求数学高手：求极限的七种方法，最好有例子 各位数学高手，求圆的面积公式 S=πr^2 推导。 请看清要...
\u6570\u5b66\u6781\u9650\u4e2d\u7684\u7528\u5b9a\u79ef\u5206\u6c42\u6570\u5217\u6781\u9650\u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u4e3e\u4e2a\u4f8b\u5b50\u8bf4\u8bf4 \u9ad8\u624b\u8fdb\u4e3b\u8981\u5c31\u662f\u51d1\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u8fd9\u79cd\u5f62\u5f0f
\u4e3b\u8981\u89c2\u5bdf\u5b9a\u79ef\u5206\u662f\u5982\u4f55\u5b9a\u4e49\u7684
\u6ce8\u610f\u70b9\u56db\u4e2a\uff1a
\u51fd\u6570\u5f62\u5f0f\uff0c\u9009\u62e9\u533a\u95f4\uff0c\u5206\u6cd5\u8fd8\u6709\u53d6\u70b9\uff1b
\u51fd\u6570\u5f62\u5f0f\u57fa\u672c\u662f\u56fa\u5b9a\u7684\uff0c\u5c31\u662f\u9898\u4e2d\u7ed9\u7684\u90a3\u79cd\uff0c\u6bd4\u5982\u8bf4sin\uff08k/n\uff09\uff0c\u8fd9\u91cc\u9762k/n\u6700\u540e\u5728\u5b9a\u79ef\u5206\u4e2d\u662f\u8981\u7528x\u6765\u4ee3\u7684\uff0c\u8fd9\u4e2a\u6682\u4e14\u4e0d\u63d0\uff08\u56e0\u4e3a\u6ca1\u6709\u8bb2\u5230\u5206\u6cd5\uff0c\u53d6\u70b9\uff09
\u9009\u62e9\u7684\u533a\u95f4\uff0c\u8981\u89c2\u5bdfk\uff08k\u662f\u52a8\u7684\uff09\u4e0en\u4e4b\u95f4\u6709\u4ec0\u4e48\u5173\u7cfb\uff0c\u5982\u679c\u7b2c\u4e00\u9879k1/n=-1/2\uff0c\u7b2cn\u9879kn/n=1/2,\u90a3\u4e48\u533a\u95f4\u5c31\u9009\u62e9\u3010-1/2,1/2\u3011\uff0c\u603b\u4e4b\uff0c\u8981\u6839\u636e\u5b9e\u9645\u60c5\u51b5\uff1b
\u5206\u6cd5\uff1a
\u8fd9\u4e0e\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u5206\u6cd5\u6709\u70b9\u4e0d\u540c\uff0c\u672c\u8d28\u662f\u4e00\u6837\u7684\uff0c\u5b83\u628a\u533a\u95f4\u957f\u5ea6(\u4e00\u822c\u6765\u8bf4\uff0c\u4efb\u610f\u5206\u7684)\u4e0d\u5927\u4e8e\u4e00\u4e2a\u503c\uff0c\u8bf4\u6210\u662f\u533a\u95f4\u957f\u5ea6\u53d8\u4e3a\u4e00\u4e2a\u5b9a\u503c1/n\uff0c\u8fd9\u6837\u4e66\u5199\u66f4\u65b9\u4fbf
\u7136\u540e\u5c31\u5728\u5404\u4e2a\u5206\u51fa\u6765\u7684\u533a\u95f4\u53d6\u70b9\uff1a
\u8fd9\u4e0e\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u5206\u6cd5\u6709\u70b9\u4e0d\u540c\uff0c\u672c\u8d28\u662f\u4e00\u6837\u7684\u3002\u5b83\u628a\u968f\u610f\u7684\u70b9\u90fd\u53d6\u6210\u4e86\u533a\u95f4\u7684\u67d0\u4e00\u4e2a\u7aef\u70b9\uff0c\u8fd9\u6837\u4e66\u5199\u66f4\u65b9\u4fbf
\u5148\u65e0\u9650\u903c\u8fd1\u6c42\u5706\u7684\u5468\u957f
\u03c0=n*sin(45\u00b0/n)*4 (n>700000)
L=2\u03c0r
r/\u25b3x=n
\u7136\u540e\u25b3x**2\u03c00+\u25b3x*2\u03c0\u25b3x+\u25b3x*2\u03c02\u25b3x+...\u25b3x*2\u03c0\u25b3x\uff08n-1)=2\u03c0\u25b3x^2*(n(n-1)/2=\u03c0r^2(1-1/n) lim n\u2192\u65e0\u7a77\u5927 \u5f97\u03c0r^2
\u770b\u770b\u884c\u4e0d\u884c
\u8fd8\u6709\u4e00\u79cd\u6bd4\u8f83\u7e41 \u4e0d\u60f3\u6253\u4e86 \u7761\u89c9\u53bb\u4e86 \u660e\u5929\u5728\u8bf4
1、利用定义求极限。
例如：很多就不必写了！
2、利用柯西准则来求！
柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于任意的自然数m有|xn-xm|<ε.
3、利用极限的运算性质及已知的极限来求！
如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5
=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5
=1.
4、利用不等式即：夹逼原则！
例子就不举了！
5、利用变量替换求极限！
例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)
可令x=y^mn
得原式=n/m.
6、利用两个重要极限来求极限。
(1)lim sinx/x=1
x→0
(2)lim (1+1/n)^n=e
n→∞
7、利用单调有界必有极限来求！
8、利用函数连续得性质求极限。
9、用洛必达法则求，这是用得最多的。
10、用泰勒公式来求，这用得也很经常。
绛旓細1銆佸埄鐢ㄥ畾涔夋眰鏋侀檺銆備緥濡傦細寰堝灏变笉蹇呭啓浜嗭紒2銆鍒╃敤鏌タ鍑嗗垯鏉ユ眰锛佹煰瑗垮噯鍒欙細瑕佷娇{xn}鏈夋瀬闄愮殑鍏呰鏉′欢浣夸换缁櫸>0,瀛樺湪鑷劧鏁癗锛屼娇寰楀綋n>N鏃讹紝瀵逛簬浠绘剰鐨勮嚜鐒舵暟m鏈墊xn-xm|<蔚.3銆佸埄鐢ㄦ瀬闄愮殑杩愮畻鎬ц川鍙婂凡鐭ョ殑鏋侀檺鏉ユ眰锛佸锛歭im(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5 =lim(x^0.5)(1+1/x^0...
绛旓細1銆併愮洿鎺ヨ绠椼戣兘鐩存帴璁＄畻锛岃屽張涓嶅嚭鐜颁笉瀹氬紡鐨勬儏鍐碉紝灏辩洿鎺ヤ唬鍏ヨ绠楋紱2銆併缃楀繀杈炬柟娉銆戝鏋滃嚭鐜颁竷绉嶄笉瀹氬紡涔嬩竴锛屽氨涓嶅彲浠ョ洿鎺ヤ唬鍏ヨ绠楋紝濡傛灉鏄繛缁嚱鏁帮紝灏卞繀椤绘妸涓冪涓嶅畾寮忥紝缁熺粺鍖栨垚鏃犵┓澶ф瘮鏃犵┓澶х殑褰㈠紡锛屾垨鏃犵┓灏忔瘮 鏃犵┓灏忕殑褰㈠紡锛岀劧鍚庤繍鐢ㄧ綏蹇呰揪鏂规硶锛3銆併鍙橀噺浠ｆ崲銆戝鏋滀笉鏄繛缁嚱鏁帮紝鍗存槸涓冪...
绛旓細2銆佸埄鐢ㄦ亽绛夊彉褰㈡秷鍘婚浂鍥犲瓙锛堥拡瀵逛簬0/0鍨嬶級3銆佸埄鐢ㄦ棤绌峰ぇ涓庢棤绌峰皬鐨勫叧绯绘眰鏋侀檺 4銆佸埄鐢ㄦ棤绌峰皬鐨勬ц川姹傛瀬闄 5銆佸埄鐢ㄧ瓑浠锋棤绌峰皬鏇挎崲姹傛瀬闄愶紝鍙互灏嗗師寮忓寲绠璁＄畻 6銆鍒╃敤涓や釜鏋侀檺瀛樺湪鍑嗗垯锛屾眰鏋侀檺锛屾湁鐨勯鐩篃鍙互鑰冭檻鐢ㄦ斁澶х缉灏忥紝鍐嶇敤澶归煎畾鐞嗙殑鏂规硶姹傛瀬闄 7銆佸埄鐢ㄤ袱涓噸瑕佹瀬闄愬叕寮忔眰鏋侀檺 8銆佸埄鐢ㄥ乏銆...
绛旓細4銆佽繍鐢ㄣ愪笉绛夊紡銆戠殑鏀惧ぇ銆佺缉灏忔硶(Inequality)锛5銆鍒╃敤涓や釜銆愰噸瑕佹瀬闄愩(Special Limit)锛6銆绛変环鏃犵┓灏忎唬鎹銆怑quivalent Infinitesimal Substitution銆戙俒璇存槑] 姝ゆ硶鍦ㄥ浗鍐呯倰寰楀緢鐏儹锛屽浗澶栧緢鍐烽潤銆傜敤姝ゆ硶瑕佺壒鍒皬蹇冿紝缁忓父浼氬嚭閿欍7銆佸埄鐢ㄣ愬畾绉垎銆戞眰鏋侀檺(Definite Integration)锛8銆佸埄鐢ㄣ怣aClaurin Seri...
绛旓細鏈畾寮忔槸楂樼瓑鏁板涓眰鏋侀檺涓父瑙佺殑闂锛屽畠涓嶈兘鐩存帴浠ｅ叆璁＄畻銆備竴鍏辨湁7绉嶃鍒嗗埆鏄0姣0锛屸垶姣斺垶锛0*鈭烇紝1^鈭烇紝0^0,鈭瀆0鍜屸垶-鈭炲瀷銆傛湭瀹氬紡鏄寚濡傛灉褰搙鈫抶0(鎴栬厁鈫掆垶)鏃讹紝涓や釜鍑芥暟f(x)涓巊(x)閮借秼浜庨浂鎴栬呰秼浜庢棤绌峰ぇ锛岄偅涔堟瀬闄恖im [f(x)/g(x)] (x鈫抶0鎴栬厁鈫掆垶)鍙兘瀛樺湪锛屼篃...
绛旓細瑙ｆ硶涓锛氾紙缃楀繀杈炬硶锛夛紙1锛夊師寮=e^{lim(x->0)[ln(1-x)/x]} =e^{lim(x->0)[-1/(1-x)]} (0/0鍨鏋侀檺锛搴旂敤缃楁瘮杈炬硶鍒)=e^(-1)=1/e锛涳紙2锛夊師寮=e^{lim(x->0)[ln(1+2x)/x]} =e^{lim(x->0)[2/(1+2x)]} (0/0鍨嬫瀬闄愶紝搴旂敤缃楁瘮杈炬硶鍒)=e^2 =e²...
绛旓細鏋侀檺鐨勬眰娉曟湁寰堝绉嶏細1銆杩炵画鍒濈瓑鍑芥暟锛屽湪瀹氫箟鍩熻寖鍥村唴姹傛瀬闄愶紝鍙互灏嗚鐐圭洿鎺ヤ唬鍏ュ緱鏋侀檺鍊硷紝鍥犱负杩炵画鍑芥暟鐨勬瀬闄愬煎氨绛変簬鍦ㄨ鐐圭殑鍑芥暟鍊笺2銆佸埄鐢ㄦ亽绛夊彉褰㈡秷鍘婚浂鍥犲瓙锛堥拡瀵逛簬0/0鍨嬶級銆3銆佸埄鐢ㄦ棤绌峰ぇ涓庢棤绌峰皬鐨勫叧绯绘眰鏋侀檺銆4銆佸埄鐢ㄦ棤绌峰皬鐨勬ц川姹傛瀬闄愩5銆佸埄鐢ㄧ瓑浠锋棤绌峰皬鏇挎崲姹傛瀬闄愶紝鍙互灏嗗師寮忓寲绠...
绛旓細鍑芥暟鏋侀檺鐨鍑犵甯哥敤鐨姹傝В鏂规硶鍔犱互褰掔撼銆1.鍒╃敤鏋侀檺鐨勬弿杩版у畾涔夋瀬闄愮殑鎻忚堪鎬у畾涔変负锛氳嫢褰撹嚜鍙橀噺鐨勭粷瀵瑰紎x|鏃犻檺澧炲ぇ鏃讹紝鐩稿簲鐨勫嚱鏁板糵锛坸锛夋棤闄愭帴杩戞煇纭畾鐨勫父鏁癆锛屽垯绉板綋x瓒嬪悜鏃犵┓鏃跺嚱鏁癴锛坸锛変互A涓烘瀬闄愶紝鎴杅锛坸锛夋敹鏁涘埌A锛岃涓篺锛坸锛=A鎴杅锛坸锛夆啋A锛坸鈫掆垶锛夊埄鐢ㄦ弿杩版ц鏄庡彲浠ュ鏄撳湴浼拌...
绛旓細姹傛瀬闄甯歌鐨勬柟娉:鍥涘垯杩愮畻,杩炵画,鎹㈠厓浠ｆ崲,绛変环浠ｆ崲.鍒嗘瘝鏈夌悊鍖.浜屼釜閲嶈鏋侀檺,浜屼釜閲嶈娉曞垯.娲涘繀杈炬硶鍒(瀵涓冪涓嶅畾寮),娉板嫆鍏紡.绾ф暟鏂规硶.鍚庨潰浜绉嶆柟娉鐢ㄥ緱姣旇緝灏.鍓嶉潰鐨勯兘鏄父鐢ㄥ埌鐨勬柟娉 鍥涘垯杩愮畻鏂规硶:瀵规湁鐞嗗垎寮弜-->鏃犵┓鏃,涓鑸槸涓婁笅鍚岄櫎浠ュ垎姣嶇殑鏈楂樻骞.x-->0鏃,涓鑸槸涓婁笅鍚岄櫎浠ュ垎瀛愮殑...
绛旓細楂樻暟姹傛瀬闄愰棶棰樹竴鑸湁浠ヤ笅鍑犵鏂规硶锛1銆佹礇蹇呰揪娉曞垯锛氶傜敤浜庘垶/鈭炴垨0/0鍨嬨2銆佺瓑浠锋棤绌峰皬浠ｆ崲锛氶渶娉ㄦ剰涓庡叾浠栭」鏄姞鍑忓叧绯绘椂涓嶈兘绛変环鏃犵┓灏忎唬鎹紝鍙湁鍦ㄤ笌鍏朵粬椤规槸涔橀櫎鍏崇郴鏃舵墠鑳界瓑浠锋棤绌峰皬浠ｆ崲銆3銆佹嘲鍕掑叕寮忥細瀵逛簬涓浜涗笉鑳界敤绛変环鏃犵┓灏忔垨鑰呮礇蹇呰揪娉曞垯鏃跺父鐢ㄧ殑涓绉嶆柟娉曪紝杩欑鏂规硶浠讳綍鏃跺欓兘鍙娇鐢ㄣ4銆...
