡锛屽彲浠ユ暣浣撴浛鎹傜瓑浠锋棤绌峰皬浠ｆ崲涓嶆槸鍙兘鍦╔瓒嬭繎浜0鏃舵墠鑳界敤鐨勭瓑浠锋棤绌峰皬纭垏鍦拌锛屽綋鑷彉閲弜鏃犻檺鎺ヨ繎鏌愪釜鍊x0锛坸0鍙互鏄0銆佲垶銆佹垨鏄埆鐨勪粈涔...
绛旓細x鈫0锛1-cosx~x^2/2 甯哥敤鏃犵┓灏忎唬鎹㈠叕寮忥細褰搙鈫0鏃,sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2x^2 a^x-1~xlna e^x-1~x ln(1+x)~x (1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~1/nx loga(1+x)~x/lna
绛旓細aBx锛伙紙1锛媥锛夛季1锛弉锛斤紞1锝烇紙1锛弉锛夛紛xloga锛1锛媥锛夛綖x锛弆na銆俿in锛坸锛夛綖x锛宼an锛坸锛夛綖x锛屼腑鐨剎鍙鏄櫎0涔嬪鐨勬棤绌峰皬锛屽畠鍙互鏄嚜鍙橀噺锛屼篃鍙互鏄洜鍙橀噺銆備緥濡褰搙鈫1鏃锛宻in锛坸锛1锛锝瀤锛1锛宼an锛坸锛1锛夛綖x锛1锛涘綋x鈫掆垶鏃讹紝sin锛1锛弜锛夛綖1锛弜锛宼an锛1锛弜锛夛綖1锛弜銆
绛旓細1銆褰 x鈫0鏃锛宻in(1/x) 鐨勫煎湪[-1,1]鍐呮尝鍔紝鏋侀檺褰撶劧涓嶅瓨鍦 2銆佽 x*sin(1/x) 鏄剧劧鏄瓒嬩簬0鐨 鈥滄瀬闄愨濇槸鏁板涓殑鍒嗘敮鈥斺斿井绉垎鐨勫熀纭姒傚康銆傚箍涔夌殑鈥滄瀬闄愨濇槸鎸団滄棤闄愰潬杩戣屾案杩滀笉鑳藉埌杈锯濈殑鎰忔濄傛暟瀛︿腑鐨勨滄瀬闄愨濇寚锛氭煇涓涓嚱鏁颁腑鐨勬煇涓涓彉閲忥紝姝ゅ彉閲忓湪鍙樺ぇ锛堟垨鑰呭彉灏忥級鐨勬案杩...
绛旓細棣栧厛瑕佹槑纭紝鏋侀檺鏄竴涓湁闄愮殑,纭畾鐨勫父鏁锛屽綋x瓒嬩簬0鏃,1/x瓒嬭繎浜庢棤绌烽鍏堟垜浠槑纭紝鏋侀檺鏄竴涓湁闄愮殑,纭畾鐨勫父鏁帮紝鍥犱负sinx鏄涓涓懆鏈熷嚱鏁帮紙骞呭兼槸-1鍒1锛鍛ㄦ湡鏄2蟺锛夛紝鎵浠sin1/x鐨勫浘鍍忔槸娉㈠姩锛屽洜姝や笉瀛樺湪鏋侀檺锛屽涓嬪浘鎵绀猴細
绛旓細褰搙瓒嬩簬0鏃锛1锛弜瓒嬩簬鏃犵┓澶э紝鎵浠sin1锛弜瓒嬪悜浜庢棤绌峰ぇ锛屽嵆杩欎釜鍑芥暟鏄棤鐣岀殑锛屾牴鎹瀬闄愮殑瀹氫箟锛屽彧鏈夋湁鐣岀殑鍑芥暟鎵嶅瓨鍦ㄦ瀬闄愶紝鎵浠ヤ笉瀛樺湪鏋侀檺銆傛瀬闄愮殑鎬ц川锛1銆佸敮涓鎬э細鑻ユ暟鍒楃殑鏋侀檺瀛樺湪锛屽垯鏋侀檺鍊兼槸鍞竴鐨勶紝涓斿畠鐨勪换浣曞瓙鍒楃殑鏋侀檺涓庡師鏁板垪鐨勭浉绛夈2銆佹湁鐣屾э細濡傛灉涓涓暟鍒椻欐敹鏁涒橈紙鏈夋瀬闄愶級锛岄偅涔堣繖涓...
绛旓細璁＄畻杩囩▼濡備笅锛歺鈫0 鏃 x - sinx = x - [x - (1/3)x^3 + o(x^3)]= (1/3)x^3 - o(x^3) ~ (1/3)x^3 鍦ㄥ悓涓鑷彉閲忕殑瓒嬪悜杩囩▼涓紝鑻ヤ袱涓棤绌峰皬涔嬫瘮鐨勬瀬闄愪负1锛鍒欑О杩欎袱涓棤绌峰皬鏄瓑浠风殑銆傛棤绌峰皬绛変环鍏崇郴鍒荤敾鐨勬槸涓や釜鏃犵┓灏瓒嬪悜浜庨浂鐨勯熷害鏄浉绛夌殑銆
