高数题二重积分 高数题，二重积分
\u9ad8\u6570\u9898\uff0c\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u89e3:
(1)\u4efb\u610fx,f(-1+x)=a(-1+x)^3+b(-1+x)^2+c(-1+x)+d,
f(-1-x)=a(-1-x)^3+b(-1-x)^2+c(-1-x)+d,
\u4e24\u5f0f\u76f8\u52a0\u6574\u74060.\u8bc1\u6bd5
(2)b=0f(x)=ax^3+cx+d,\u5bfc\u65703ax^2+c,\u5bfc\u65700x^2=-c/(3a).
\u503c\u70b9\u80fd\u73b0\u4f4d\u7f6ex=0,x=1,x^2=-c/(3a).\u4ee4a=kc,d=mc,\u5219f(0)=d=mc;
f(1)=a+c+d=(k+m+1)c,f(x=\u6839(-1/(3k)))=,\u8ba8\u8bba
f(x)\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u662fx>0,\u8bbe\u5b9a\u4e49\u57df\u5185\u4efb\u610f0<x1<x2\uff0c\u5219\uff1a
f(x2)-f(x1)=lnx2-lnx1+a/x1-a/x2=ln(x2/x1)+a(x2-x1)/(x1x2)
\u56e0x2/x1>1,\u6545ln(x2/x1)>0,\u53c8a>0,\u5219f(x2)-(x1)>0
\u6545\u51fd\u6570\u5355\u8c03\u589e\u52a0\u3002
\u6781\u503c\u70b9\u662f\u6700\u5c0f\u503c\u65f6\uff1a
f'(x)=1/x+a/x^2\uff0c f''(x)=-1/x^2-2a/x^3
f'(x)=0\u65f6\uff0c1/x+a/x^2=0\uff0cx=-a
f(-a)=ln(-a)-a/(-a)=ln(-a)+1
\u82e5ln(-a)+1=2\uff0c\u5219a=-e\uff0c
\u6b64\u65f6x=e\u5728\u533a\u95f4[1,e]\u5185,f''(e)=1/e^2>0,\u5373\u5b58\u5728\u6781\u5c0f\u503c
\u8fb9\u754c\u503cx=1\u5904\u662f\u51fd\u6570\u6700\u5c0f\u503c\u65f6\uff1a
f(1)=ln1-a=2\uff0c\u5219a=-2
\u6b64\u65f6\u6781\u503c\u70b9f(-a)=f(2)=ln2+2/2=ln2+1<2\uff0c\u5373\u6bd4\u8fb9\u754c\u503c\u66f4\u5c0f\uff0c\u6545f(1)\u4e0d\u662f\u51fd\u6570\u6700\u5c0f\u503c
\u56e0\u6b64a=-e
\u60f3\u8c61\u5728xoy\u5e73\u9762\u7684\u4e0a\u65b9\u505a\u4e00\u4e2a\u534a\u7403\uff0c\u4f7f\u5f97\u56edx^2+y^2=R^2\u662f\u8fd9\u4e2a\u534a\u7403\u7684\u5e95
\u5728\u56ed\u5185\u4efb\u610f\u4e00\u70b9(x,y)\u4f5c\u5e73\u9762xoy\u7684\u5782\u7ebf\uff0c\u8fd9\u6761\u5782\u7ebf\u88ab\u534a\u7403\u622a\u5f97\u7684\u957f\u5ea6\u5c31\u7b49\u4e8e\uff1a
\u6839\u53f7(R^2-x^2-y^2)
\u6240\u4ee5\uff1a\u6839\u53f7(R^2-x^2-y^2)*dxdy \u5c31\u4ee3\u8868\u4ee5(x,y)\u7684\u4e00\u4e2a\u4e34\u57df\u4e3a\u5e95\uff0c\u4ee5\u90a3\u6761\u5782\u7ebf\u4e3a\u9ad8\u7684\u4e00\u4e2a\u67f1\u5b50\u7684\u4f53\u79ef\uff0c\u800c\u8fd9\u4e2a\u534a\u7403\u53ef\u4ee5\u5206\u6210\u65e0\u6570\u4e2a\u8fd9\u6837\u7684\u67f1\u5b50\uff0c
\u6240\u4ee5\uff0c\u8fd9\u4e2a\u79ef\u5206\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u534a\u7403\u7684\u4f53\u79ef
用曲线 y = - sinx (-π/2 ≤ x ≤ 0), 将积分域 D 分为两部分，
左边一块对称于 x 轴， 上边一块对称于 y 轴，
积分函数 xy^5 既是 y 的奇函数，又是 x 的奇函数，故积分为 0，
原积分等于 D 的面积的负值。D 中第 2 象限部分为面积是 1，
D 中第 4 象限部分与第 1 象限曲线下的部分面积相等，
故 D 中第 4 象限部分与第 1 象限部分面积之和是 1。 故积分为 -2.
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