收敛函数一定有极限吗？
是的。收敛函数是一定有极限的。根据收敛定义就可以知道，对于数列an存在一个数A，无论给定一个多么小的数e，都能找到数字N，使得n>N时，所有的|an－A|。
有极限是局部有界，收敛是整体有界。函数单调有界可能不存在极限（∞），数列单调有界必有极限。
由于函数极限和数列极限可以通过归结原则联系起来，所以要证明函数收敛，可以转化为证明数列收敛。而数列收敛的柯西准则上面已经证明了，所以把已知条件转化为求数列极限是证明的重心。
归结原则（或称海涅定理）：设f(x)在x0的某个去心邻域（或|x|大于某个正数时）有定义，那么充要条件是，对在x0的某个去心邻域内的任意收敛于x0并且满足xn≠x0的数列{xn}（或绝对值大于某个正数的任意发散到无穷大的数列{xn}），都有数列{f(xn)}收敛到A。
收敛函数定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。
扩展资料：
迭代算法的敛散性：
1.全局收敛
对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。
2.局部收敛
若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。
参考资料来源：百度百科-柯西收敛准则
参考资料来源：百度百科-收敛
绛旓細鏄殑銆鏀舵暃鍑芥暟鏄竴瀹氭湁鏋侀檺鐨銆傛牴鎹敹鏁涘畾涔夊氨鍙互鐭ラ亾锛屽浜庢暟鍒梐n瀛樺湪涓涓暟A锛屾棤璁虹粰瀹氫竴涓涔堝皬鐨勬暟e锛岄兘鑳芥壘鍒版暟瀛桸锛屼娇寰梟>N鏃讹紝鎵鏈夌殑|an锛岮|銆傛湁鏋侀檺鏄眬閮ㄦ湁鐣岋紝鏀舵暃鏄暣浣撴湁鐣屻傚嚱鏁板崟璋冩湁鐣屽彲鑳戒笉瀛樺湪鏋侀檺锛堚垶锛夛紝鏁板垪鍗曡皟鏈夌晫蹇呮湁鏋侀檺銆傜敱浜庡嚱鏁版瀬闄愬拰鏁板垪鏋侀檺鍙互閫氳繃褰掔粨鍘熷垯鑱旂郴璧锋潵锛...
绛旓細鏀舵暃鍑芥暟涓瀹氭湁鏋侀檺锛屾湁鏋侀檺鐨勫嚱鏁颁竴瀹氭敹鏁涖傚嚱鏁板垪 鍦―涓婁竴鑷存敹鏁涚殑鍏呰鏉′欢鏄細瀵逛簬浠绘剰缁欏畾鐨勬鏁拔碉紝鎬诲瓨鍦ㄦ鏁存暟N锛屼娇寰楀綋m,n>N鏃讹紝瀵逛竴鍒噚鈭圖锛屾湁 璁炬暟鍒梴Xn}锛屽鏋滃瓨鍦ㄥ父鏁癮锛屽浜庝换鎰忕粰瀹氱殑姝ｆ暟q锛堟棤璁哄灏忥級锛屾诲瓨鍦ㄦ鏁存暟N锛屼娇寰梟>N鏃讹紝鎭掓湁|Xn-a|<q鎴愮珛锛屽氨绉版暟鍒梴Xn}鏀舵暃浜巃...
绛旓細鏀舵暃鍑芥暟涓瀹氭湁鏋侀檺锛屾湁鏋侀檺鐨勫嚱鏁颁笉涓瀹氭敹鏁涖傚嚱鏁颁竴鑸笉璇存敹鏁涳紝鍙褰搙鏈夋煇绉嶅彉鍖栬秼鍔挎椂锛宖(x)鏄惁鏈夋瀬闄愩傛暟鍒楁垨鑰呯骇鏁帮紝鎵嶅枩娆㈣鏀舵暃銆傗滄敹鏁涒濆拰鈥滄湁鏋侀檺鈥濇槸涓涓剰鎬濓紝瀹屽叏绛変环銆傛敹鏁涗竴瀹氭湁鐣岋紝鏈夌晫涓嶄竴瀹氭敹鏁涖傛敹鏁涚骇鏁扮畝浠嬶細鏀舵暃绾ф暟锛坈onvergent series锛夋槸鏌タ浜1821骞村紩杩涚殑锛屽畠鏄寚閮ㄥ垎鍜屽簭鍒...
绛旓細鏈夈傛敹鏁涘嚱鏁颁竴瀹氭湁鏋侀檺锛屾湁鏋侀檺鐨勫嚱鏁颁笉涓瀹氭敹鏁涳紝鍑芥暟涓嶈鏀舵暃锛屽彧璇村綋x鏈夋煇绉嶅彉鍖栬秼鍔挎椂锛宖(x)鏄惁鏈夋瀬闄愶紝鏁板垪鎴栬呯骇鏁帮紝鎵嶅枩娆㈣鏀舵暃锛屸滄敹鏁涒濆拰鈥滄湁鏋侀檺鈥濇槸涓涓剰鎬濓紝瀹屽叏绛変环銆傛敹鏁涙槸涓涓粡娴庡銆佹暟瀛﹀悕璇嶏紝鏄爺绌跺嚱鏁扮殑涓涓噸瑕佸伐鍏凤紝鏄寚浼氳仛浜庝竴鐐癸紝鍚戞煇涓鍊奸潬杩戙
绛旓細鏀舵暃鍑芥暟涓瀹鏈夌晫銆傛敹鏁涘嚱鏁板氨鏄秼浜庢棤绌风殑锛堝寘鎷棤绌峰皬鎴栬呮棤绌峰ぇ锛夛紝璇ュ嚱鏁版绘槸閫艰繎浜庢煇涓涓硷紝杩欏氨鍙嚱鏁扮殑鏀舵暃鎬с備粠瀛楅潰鍙互鍚箟锛屽氨鍙悊瑙ｄ负锛屽嚱鏁扮殑鍊兼昏鏌愪釜鍊肩害鏉熺潃锛屽氨鏄敹鏁涳紝鎵浠鏀舵暃蹇呭畾鏈夌晫锛屼絾鏄笉涓瀹氫笂涓嬬晫閮芥湁銆倅=1/x鏀舵暃锛屽畠鍦ㄦ棤绌锋椂涓0锛屾墍浠ユ湁涓婄晫銆傛敞鎰忎簨椤癸細瀵逛簬姣忎竴涓...
绛旓細鍑芥暟鏀舵暃鏄寚鍑芥暟鏈夌晫锛堜笉瓒嬩簬鏃犵┓锛夛紝姣斿锛氣樻寮﹀嚱鏁扳欙紝瀹冪殑鐣岄檺鍦-1涓1涔嬮棿锛屽畠涓嶅瓨鍦鏋侀檺銆 鑰屾瀬闄愭槸鍑芥暟鑷彉閲忚秼鍚戜簬鏃犳椂鎵鎺ヨ繎鐨勬煇涓 銆 鎵浠ワ紝鍑芥暟瀛樺湪鏋侀檺鍒欏嚱鏁版敹鏁涳紝鍑芥暟鏀舵暃涓涓瀹瀛樺湪鏋侀檺銆傦紙甯姪浠栦汉锛屽揩涔愯嚜宸憋紝鑻ユ垜鐨勫洖绛旇兘澶熷府鍔╁埌浣狅紝璇烽夋嫨璁句负鈥滃ソ璇勨濓紝璋㈣阿浣犵殑鏀寔銆傦級...
绛旓細(1) 鏀舵暃涓瀹鏈夌晫锛屽洜涓烘敹鏁涗細閫愭笎閫艰繎涓涓‘瀹氬硷紝鍥犳鍦ㄦ敹鏁涙柟鍚戜笂涓瀹氭湁鐣岋紱濡 f(x) = e^(-x) *sinx 褰搙瓒嬭繎姝ｆ棤绌锋椂锛(2) 鏈夌晫涓涓瀹氭敹鏁锛屽彲浠ュ湪杈圭晫鍐呰烦璺冩垨闇囪崱锛涗緥濡 f(x)=sinx 鏈夌晫锛寍f(x)|<=1锛屼絾鏄綋x瓒嬭繎姝ｆ棤绌锋椂锛屽嵈涓嶆敹鏁涖(3) 鎸囨暟鍑芥暟 f(x) = 2^x锛屽綋x瓒嬭繎姝...
绛旓細鍑芥暟鏀舵暃鏄寚鍑芥暟鏈夌晫锛堜笉瓒嬩簬鏃犵┓锛夛紝姣斿锛氣樻寮﹀嚱鏁扳欙紝瀹冪殑鐣岄檺鍦-1涓1涔嬮棿锛屽畠涓嶅瓨鍦鏋侀檺銆 鑰屾瀬闄愭槸鍑芥暟鑷彉閲忚秼鍚戜簬鏃犳椂鎵鎺ヨ繎鐨勬煇涓 銆 鎵浠ワ紝鍑芥暟瀛樺湪鏋侀檺鍒欏嚱鏁版敹鏁涳紝鍑芥暟鏀舵暃涓涓瀹瀛樺湪鏋侀檺銆
绛旓細鏀舵暃鍑芥暟涓瀹氭湁鏋侀檺锛屾湁鏋侀檺鐨勫嚱鏁颁笉涓瀹氭敹鏁銆傚嚱鏁颁竴鑸笉璇存敹鏁涳紝鍙褰搙鏈夋煇绉嶅彉鍖栬秼鍔挎椂锛宖(x)鏄惁鏈夋瀬闄愩傛暟鍒楁垨鑰呯骇鏁帮紝鎵嶅枩娆㈣鏀舵暃銆傗滄敹鏁涒濆拰鈥滄湁鏋侀檺鈥濇槸涓涓剰鎬濓紝瀹屽叏绛変环銆鏀舵暃涓瀹鏈夌晫锛屾湁鐣屼笉涓瀹氭敹鏁涖傛牴鎹敹鏁涘畾涔夊氨鍙互鐭ラ亾锛屽浜庢暟鍒梐n瀛樺湪涓涓暟A锛屾棤璁虹粰瀹氫竴涓涔堝皬鐨勬暟e锛岄兘鑳...
绛旓細鏀舵暃鍑芥暟涓瀹鏈夌晫銆傛敹鏁涘嚱鏁板氨鏄秼浜庢棤绌风殑锛堝寘鎷棤绌峰皬鎴栬呮棤绌峰ぇ锛夛紝璇ュ嚱鏁版绘槸閫艰繎浜庢煇涓涓硷紝杩欏氨鍙嚱鏁扮殑鏀舵暃鎬с備粠瀛楅潰鍙互鍚箟锛屽氨鍙悊瑙ｄ负锛屽嚱鏁扮殑鍊兼昏鏌愪釜鍊肩害鏉熺潃锛屽氨鏄敹鏁涳紝鎵浠鏀舵暃蹇呭畾鏈夌晫锛屼絾鏄笉涓瀹氫笂涓嬬晫閮芥湁銆倅=1/x鏀舵暃锛屽畠鍦ㄦ棤绌锋椂涓0锛屾墍浠ユ湁涓婄晫銆傜粷瀵规敹鏁涳細涓鑸殑绾ф暟u1+...
