欧拉公式的推导过程 欧拉公式怎么推导？
\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u5982\u4f55\u63a8\u5bfc\u51fa\u6765\u63a8\u5bfc\u8fc7\u7a0b
\u8fd9\u4e09\u4e2a\u516c\u5f0f\u5206\u522b\u4e3a\u5176\u7701\u7565\u4f59\u9879\u7684\u9ea6\u514b\u52b3\u6797\u516c\u5f0f\uff0c\u5176\u4e2d\u9ea6\u514b\u52b3\u6797\u516c\u5f0f\u4e3a\u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f\u7684\u4e00\u79cd\u7279\u6b8a\u5f62\u5f0f
\u5728e^x\u7684\u5c55\u5f00\u5f0f\u4e2d\u628ax\u6362\u6210\u00b1ix.
\u6240\u4ee5
\u7531\u6b64\uff1a \uff0c \uff0c\u7136\u540e\u91c7\u7528\u4e24\u5f0f\u76f8\u52a0\u51cf\u7684\u65b9\u6cd5\u5f97\u5230\uff1a
\uff0c \u3002\u8fd9\u4e24\u4e2a\u4e5f\u53eb\u505a\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u3002\u5c06
\u4e2d\u7684x\u53d6\u4f5c\u03c0\u5c31\u5f97\u5230\uff1a
\u8fd9\u4e2a\u6052\u7b49\u5f0f\u4e5f\u53eb\u505a\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\uff0c\u5b83\u662f\u6570\u5b66\u91cc\u6700\u4ee4\u4eba\u7740\u8ff7\u7684\u4e00\u4e2a\u516c\u5f0f\uff0c\u5b83\u5c06\u6570\u5b66\u91cc\u6700\u91cd\u8981\u7684\u51e0\u4e2a\u6570\u5b57\u8054\u7cfb\u5230\u4e86\u4e00\u8d77\uff1a\u4e24\u4e2a\u8d85\u8d8a\u6570\uff1a\u81ea\u7136\u5bf9\u6570\u7684\u5e95e\uff0c\u5706\u5468\u7387\u03c0\uff1b\u4e24\u4e2a\u5355\u4f4d\uff1a\u865a\u6570\u5355\u4f4di\u548c\u81ea\u7136\u6570\u7684\u5355\u4f4d1\uff1b
\u4ee5\u53ca\u88ab\u79f0\u4e3a\u4eba\u7c7b\u4f1f\u5927\u53d1\u73b0\u4e4b\u4e00\u76840\u3002\u6570\u5b66\u5bb6\u4eec\u8bc4\u4ef7\u5b83\u662f\u201c\u4e0a\u5e1d\u521b\u9020\u7684\u516c\u5f0f\u201d\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5728\u4efb\u4f55\u4e00\u4e2a\u89c4\u5219\u7403\u9762\u5730\u56fe\u4e0a\uff0c\u7528 R\u8bb0\u533a\u57df\u4e2a \u6570 \uff0cV\u8bb0\u9876\u70b9\u4e2a\u6570 \uff0cE\u8bb0\u8fb9\u754c\u4e2a\u6570 \uff0c\u5219 R+ V- E= 2\uff0c\u8fd9\u5c31\u662f\u6b27\u62c9\u5b9a\u7406 \uff0c\u5b83\u4e8e 1640\u5e74\u7531 Descartes\u9996\u5148\u7ed9\u51fa\u8bc1\u660e \uff0c\u540e\u6765 Euler(\u6b27\u62c9 )\u4e8e 1752\u5e74\u53c8\u72ec\u7acb\u5730\u7ed9\u51fa\u8bc1\u660e \uff0c\u6211\u4eec\u79f0\u5176\u4e3a\u6b27\u62c9\u5b9a\u7406 \uff0c\u5728\u56fd\u5916\u4e5f\u6709\u4eba\u79f0\u5176 \u4e3a Descartes\u5b9a\u7406\u3002
R+ V- E= 2\u5c31\u662f\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1---\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f
\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u4e0d\u662f\u63a8\u5bfc\u51fa\u6765\u7684\uff0c\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u5b9a\u4e49\u5f0f\uff01\u5982\u4e0b\uff1a
\u5728\u590d\u53d8\u51fd\u6570\u4e2d\uff0c\u8bbez\u662f\u4e00\u4e2a\u4f5c\u4e3a\u5b97\u91cf\uff08\u4e5f\u5c31\u662f\u81ea\u53d8\u91cf\uff09\u7684\u590d\u6570\uff0c\u5219z=x+iy\u3002\u5219\u5b9a\u4e49w=f(z)=e^z=e^(x+iy)=(e^x)(e^iy)=(e^x)(cosy+isiny)\u3002\u8bf7\u6ce8\u610f\u4e0a\u5f0f\u7684\u51e0\u4e2a\u7b49\u53f7\u7684\u542b\u4e49\uff1a\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u7b49\u53f7\u5b9a\u4e49\u4e86\u6709e^z\u8fd9\u79cd\u5f62\u5f0f\u7684\u590d\u53d8\u51fd\u6570\uff08\u5177\u4f53\u662f\u4ec0\u4e48\u5bf9\u5e94\u6cd5\u5219\u4e0d\u6e05\u695a\uff0c\u53ea\u662f\u544a\u8bc9\u4f60\u6709\u8fd9\u4e48\u6837\u7684\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\uff09\uff1b\u7b2c\u4e09\u4e2a\u7b49\u53f7\u4e0d\u662f\u65b0\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u662f\u7b49\u4ef7\u66ff\u6362\uff1b\u7b2c\u56db\u4e2a\u7b49\u53f7\u662f\u4e00\u4e2a\u65b0\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u5b9a\u4e49\u4e86\u8fd9\u4e2a\u51fd\u6570\u6ee1\u8db3\u4e00\u4e2a\u65b0\u7684\u8fd0\u7b97\u6cd5\u5219\uff08\u6307\u6570\u4e4b\u548c\u53ef\u4ee5\u62c6\u5206\u6210\u4e24\u9879\u4e4b\u79ef\uff0c\u7c7b\u4f3c\u4e8e\u5b9e\u6570\uff09\uff1b\u7b2c\u4e94\u4e2a\u7b49\u53f7\u5b9a\u4e49\u4e86\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\uff0c\u544a\u8bc9\u4f60e^iy\u5177\u4f53\u7684\u5bf9\u5e94\u6cd5\u5219\uff01\uff08\u8fd9\u91cc\u53ef\u80fd\u6709\u70b9\u4e0d\u597d\u7406\u89e3\uff0c\u56e0\u4e3ae^z\u662f\u4e00\u4e2a\u590d\u53d8\u51fd\u6570\uff0c\u90a3\u4e48e^z\u80af\u5b9a\u662f\u4e00\u4e2a\u590d\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u5b83\u80af\u5b9a\u4e5f\u80fd\u7528X+iY\u8fd9\u6837\u7684\u5f62\u5f0f\u8868\u8fbe\u51fa\u6765\uff0c\u7b2c\u4e94\u4e2a\u7b49\u53f7\u5c31\u662f\u7ed9\u51fa\u4e86\u51fd\u6570\u7684\u5bf9\u5e94\u6cd5\u5219\uff01\uff09
\u6240\u4ee5\u4e25\u683c\u6765\u8bf4\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u4e0d\u662f\u63a8\u5bfc\u51fa\u6765\u7684\uff0c\u53ea\u662f\u4e00\u4e2a\u5b9a\u4e49\u5f0f\uff01\u53ea\u4e0d\u8fc7\u5f53\u65f6\u6ca1\u6709\u76f4\u63a5\u5b9a\u4e49\uff0c\u800c\u662f\u6839\u636e\u7c7b\u6bd4\u5b9e\u6570\u5f97\u51fa\u6765\u7684\uff0c\u7136\u540e\u624d\u6709\u4e86\u4e25\u683c\u7684\u5b9a\u4e49\u3002\u7f51\u4e0a\u6709\u597d\u591a\u4eba\u95ee\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u600e\u4e48\u8bc1\u660e\uff0c\u5176\u5b9e\u8fd9\u663e\u793a\u51fa\u4e86\u4ed6\u4eec\u903b\u8f91\u7684\u6df7\u4e71\uff0c\u6ca1\u6709\u6b63\u786e\u533a\u5206\u7c7b\u6bd4\u6f14\u4e49\uff0c\u5b9a\u4e49\uff0c\u5b9a\u7406\uff0c\u8bc1\u660e\u56db\u8005\u7684\u5173\u7cfb\u3002\u521a\u5f00\u59cb\u5e76\u6ca1\u6709\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u8fd9\u4e2a\u4e25\u683c\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u6700\u521d\u7684\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u662f\u4eba\u4eec\u901a\u8fc7\u7c7b\u6bd4\u5b9e\u6570\u5f97\u51fa\u7684\u6f14\u7ece\u7ed3\u679c\u7f62\u4e86\uff0c\u7136\u540e\u624d\u6709\u4e86\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u4e25\u683c\u7684\u5b9a\u4e49\u3002
将函数y=e^x、y=sinx、y=cosx用幂级数展开,有
e^x=exp(x)＝1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋x^4/4！＋…＋x^n/n！＋… <1>
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+…… <2>
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+…… <3>
将<1>式中的x换为ix,得到<4>式；
将i*<2>+<3>式得到<5>式。比较<4><5>两式，知<4>与<5>恒等。
于是我们导出了e^ix=cosx+isinx，
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
P.S.
幂级数
c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n+...=∑cnx^n (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+...+cn(x-a)^n+...=∑cn(x-a)^n (n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)^2+...f(n)(a)/n!*(x-a)^n+...
实用幂级数：
ex = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
ln(1+x)= x-x^2/3+x^3/3-...(-1)k-1*x^k/k+... (|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)
sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ... (|x|<1)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)
一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：
Σα = [(n1-2)·180+(n2-2)·180 +…+(nF-2) ·180]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·180
=(2E - 2F) ·180= (E-F) ·360 （1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180。
所以，多面体各面的内角总和：
Σα = (V-n)·360+(n-2)·180+(n-2)·180 =（V-2）·360. （2）
由(1)(2)得： (E-F) ·360 =（V-2）·360
所以 V + F – E = 2.
http://v.ku6.com/show/e0TGF2P_fvJ6C4gt.html
这个视频讲的还不错
JGDKJHJKL
绛旓細鎺ㄥ杩囩▼ 杩欎笁涓叕寮忓垎鍒负鍏剁渷鐣ヤ綑椤圭殑楹﹀厠鍔虫灄鍏紡锛屽叾涓害鍏嬪姵鏋楀叕寮忎负娉板嫆鍏紡鐨涓绉嶇壒娈婂舰寮 鍦╡^x鐨勫睍寮寮忎腑鎶妜鎹㈡垚卤ix.鎵浠 鐢辨锛 锛 锛岀劧鍚庨噰鐢ㄤ袱寮忕浉鍔犲噺鐨勬柟娉曞緱鍒帮細锛 銆傝繖涓や釜涔熷彨鍋娆ф媺鍏紡銆傚皢 涓殑x鍙栦綔蟺灏卞緱鍒帮細杩欎釜鎭掔瓑寮忎篃鍙仛娆ф媺鍏紡锛屽畠鏄暟瀛﹂噷鏈浠や汉鐫杩风殑涓涓叕寮忥紝...
绛旓細鍏充簬娆ф媺鍏紡鎺ㄥ杩囩▼锛屾鎷夊叕寮忔帹瀵艰繖涓緢澶氫汉杩樹笉鐭ラ亾锛屼粖澶╂潵涓哄ぇ瀹惰В绛斾互涓婄殑闂锛岀幇鍦ㄨ鎴戜滑涓璧锋潵鐪嬬湅鍚э紒1銆佹鎷夊叕寮忎笉鏄帹瀵煎嚭鏉ョ殑锛屾鎷夊叕寮忓氨鏄竴涓畾涔夊紡锛佸涓嬶細鍦ㄥ鍙樺嚱鏁颁腑锛岃z鏄竴涓綔涓哄畻閲忥紙涔熷氨鏄嚜鍙橀噺锛夌殑澶嶆暟锛屽垯z=x+iy銆2銆佸垯瀹氫箟w=f(z)=e^z=e^(x+iy)=(e^x)(e^...
绛旓細娆ф媺鍏紡ei胃=cos胃+isin胃楂樹簩瀛︾殑銆傚湪鏁板鍘嗗彶涓婃湁寰堝鍏紡閮芥槸娆ф媺锛圠eonhardEuler鍏厓1707-1783骞)鍙戠幇鐨勶紝瀹冧滑閮藉彨鍋氭鎷夊叕寮忥紝瀹冧滑鍒嗘暎鍦ㄥ悇涓暟瀛﹀垎鏀箣涓傦紙1锛夊垎寮忛噷鐨勬鎷夊叕寮忥細a锛緍/(a-b)(a-c)+b锛緍/(b-c)(b-a)+c锛緍/(c-a)(c-b)銆傚綋r=0,1鏃跺紡瀛愮殑鍊间负0銆傚綋r=2鏃跺间负...
绛旓細娆ф媺鍏紡澶氶潰浣撻《鐐规暟妫辨暟闈㈡暟鍏崇郴濡備笅锛氬闈綋椤剁偣鏁.妫辨暟.闈㈡暟涔嬮棿鐨勫叧绯诲叕寮忎负锛歏+F锕=2锛涢《鐐癸紙V锛夈佹１鏁帮紙E锛夈侀潰鏁帮紙F锛夊叾涓紝V琛ㄧず澶氶潰浣撶殑椤剁偣鏁帮紝E琛ㄧず澶氶潰浣撶殑妫辨暟锛孎琛ㄧず澶氶潰浣撶殑闈㈡暟銆傝繖涓鍏紡鐨鎰忎箟闈炲父閲嶅ぇ锛屽畠涓嶄粎閫傜敤浜庡父瑙佺殑鍑稿闈綋锛屼篃閫傜敤浜庡叾浠栦竴浜涚壒娈婄殑澶氶潰浣撱傛垜浠潵鐪嬩竴浜...
绛旓細鎺ㄥ杩囩▼锛氬洜涓篶osx+isinx=e^ix cosx-isinx=e^-ix 涓ゅ紡鐩稿姞锛屽緱锛2cosx=e^ix+e^-ix锛屾妸2闄よ繃鍘诲氨鍙互寰楀埌cosx=(e^ix+e^-ix)/2銆備袱寮忕浉鍑忥紝寰楋細2isinx=e^ix-e^-ix锛屾妸2i闄よ繃鍘诲氨鍙互寰楀埌sinx=(e^ix-e^-ix)/2i銆傚惈涔 鎭掔瓑寮忎篃鍙仛娆ф媺鍏紡锛屽畠鏄暟瀛﹂噷鏈浠や汉鐫杩风殑涓涓叕寮忥紝瀹...
绛旓細cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+鈥︹+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+鈥︹ <3> 灏<1>寮忎腑鐨剎鎹负ix,寰楀埌<4>寮忥紱灏唅*<2>+<3>寮忓緱鍒<5>寮忋傛瘮杈<4><5>涓ゅ紡锛岀煡<4>涓<5>鎭掔瓑銆備簬鏄垜浠鍑轰簡e^ix=cosx+isinx锛屽皢鍏紡閲岀殑x鎹㈡垚-x锛屽緱鍒帮細e^-ix=cosx-isinx锛岀劧鍚庨噰鐢ㄤ袱...
绛旓細娆ф媺鍏紡e^(ix)=cosx+isinx鍙槸涓涓畾涔夛紝娌℃湁鎺ㄥ锛屼綘鍙互璁や负f锛坕x锛=cosx+isinx锛涜岃繖涓猣锛坕x锛夊緢宸у锛屽拰鎴戜滑宸茬煡鐨別^x鎬ц川寰堝儚锛岋紙姣斿f锛坕x锛*e^x=f锛坕x+x锛夛級鍥犺屽啓浣渆^(ix锛夛紝浣嗗疄闄呬笂骞朵笉鏄紶缁熺殑e^x锛屽彧鏄竴绉嶅啓娉曘鎺ㄥ杩囩▼锛氬洜涓篶osx+isinx=e^ix銆俢osx-isinx=e^-ix銆備袱寮...
绛旓細娆ф媺鍏紡鍙互鐢ㄦ潵灏嗗钩闈笂鐨勫潗鏍囦粠鐩磋鍧愭爣绯昏浆鎹㈠埌鏋佸潗鏍囩郴锛屾垨鑰呬粠鏋佸潗鏍囩郴杞崲鍒扮洿瑙掑潗鏍囩郴銆備互涓嬫槸娆ф媺鍏紡鐨勬帹瀵艰繃绋锛氬亣璁惧湪鐩磋鍧愭爣绯讳腑锛屾湁涓涓偣 P锛屽叾鍧愭爣涓 (x, y)銆傛垜浠彲浠ュ皢杩欎釜鐐硅〃绀轰负涓涓鏁 z = x + i*y锛屽叾涓 i 鏄櫄鏁板崟浣嶃傝繖涓鏁 z 鐨勬ā闀胯〃绀虹偣 P 鍒板師鐐圭殑璺濈锛...
绛旓細娆ф媺鍏紡鏈4鏉 锛1锛夊垎寮忥細a锛緍/(a-b)(a-c)+b锛緍/(b-c)(b-a)+c锛緍/(c-a)(c-b) 褰搑=0,1鏃跺紡瀛愮殑鍊间负0 褰搑=2鏃跺间负1 褰搑=3鏃跺间负a+b+c 锛2锛夊鏁 鐢眅锛緄胃=cos胃+isin胃,寰楀埌锛歴in胃=锛坋锛緄胃-e锛-i胃锛/2i cos胃=锛坋...
绛旓細鏂规硶浜岋細瑙佸鍙樺嚱鏁扮2绔狅紝鍦ㄦ暣涓礋鏁板煙鍐呴噸鏂板畾涔変簡sinz cosz鑰屽悗鏍规嵁鍏崇郴鎺ㄥ鍑轰簡娆ф媺鍏紡銆傜潃涓墠鏄牴鍩恒傜敱鏉ョ紭浜庢銆傛柟娉曚竴鏄笉涓ユ牸鐨勩傚啀 璇风湅杩2涓Н鍒 鈭玸qrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2 鈭玸qrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;...
