高等数学等价无穷小的几个常用公式 高等数学中所有等价无穷小的公式
\u9ad8\u6570\u4e5d\u4e2a\u57fa\u672c\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u662f\u4ec0\u4e48?\u9ad8\u6570\u4e5d\u4e2a\u57fa\u672c\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u662f\uff1a\u5f53x\u2014>0\u7684\u65f6\u5019\uff0csinx~x\uff0ctanx~x\uff0csinx~tanx\uff0c1-cosx~x²/2\uff0ctanx-sinx~x³/2\uff0ce^x-1~x\uff0c\u221a(1+x)-1~x/2\uff0c\u221a(1-x)-1~-x/2\uff0cln(1+x)~x\u3002
\u9ad8\u6570\uff0c\u5c31\u662f\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\uff0c\u662f\u6307\u76f8\u5bf9\u4e8e\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u800c\u8a00\uff0c\u6570\u5b66\u7684\u5bf9\u8c61\u53ca\u65b9\u6cd5\u8f83\u4e3a\u7e41\u6742\u7684\u4e00\u90e8\u5206\u3002
\u5e7f\u4e49\u5730\u8bf4\uff0c\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u4e4b\u5916\u7684\u6570\u5b66\u90fd\u662f\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\uff0c\u4e5f\u6709\u5c06\u4e2d\u5b66\u8f83\u6df1\u5165\u7684\u4ee3\u6570\u3001\u51e0\u4f55\u4ee5\u53ca\u7b80\u5355\u7684\u96c6\u5408\u8bba\u521d\u6b65\u3001\u903b\u8f91\u521d\u6b65\u79f0\u4e3a\u4e2d\u7b49\u6570\u5b66\u7684\uff0c\u5c06\u5176\u4f5c\u4e3a\u4e2d\u5c0f\u5b66\u9636\u6bb5\u7684\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u4e0e\u5927\u5b66\u9636\u6bb5\u7684\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7684\u8fc7\u6e21\u3002
\u901a\u5e38\u8ba4\u4e3a\uff0c\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u662f\u7531\u5fae\u79ef\u5206\u5b66\uff0c\u8f83\u6df1\u5165\u7684\u4ee3\u6570\u5b66\u3001\u51e0\u4f55\u5b66\u4ee5\u53ca\u5b83\u4eec\u4e4b\u95f4\u7684\u4ea4\u53c9\u5185\u5bb9\u6240\u5f62\u6210\u7684\u4e00\u95e8\u57fa\u7840\u5b66\u79d1\u3002
\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u4e3b\u8981\u5185\u5bb9\u5305\u62ec\uff1a\u6570\u5217\u3001\u6781\u9650\u3001\u5fae\u79ef\u5206\u3001\u7a7a\u95f4\u89e3\u6790\u51e0\u4f55\u4e0e\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u3001\u7ea7\u6570\u3001\u5e38\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u3002
\u5f53x\u21920\uff0c\u4e14x\u22600\uff0c\u5219
x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx;
x~ln(1+x)~(e^x-1);
(1-cosx)~x*x/2;
[(1+x)^n-1]~nx;
loga(1+x)~x/lna;
a\u7684x\u6b21\u65b9~xlna;
(1+x)\u76841/n\u6b21\u65b9~1/nx(n\u4e3a\u6b63\u6574\u6570\uff09\uff1b
\u6ce8\uff1a^
\u662f\u4e58\u65b9\uff0c~\u662f\u7b49\u4ef7\u4e8e\uff0c\u8fd9\u662f\u6211\u505a\u9898\u7684\u65f6\u5019\u603b\u7ed3\u51fa\u6765\u7684\u3002
当x趋近于0的时候有以下几个常用的等价无穷小的公式：
1、sinx~x、tanx~x、arcsinx~x、arctanx~x、1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
2、（a^x）-1~x*lna [a^x-1)/x~lna]
3、（e^x）-1~x、ln(1+x)~x
4、(1+Bx)^a-1~aBx、[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x、loga(1+x)~x/lna、（1+x)^a-1~ax(a≠0)。
扩展资料：
两个重要极限：
1、
2、
（其中e=2.7182818 是一个无理数，也就是自然对数的底数）。
无穷小的性质：
1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。
2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。
3、无穷小量与自变量的趋势相关。
4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
8、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
无穷小比阶：
高低阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=0，则称当x趋近于x0时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。
同阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=c（c不等于0），ƒ和ɡ为x趋近于x0时的同阶无穷小量。
等价无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=1，则称ƒ和ɡ是当x趋近于x0时的等价无穷小量，记做f（x）~g（x）[x趋近于x0]。
参考资料来源：百度百科-无穷小量
当x→0时
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)
（e^x）-1~x
ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx
[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x
loga(1+x)~x/lna
（1+x)^a-1~ax(a≠0)
等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）
扩展资料：
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件：
被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
参考资料来源：百度百科-等价无穷小
当x→0时，
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
1-cosx~(1/2)*（x^2）~ secx-1
（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)
（e^x）-1~x
ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx
[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x
loga(1+x)~x/lna
（1+x)^a-1~ax(a≠0)
值得注意的是，等价无穷小一般只能在乘除中替换，
在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不能单独代换或分别代换）
应该这样说：对初学者而言，等价无穷小一般只在乘除中替换，熟练后可不受此限制。
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