数学 圆锥曲线

\u6570\u5b66\u5706\u9525\u66f2\u7ebf

1.\u5df2\u77e5\u70b9Q\uff082\u221a2,0\uff09\u53ca\u629b\u7269\u7ebfx^2=4y\u4e0a\u4e00\u52a8\u70b9p\uff08x,y\uff09\uff0c\u5219y+\uff5cPQ\uff5c\u7684\u6700\u5c0f\u503c\u662f\uff1f
\u89e3\uff1a\u8bbey+|PQ|=d\uff08d\u22650)\uff0c\u5219|PQ|=d-y,|PQ|2=\uff08d-y)2=d2+y2-2dy\uff0c\u5373
y2+x2+8-(4\u221a2)y=d2+y2-2dy\uff0c\u6574\u7406\u5f97x2-\uff084\u221a2-2d)y+8-d2=0\u3002\u7531\u629b\u7269\u7ebf\u65b9\u7a0bx2=4y\u5f97y=x2/4,\u628ay=x2/4\u4ee3\u5165x2-\uff084\u221a2-2d)y+8-d2=0\u5f97x2-\uff082\u221a2-d)x2/2+8-d2=0\uff0c\uff081-\u221a2+d/2\uff09x2+8-d2=0\uff0c\u56e0\u4e3ax\u4e3a\u5b9e\u6570\uff0c\u6240\u4ee5(1-\u221a2+d/2)(8-d2)\u22640\uff0c\u89e3\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7ec41-\u221a2+d/2\u22650\uff0c
8-d2\u22640\uff0c
\u548c1-\u221a2+d/2\u22640\uff0c
8-d2\u22650\uff0c\u5f97
d\u2264-2\u221a2(\u4e0d\u5408\u9898\u610f\uff0c\u820d\u53bb\uff09\u548cd\u22652\u221a2\u3002\u6240\u4ee5y+\uff5cPQ\uff5c\u7684\u6700\u5c0f\u503c\u662fd=2\u221a2\u3002

2.\u8bbe\u629b\u7269\u7ebfy2=2x\u7684\u7126\u70b9\u4e3aF\uff0c\u8fc7\u70b9M(\u221a3,0)\u7684\u76f4\u7ebf\u4e0e\u629b\u7269\u7ebf\u76f8\u4ea4\u4e0eA\uff0cB\u4e24\u70b9\uff0c\u4e0e\u629b\u7269\u7ebf\u7684\u51c6\u7ebf\u76f8\u4ea4\u4e0eC\uff0c\uff5cBF\uff5c=2\uff0c\u5219\u25b3BCF\u4e0e\u25b3ACF\u6240\u6210\u7684\u9762\u79ef\u4e4b\u6bd4\u4e3a\uff1f
\u89e3\uff1a\u629b\u7269\u7ebfy2=2x\u7684\u7126\u70b9F\uff081/2,0),\u51c6\u7ebf\u4e3ax=-1/2.\u8bbe\u8fc7\u70b9M(\u221a3,0)\u7684\u76f4\u7ebf\u65b9\u7a0by=k(x-\u221a3),\u70b9B\u7684\u5750\u6807\u4e3aB(x\u2032\uff0cy\u2032\uff09\uff0c\u5219\u6709
y\u2032=k(x\u2032-\u221a3\uff09\uff0c\u2460
y\u20322=2x\u2032\uff0c \u2461
y\u20322+\uff08x\u2032-1/2)2=4\u3002\u2462
\u89e3\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
\u628a\u2461\u4ee3\u5165\u2462\u5f97x\u20322+x\u2032-15/4=0,(x\u2032+5/2)(x\u2032-3/2)=0,x\u2032=-5/2\u6216x\u2032=3/2,\u5176\u4e2dx\u2032=-5/2\u4e0d\u5408\u9898\u610f\u3002
\u628ax\u2032=3/2\u4ee3\u5165\u2461\u5f97y\u20322=3\uff0cy\u2032=\u221a3\u6216y\u2032=-\u221a3\u3002
\u70b9B\u7684\u5750\u6807\u4e3aB(3/2,\u221a3)\u6216B(3/2,-\u221a3)\u3002
\u4e0b\u9762\u53d6B(3/2,\u221a3)\u4e00\u79cd\u60c5\u51b5\u8fdb\u884c\u63a2\u8ba8\uff1a
\u628ax\u2032=3/2\u548cy\u2032=\u221a3\u4ee3\u5165\u2460\u5f97k=\u221a3/(3/2-\u221a3\uff09\uff0c
\u628ak=\u221a3/(3/2-\u221a3\uff09\u4ee3\u5165y=k(x-\u221a3),\u5f97y=(\u221a3x-3\uff09/(3/2-\u221a3\uff09\uff0c
\u76f4\u7ebfy=(\u221a3x-3\uff09/(3/2-\u221a3\uff09\u4e0e\u76f4\u7ebfx=-1/2\u7684\u4ea4\u70b9\u7684\u6a2a\u5750\u6807\u4e3ax=-1/2\uff0c
\u628ax=-1/2\u4ee3\u5165y=(\u221a3x-3\uff09/(3/2-\u221a3\uff09\u5f97y=(-\u221a3/2-3\uff09/(3/2-\u221a3\uff09
=(\u221a3/2+3\uff09/(\u221a3-3/2\uff09=(\u221a3/2+3\uff09(\u221a3+3/2\uff09/(3/4\uff09=(6+15\u221a3/4)/(3/4\uff09
=4(2+5\u221a3/4)=8+5\u221a3\u3002\u6240\u4ee5\u70b9C\u7684\u5750\u6807\u4e3aC(-1/2,8+5\u221a3\uff09\u3002
\u4e0b\u9762\u6c42\u70b9A\u7684\u5750\u6807(\u53d6\u5176\u4e2d\u4e00\u79cd\u60c5\u51b5)\uff1a
\u628ay=(\u221a3x-3\uff09/(3/2-\u221a3\uff09\u4ee3\u5165y2=2x\u5f97[(\u221a3x-3\uff09/(3/2-\u221a3\uff09]2=2x,\u5373\uff083x2-6\u221a3x+9)/(21/4-3\u221a3\uff09=2x,3x2-6\u221a3x+9=6(7/4-\u221a3)x,
x2-2\u221a3x+3=2(7/4-\u221a3)x\uff0cx2-7x/2+3=0,x=2\u6216x=3/2(\u70b9B\u7684\u6a2a\u5750\u6807\u4e3a3/2,\u6545\u53d62\u4e3a\u70b9A\u7684\u6a2a\u5750\u6807)\u3002
\u628ax=2\u4ee3\u5165y=(\u221a3x-3\uff09/(3/2-\u221a3\uff09\u5f97y=(2\u221a3-3\uff09/(3/2-\u221a3\uff09
=(2\u221a3-3\uff09(3/2+\u221a3\uff09/(-3/4\uff09=4(3-2\u221a3)(3/2+\u221a3\uff09/3=(-6)/3=-2\u3002\u6240\u4ee5\u70b9A\u7684\u5750\u6807\u4e3aA\uff082\uff0c-2\uff09\u3002
\u25b3BCF\u4e0e\u25b3ACF\u7684\u9ad8\u76f8\u7b49\uff0c\u5e95\u5728\u540c\u4e00\u6761\u76f4\u7ebf\u4e0a\uff0c\u6240\u4ee5\u5b83\u4eec\u7684\u9762\u79ef\u7684\u6bd4\u7b49\u4e8e\u5b83\u4eec\u5e95\u8fb9\u7684\u6bd4,\u5b83\u4eec\u5e95\u8fb9\u7684\u6bd4\u53c8\u7b49\u4e8eB,C\u4e24\u70b9\u7684\u6a2a\u5750\u6807\u4e0e\u70b9C\u7684\u6a2a\u5750\u6807\u4e4b\u5dee\u7684\u6bd4\uff0c\u4e5f\u7b49\u4e8eB,C\u4e24\u70b9\u7684\u7eb5\u5750\u6807\u4e0e\u70b9C\u7684\u7eb5\u5750\u6807\u4e4b\u5dee\u7684\u6bd4\u3002\u5373\uff083/2+1/2)/(2+1/2)=4:5\u3002[\u6216\u8005\uff08\u221a3-8-5\u221a3):(-2-8-5\u221a3\uff09=\uff088+4\u221a3\uff09\uff1a(10+5\u221a3\uff09=4\uff1a5]\u3002
\uff08\u7531\u4e8e\u56fe\u50cf\u7684\u5bf9\u79f0\u6027\uff0c\u6839\u636e\u53e6\u5916\u4e00\u79cd\u60c5\u51b5\u5f97\u51fa\u7684\u7ed3\u679c\u4f1a\u548c\u4e0a\u9762\u76f8\u540c\u3002\uff09

Q(x,y)
PQ\u4e2d\u70b9M(x-4/2\uff0cy+4/2)
M\u5230x\uff0d2y\uff0d7=0\u8ddd\u79bb
d=|x-4/2-y-4-7|/\u6839\u53f7(1+4)=|x-2y-19|/2\u6839\u53f75
\u8bbek=x-2y
x=k+2y
(k2+4ky+4y2)/64+y2/9=1
25/144y2+1/16ky+k2/64-1=0
\u25b3=1/256k2-4*25/144*(k2/64-1)
=-1/144k2+25/36>=0
-10<=k<=10
\u8ddd\u79bbd=|k-19|/2\u6839\u53f75
\u6240\u4ee5\u5f53K=10\u65f6 d\u6700\u5c0f\u3002
\u6700\u5c0fd=9/2\u6839\u53f75=9\u6839\u53f75/10

（一）圆锥曲线的统一方程：ρ＝ep／﹙1－ecosθ﹚，这里，e为离心率；p为“焦参数”，p等于“过焦点而垂直于对称轴的直线，与曲线相交的线段——通径——的一半的长度”。换言之，p就是焦点到准线的距离。对于抛物线，p是明摆着的。对于椭圆与双曲线，p=b²／a。离心率e＜1，椭圆；e＝1，抛物线；e＞1，双曲线。
（二）画图法：不要以为用“一组焦点与准线”只可以画出双曲线的一支，和椭圆的半拉。用相应的焦点与准线【可以完全画出双曲线的两支，和椭圆的全部完整的图像】。
（三）按说，你的题目不可能确定椭圆的方程。因为少一个条件p。
（四）但是，它没有让求出方程，只是让求出k。所以你就不必刻意找方程了。
（五）此题目里的e＝√3／2，是多余的条件。虚晃一枪。
（六）过极点的直线方程为：ρ＝α。此处，α是已知的定值，就是你说的tanα＝k,
k＞0, 0＜α＜π/2. （有时候偶尔用得到α＝arc tan k)。
你有了上头的知识，就可以了。下面我们把此题目做一下。
（依题意，椭圆在左，准线在右。）
将直线的一半（即射线）ρ＝α与椭圆 ρ＝ep／﹙1－ecosθ﹚联立，即将变量极角θ让它固定为α得到：ρ′＝ep／﹙1－ecosα﹚；同理，将另一条射线ρ＝α＋π也于椭圆联立，得到：
ρ″＝ep／﹙1－ecos﹙α＋π﹚﹚。∵ρ″＝3ρ′，所以有
3ep／﹙1＋cosα﹚＝ep／﹙1－cosα﹚,
整理此式，得到 cosα＝½,∴α＝π/3,∴k＝tan﹙π/3﹚＝√3.是答。 你看懂了吗？

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