广义积分中值定理的证明
积分第一中值定理：若f在[a,b]上连续,则至少存在一点c属于[a,b],使得在[a,b]上的积分值等于f(c)(b-a)推广：若f与g都在[a,b]上连续,且g在[a,b]上不变号,则至少存在一点c属于[a,b],使得f乘以g在[a,b]上的积分等于f(c)乘以g在[a,b]上的积分.
积分第二中值定理：设函数f在[a,b]上可积,1：若函数g在[a,b]上递减,且g大于等于0,则存在一点c属于[a,b],使得(f乘以g)在[a,b]上的积分等于g(a)乘以（f在[a,c]上的积分）.2：若函数g在[a,b]上递增,且g大于等于0,则存在一点d属于[a,b],使得(f乘以g)在[a,b]上的积分等于g(b)乘以（f在[d,b]上的积分）.
推论：设函数f在[a,b]上可积.若g为单调函数,则存在一点c属于[a,b],使得(f乘以g)的积分等于g(a)乘以(f在[a,c]上的积分)加上g(b)乘以(f在[c,b]上的积分)
证明太多,你可以参看由华东师范大学数学系编的数学分析217页和222页,数学分析书上应该都有.
绛旓細绉垎绗竴涓煎畾鐞锛氳嫢f鍦╗a,b]涓婅繛缁,鍒欒嚦灏戝瓨鍦ㄤ竴鐐筩灞炰簬[a,b],浣垮緱鍦╗a,b]涓婄殑绉垎鍊肩瓑浜巉(c)(b-a)鎺ㄥ箍锛氳嫢f涓巊閮藉湪[a,b]涓婅繛缁,涓攇鍦╗a,b]涓婁笉鍙樺彿,鍒欒嚦灏戝瓨鍦ㄤ竴鐐筩灞炰簬[a,b],浣垮緱f涔樹互g鍦╗a,b]涓婄殑绉垎绛変簬f(c)涔樹互g鍦╗a,b]涓婄殑绉垎.绉垎绗簩涓煎畾鐞嗭細璁惧嚱鏁癴鍦...
绛旓細绉垎绗簩涓煎畾鐞嗘槸涓绉垎绗竴涓煎畾鐞鐩镐簰鐙珛鐨勪竴涓畾鐞嗭紝灞炰簬绉垎涓煎畾鐞嗐瀹冨彲浠ョ敤鏉ヨ瘉鏄嶥irichlet-Abel鍙嶅父Riemann绉垎鍒ゅ埆娉銆傚唴瀹瑰涓嬶細鑻锛実鍦╗a锛宐]涓婇粠鏇煎彲绉笖f锛坸锛夊湪[a锛宐]涓婂崟璋冿紝鍒欏瓨鍦╗a锛宐]涓婄殑鐐刮句娇鈭紙a锛宐锛塮锛坸锛塯锛坸锛塪x=f锛坅锛夆埆锛坅锛屛撅級g锛坸锛塪x+f锛坆...
绛旓細骞夸箟绉垎涓煎畾鐞嗘槸鍙嶆槧鍑芥暟涓庡鏁颁箣闂磋仈绯荤殑鏁版嵁锛屼綔涓哄井绉垎瀛︾殑鐞嗚鍩虹锛屽湪璁稿鏂归潰瀹冮兘鏈夐噸瑕佺殑浣滅敤锛屽湪杩涜涓浜涘叕寮忔帹瀵间笌瀹氱悊璇佹槑涓兘鏈夊緢澶氬簲鐢ㄣ備腑鍊煎畾鐞嗘槸鐢变紬澶氬畾鐞嗗叡鍚屾瀯寤虹殑锛屽叾涓媺鏍兼湕鏃ヤ腑鍊煎畾鐞嗘槸鏍稿績锛岀綏灏斿畾鐞嗘槸鍏剁壒娈婃儏鍐碉紝鏌タ瀹氱悊鏄叾鎺ㄥ箍銆傚綋鏌タ涓煎畾鐞嗕腑鐨刧(x)=x鏃讹紝鏌タ涓煎畾...
绛旓細骞夸箟绉垎涓煎畾鐞绉垎涓煎畾鐞嗘彮绀轰簡涓绉嶅皢绉垎鍖栦负鍑芥暟鍊銆備竴銆
绛旓細绉垎绗竴涓煎畾鐞锛氳嫢f鍦╗a,b]涓婅繛缁紝鍒欒嚦灏戝瓨鍦ㄤ竴鐐筩灞炰簬[a,b],浣垮緱鍦╗a,b]涓婄殑绉垎鍊肩瓑浜巉(c)(b-a)銆傛帹骞匡細鑻涓巊閮藉湪[a,b]涓婅繛缁紝涓攇鍦╗a,b]涓婁笉鍙樺彿锛屽垯鑷冲皯瀛樺湪涓鐐筩灞炰簬[a,b],浣垮緱f涔樹互g鍦╗a,b]涓婄殑绉垎绛変簬f(c)涔樹互g鍦╗a,b]涓婄殑绉垎銆傚井鍒嗗 寰Н鍒嗗鏄井鍒嗗...
绛旓細璇佹槑锛氳 f(x)锛1/(1锛媥)锛 g(x)锛漻^n 锛屾槗鐭ワ紝璁緁(x)涓巊(x)鍦╗0,1]涓婇兘杩炵画锛屼笖g(x)鍦╗0,1]涓婁笉鍙樺彿銆傛墍浠ワ紝鐢骞夸箟绉垎涓煎畾鐞锛屽彲鐭ワ紝瀛樺湪涓鐐 尉 鈭圼0,1]锛屼娇寰 鈭 f(x)路g(x) dx 锛 f(尉) 路 鈭 g(x) dx 锛岀Н鍒嗛檺鏄0鍒1 鍗 瀛樺湪涓鐐 尉 鈭圼0,1]锛...
绛旓細骞夸箟绉垎涓煎畾鐞寮鍖洪棿銆傚箍涔夌Н鍒嗕腑鍊煎畾鐞嗭細绉垎涓煎畾鐞嗘彮绀轰簡涓绉嶅皢绉垎鍖栦负鍑芥暟鍊笺1銆佸鏋滃嚱鏁癴(x)鍦ㄥ尯闂碵a,b]涓婅繛缁殑鍑芥暟锛屽繀鐒跺瓨鍦ㄦ渶澶у煎拰鏈灏忓硷紝骞朵笖鍙栧埌鏈澶у煎拰鏈灏忓艰嚦灏戜竴娆°傚畾绉垎鏄湁涓瀹氱殑绉垎鍖洪棿鐨勮岄噸绉垎杩樻槸闂柟鍧椾笂锛岄瓘灏旀柉鐗规媺鏂畾鐞嗗憡璇夋垜浠棴鍖洪棿涓婄殑杩炵画鍑芥暟涓瀹氭湁鏈...
绛旓細绠鍗曞垎鏋愪竴涓嬶紝璇︽儏濡傚浘鎵绀 澶囨敞
绛旓細鍦ㄨ瘉鏄庡畾绉垎涓嶇瓑寮忔椂, 甯稿父鑰冭檻杩愮敤绉垎涓煎畾鐞, 浠ヤ究鍘绘帀绉垎绗﹀彿, 濡傛灉琚Н鍑芥暟鏄袱涓嚱鏁颁箣绉椂, 鍙冭檻鐢ㄧН鍒嗙涓鎴栬呯浜屼腑鍊煎畾鐞嗐傚浜庢煇浜涗笉绛夊紡鐨勮瘉鏄, 杩愮敤鍘熺Н鍒嗕腑鍊煎畾鐞嗗彧鑳藉緱鍒扳溾墺鈥濈殑缁撹, 鎴栬呬笉绛夊紡鏍规湰涓嶈兘寰楀埌璇佹槑銆傝岃繍鐢ㄦ敼杩涗簡鐨勭Н鍒嗕腑鍊煎畾鐞嗕箣鍚, 鍒欏彲浠ュ緱鍒扳溾濈殑缁撹, ...
绛旓細6.姹備竴涓簩鍏冭繛缁嚱鏁板湪涓涓湁鐣屽钩闈㈠尯鍩熶笂鐨勬渶澶у煎拰鏈灏忓笺►涓鍏冨嚱鏁扮Н鍒嗗 1.璁＄畻涓嶅畾绉垎銆佸畾绉垎鍙婂箍涔夌Н鍒锛2.鍏充簬鍙樹笂闄愮Н鍒嗙殑棰橈細濡傛眰瀵笺佹眰鏋侀檺绛夛紱3.鏈夊叧绉垎涓煎畾鐞鍜岀Н鍒嗘ц川鐨勮瘉鏄棰橈紱瀹氱Н鍒嗗簲鐢ㄩ锛氳绠楅潰绉紝鏃嬭浆浣撲綋绉紝骞抽潰鏇茬嚎寮ч暱锛屾棆杞潰闈㈢Н锛屽帇鍔涳紝寮曞姏锛屽彉鍔涗綔鍔...
