为什么向量组线性相关的充分必要条件是小雨向量的个数，而不是向量的维数呢？ 线性相关的充要条件是 矩阵的秩小于向量个数 为什么又说 向量...
\u5411\u91cf\u7ec4\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u5982\u679c\u7ef4\u6570\u5c0f\u4e8e\u5411\u91cf\u4e2a\u6570 \u5411\u91cf\u7ec4\u5373\u4f7f\u7ebf\u6027...\u4f60\u5c06\u7ef4\u6570\u4e0e\u79e9\u5f04\u6df7\u4e86\u3002\u53ea\u6709\u5f53\u5411\u91cf\u7ec4\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u5411\u91cf\u4e2a\u6570\u624d\u548c\u79e9\u76f8\u7b49\u3002\u6211\u4eec\u8003\u8651n\u7ef4n\u4e2a\u5411\u91cf\u7ec4\u6210\u7684\u4e00\u4e2a\u5411\u91cf\u7ec4\u3002\u5982\u679c\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\uff0c\u90a3\u4e48\u79e9\u4e3an\u3002\u4f46\u662f\u5982\u679c\u8fd9n\u4e2a\u5411\u91cf\u90fd\u662fn-1\u7ef4\u7684\uff0c\u6211\u4eec\u4e0d\u59a8\u76f4\u63a5\u53bb\u6389\u6240\u6709\u5411\u91cf\u7684\u6700\u540e\u4e00\u4e2a\u5206\u91cf\u3002\u90a3\u4e48\u6b64\u65f6\u8fd9\u4e2a\u5411\u91cf\u7ec4\u4e00\u5b9a\u662f\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u7684\u3002
\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\uff0c\u5982\u679c\u7ef4\u6570\u5c0f\u4e8e\u5411\u91cf\u4e2a\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u5411\u91cf\u7ec4\u600e\u4e48\u80fd\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u5462\uff1f \u5c31\u6bd4\u5982\u6709\u4e09\u4e2a\u4e8c\u7ef4\u5411\u91cf\uff0c\u663e\u7136\uff0c\u4e8c\u7ef4\u5411\u91cf\u8868\u793a\u7684\u662f\u5e73\u9762\u4e0a\u65b9\u5411\u3002\u8fd9\u4e09\u4e2a\u4e8c\u7ef4\u5411\u91cf\u5fc5\u7136\u662f\u5728\u540c\u4e00\u5e73\u9762\u4e0a\u7684\uff0c\u80af\u5b9a\u53ef\u4ee5\u4e92\u76f8\u7ebf\u6027\u8868\u51fa\uff0c\u8fd9\u4e09\u4e2a\u5411\u91cf\u4e0d\u53ef\u80fd\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u3002
\u5411\u91cf\u4e2a\u6570>\u77e9\u9635\u7684\u79e9\uff0c\u5219\u7ebf\u6027\u76f8\u5173
\u5411\u91cf\u7ef4\u6570>=\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u6052\u6210\u7acb
\u5f53\u5411\u91cf\u4e2a\u6570>\u5411\u91cf\u7ef4\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u5411\u91cf\u4e2a\u6570>\u5411\u91cf\u7ef4\u6570>=\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef61\uff0c\u56e0\u6b64\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u3002
\u5e76\u4e0d\u89c9\u5f97\u6709\u4ec0\u4e48\u95ee\u9898
矩阵的秩等于其列秩等于其行秩
秩不超过行数和列数, 但哪个也不能充当秩
说回来.
你的问题应该是: 向量组a1,...,as线性相关的充分必要条件是 r(a1,...,as)<s
这没错. 等价说法是: a1,...,as线性无关的充分必要条件是 r(a1,...,as)=s
当 a1,...,as线性相关时, 至少有一个向量可由其余向量线性表示, 不妨设为as
则 a1,...,as-1 与 a1,...,as 等价
所以 r(a1,...,as) = r(a1,...,as-1) <= s-1 < s
反之显然.
需注意的是, 证明中没有提到向量的维数
线性相关<=>向量组的极大无关组所含向量的个数<向量组的个数
绛旓細鍥犱负鍚戦噺缁勭殑绾挎х粍鍚堝彧鏈夐浂瑙銆傚浜庝换涓鍚戦噺缁勮岃█锛屼笉鏄嚎鎬ф棤鍏崇殑灏辨槸绾挎х浉鍏崇殑銆傚悜閲忕粍鍙寘鍚竴涓悜閲廰鏃讹紝a涓0鍚戦噺锛屽垯璇碅绾挎х浉鍏; 鑻鈮0, 鍒欒A绾挎ф棤鍏炽傚寘鍚浂鍚戦噺鐨勪换浣曞悜閲忕粍鏄嚎鎬х浉鍏崇殑銆傚惈鏈夌浉鍚屽悜閲忕殑鍚戦噺缁勫繀绾挎х浉鍏炽傚鍔犲悜閲忕殑涓暟锛屼笉鏀瑰彉鍚戦噺鐨勭浉鍏虫с(娉ㄦ剰锛屽師鏈殑鍚戦噺...
绛旓細涓や釜鎴愭瘮渚嬪垯r锛渕鎵浠ョ嚎鎬х浉鍏筹紝鎵浠ユ槸绾挎х浉鍏鍏呭垎鏉′欢锛涘鏋滅嚎鎬х浉鍏筹紝涔熸湁鍙兘涓変釜鎴愭瘮渚嬶紝鍥涗釜鎴愭瘮渚嬶紝鍙婊¤冻r锛渕灏辫浜嗭紝鎵浠ユ槸鍏呭垎闈蹇呰鏉′欢銆傚鏋滃悜閲忕粍涓湁涓や釜闈為浂鍚戦噺鎴愭瘮渚嬪垯鍚戦噺缁勭嚎鎬х浉鍏鎵浠涓嶅B鏄繀瑕佹潯浠讹紝鍥犱负濡傦紙1锛0锛1锛塗锛岋紙0锛1锛0锛塗锛岋紙1锛1锛1锛塗浠绘剰涓や釜鍚戦噺...
绛旓細涓涓悜閲忕粍鍙互鐢卞彟澶栧嚑涓悜閲忚〃绀轰笖琛ㄧず娉曚笉鍞竴鐨勬潯浠舵槸鍙﹀鍑犱釜鍚戦噺缁勬槸绾挎х浉鍏崇殑锛屽洜涓哄嚑涓鍚戦噺缁勭嚎鎬х浉鍏锛屽垯鏈夊浣欑殑鍚戦噺锛岄偅涔堣〃绀轰竴涓悜閲忕粍鐨勬椂鍊欒〃绀烘硶灏变笉鍞竴銆傚湪鍚戦噺绌洪棿V鐨勪竴缁勫悜閲A锛氬鏋滃瓨鍦ㄤ笉鍏ㄤ负闆剁殑鏁 k1, k2, 路路路,km , 浣 鍒欑О鍚戦噺缁凙鏄嚎鎬х浉鍏崇殑锛屽惁鍒欐暟 k1, k2, ...
绛旓細绾挎х浉鍏崇殑鍏呰鏉′欢鏄細鍚戦噺缁勪腑鑷冲皯瀛樺湪涓涓悜閲忓彲鐢卞叾浠栧悜閲忕嚎鎬ц〃绀銆傝瘉鏄庯細蹇呰鎬э細鍋囪鍚戦噺缁勎1锛屛2锛屸︼紝伪m绾挎х浉鍏筹紝鍒欏瓨鍦ㄤ竴缁勪笉鍏ㄤ负闆剁殑鏁発1锛宬2锛屸︼紝km锛屼娇寰梜1伪1+k2伪2+鈥+km伪m=0銆傜壒鍒湴锛宬1鈮0锛岄偅涔埼1=(-k2/k1)伪2+(-k3/k1)伪3+鈥+(-km/k1)伪m锛屽嵆伪1鍙...
绛旓細鍚戦噺缁a1,a2,a3, 路路路 ,am绾挎ф棤鍏崇殑鍏呭垎蹇呰鏉′欢鏄搴旂殑榻愭绾挎ф柟绋嬬粍鍙湁闆惰В.鍗筹紙鏂圭▼缁2锛夌殑瑙ｅ彧鏈塳1=k2=路路路 =km= 0 姝ゆ椂濡傛灉寤堕暱鍚戦噺 , 鐩稿綋浜庡湪锛堟柟绋嬬粍2锛変腑娣诲姞浜嗗嚑涓柟绋 , 鍗冲鏈煡閲弅1銆乲2銆 km澶氫簡涓浜涚害鏉,鏁呬粛鐒跺彧鏈夐浂瑙ｏ紝k1=k2= 路路路 =km= 0 鎵浠ュ欢闀垮悜...
绛旓細鏄瘄浠ノ1锛屛2锛屛3锛屛4涓鸿鍚戦噺缁勬瀯鎴4闃舵柟闃礎锛屾墍浠鍚戦噺缁勭嚎鎬х浉鍏崇殑鍏呭垎蹇呰鏉′欢鏄瘄A|=0銆倈A|=-30a+30b+30c=-30(a-b-c)銆傛墍浠ュ悜閲忕粍绾挎х浉鍏崇殑鍏呭垎蹇呰鏉′欢鏄痑-b-c=0銆備緥濡傦細B鐨勫弽渚嬶細鍙栦笉鍏ㄤ负0鐨勪竴缁勭嚎鎬х浉鍏崇殑鍚戦噺缁勶紝璁疚1鈮0锛屽瓨鍦╧1=0锛屽叾瀹僰2=...=kn=0锛屽垯k1伪1锛...
绛旓細A锛氬弽璁緍锛瀞锛庡洜涓鍚戦噺缁I=伪1锛屛2锛屸︼紝伪r锛屽彲鐢卞悜閲忕粍鈪=尾1锛屛2锛屸︼紝尾s绾挎ц〃鍑猴紝鎵浠ュ悜閲忕粍伪1锛屛2锛屸︼紝伪r鐨勭З锛渟锛渞锛屾墍浠ュ悜閲忕粍I=伪1锛屛2锛屸︼紝伪r绾挎х浉鍏锛岀煕鐩撅紒鏁卹鈮锛屾晠A鎴愮珛锛嶣锛氬鏋滃悜閲忕粍鈪=尾1锛屛2锛屸︼紝尾s绾挎х浉鍏筹紝鍙栁眎=尾i锛宨=1锛屸︼紝s锛...
绛旓細鍏呰鏉′欢銆傝瘉鏄庯細锛鍏呭垎鎬э級鑻闃舵柟闃礱鐨勮鍒楀紡绛変簬闆讹紝鍒檃鐨勮锛堝垪锛夊悜閲忕粍鐨勭З灏忎簬n锛屽垯a鐨勮锛堝垪锛鍚戦噺缁勭嚎鎬х浉鍏銆傦紙蹇呰鎬э級鑻鐨勮锛堝垪锛夊悜閲忕粍绾挎х浉鍏筹紝鍒檃鐨勮锛堝垪锛夊悜閲忕粍鐨勭З灏忎簬n锛屽垯n闃舵柟闃礱鐨勮鍒楀紡绛変簬闆躲
绛旓細鍗冲悓瑙ｃ傝繖鏄鍏呭垎鎬с蹇呰鎬т篃涓鏍峰彲浠ラ氳繃鏂圭▼缁勭悊瑙ｃ绾挎鏂圭▼缁勭殑瑙ｆ硶1銆佸厠鑾卞娉曞垯锛氱敤鍏嬭幈濮嗘硶鍒欐眰瑙ｆ柟绋嬬粍锛屾湁涓や釜鍓嶆彁锛屼竴鏄柟绋嬬殑涓暟瑕佺瓑浜庢湭鐭ラ噺鐨勪釜鏁帮紝浜屾槸绯绘暟鐭╅樀鐨勮鍒楀紡瑕佷笉绛変簬闆躲傜敤鍏嬭幈濮嗘硶鍒欐眰瑙ｆ柟绋嬬粍瀹為檯涓婄浉褰撲簬鐢ㄩ嗙煩闃电殑鏂规硶姹傝В绾挎ф柟绋嬬粍锛屽畠寤虹珛绾挎ф柟绋嬬粍鐨勮В涓庡叾绯绘暟鍜...
绛旓細杩欓噷鏈塶涓猲缁村悜閲 閭ｄ箞灏辩粍鎴愪簡n闃惰鍒楀紡 琛屽垪寮忕瓑浜0 涔熷氨鏄З灏忎簬n 閭ｄ箞褰撶劧灏辨槸鍚戦噺缁勭嚎鎬х浉鍏 鍚岀悊琛屽垪寮忎笉绛変簬0鏃 鍚戦噺缁勫氨鏄弧绉╃殑锛屽綋鐒剁嚎鎬ф棤鍏 浜岃呭氨鏄瓑浠风殑锛岄偅涔堟樉鐒跺氨鏄鍏呭垎蹇呰鏉′欢
