数列求和1*2+2*2^2+3*2^3+..+n*2^(n-1) 1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 的...
\u6570\u5217\u6c42\u548c1^2+2^2+3^2+\u2026+\uff08n-1\uff09^2(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
1^2=1
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
.................................
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3n+1
\u7d2f\u52a0\u5f97\uff1a
(n+1)^3=2Sn+3(1+2+....+n)+n
Sn=n(n+1)(2n+1)/6
\u539f\u5f0f=S(n-1)=n(n-1)(2n-1)/6
1^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 \u7684\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f\u662fn*(n+1)*(2n+1)/6\u3002
\u89e3\uff1a1\u3001\u56e0\u4e3a\u5f53n=1\u65f6\uff0c1^2=1=1*(1+1)*(2x1+1)/6=1\uff0c
2\u3001\u5f53n=2\u65f6\uff0c1^2+2^2=5=2*(2+1)*(2x2+1)/6=5\uff0c
3\u3001\u8bben=k\uff08k\u22652\uff0ck\u4e3a\u6b63\u6570\uff09\u65f6\uff0c1^2+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6\u6210\u7acb\u3002
\u90a3\u4e48\u5f53n=k+1\u65f6\uff0c
1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=k*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2\uff0c
\u800ck*(k+1)*(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)*(k*(2k+1)/6+(K+1))
=(K+1)*(k*(2k+1)+6(k+1))/6
=1/6*(k+1)*(2k^2+7k+6)
=1/6*(k+1)*(2K+3)*(K+2)
=(k+1)*((K+1)+1)*(2(K+1)+1)/6\uff0c
\u53731^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=(k+1)*((K+1)+1)*(2(K+1)+1)/6\u4e5f\u6ee1\u662f\u516c\u5f0f\u3002
\u6240\u4ee5\u6839\u636e\u6570\u5b66\u5f52\u7eb3\u6cd5\uff0c\u5bf9\u4e00\u5207\u81ea\u7136\u6570n\u67091^2+2^2+3^2+4^2+....+n^2 \u7684\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f\u662fn*(n+1)*(2n+1)/6\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6570\u5217\u6c42\u548c\u7684\u65b9\u6cd5
1\u3001\u516c\u5f0f\u6cd5
\uff081\uff09\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u6c42\u548c\u516c\u5f0f\uff1aSn=1/2*n\uff08a1+an\uff09=d/2*n+\uff08a1-d/2\uff09*n
\uff082\uff09\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u6c42\u548c\u516c\u5f0f\uff1aSn=na1\uff08q=1\uff09\u3001Sn=a1*\uff081-q^n\uff09/\uff081-q\uff09\uff08q\u22601\uff09
\uff083\uff09\u81ea\u7136\u6570\u6c42\u548c\u516c\u5f0f\uff1a\uff081+2+3+...+n\uff09=n(n+1)/2
2\u3001\u9519\u4f4d\u76f8\u51cf\u6cd5
3\u3001\u5012\u5e8f\u76f8\u52a0\u6cd5
4\u3001\u88c2\u9879\u76f8\u6d88\u6cd5
\uff081\uff091/\uff08n*\uff08n+1\uff09\uff09=1/n-1/\uff08n+1\uff09
\uff082\uff091/\uff08\uff082n-1\uff09*\uff082n+1\uff09\uff09=1/2\uff081/\uff082n-1\uff09-1/\uff082n+1\uff09\uff09
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u6570\u5217\u6c42\u548c
an = n²
= 1² + 2² + 3² + .+ n²
=1^2+2^2+.+n^2 (n+1)^3-n^3
= 3n^2+3n+1 n^3-(n-1)^3
= 3(n-1)^2+3(n-1)+1 ... .. ... 2^3-1^3
= 3*1^2+3*1+1
=1^2+2^2+……+n^2
=(n^3+3n^2+3n)/3-n(n+1)/2-n/3
=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料
数列求和公式：
式一为等差数列求和公式，式二、三为等比数列求和公式。其中d为等差数列的公差，q为等比数列的公比，Sn为数列前n项和。
性质：
①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
这是典型的等差数列与等比数列分别相乘产生的数列。
其方法当然可以如同chzhn所说的求导，但是对于刚学数列的高二学生或者导数只接触了一些皮毛的高三学生来说，稍稍有些生疏。
这里提供一个“乘比相减法”.
另外，你的题目错了吧，前面指数和系数是相同的，最后怎么差1呢？应该是
n*2^n吧？？？
S=1*2 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... + n*2^n
2S= 1*2^2 + 2*2^3 + ... + (n-1)*2^n + n*2^(n+1)
错位想减：
S-2S= 2 + 2^2 +2^3 + ... +2^n -n*2^(n+1)
-S=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)
S=(n-1)*2^(n+1)+2
设f(x)=x+x^2+x^3+x^n = (x^(n+1)-1)/(x-1)
对f(x)求导得f'(x)=1+2x+3x^2+4x^3+……+nx^(n-1)
将x=2代入即可
绛旓細璁綯=1*2+3*2^2+5*2^3+...+(2n-1)*2^n 鈶 2T= 1*2^2+3*2^3+...+(2n-3)*2^n+(2n-1)*2^n+1 鈶 鈶-鈶″緱锛-T=2+(3-1)*2^2+(5-3)2^3+...(2n-1-2n+3)*2^n-(2n-1)*2^(n+1)=2+2^3+2^4+2^5+...+2^n-(2n-1)*2^(n+1)=2+(...
绛旓細銆愬吀渚嬨戯細姹傚拰Sn=1+3x+5x2+7x3+鈥+(2n-1)路xn-1锛坸鈮0锛宯鈭圢*锛夊綋x=1鏃讹紝Sn=1+3+5+鈥+(2n-1)=n2 褰搙鈮1鏃讹紝Sn=1+3x+5x2+7x3+鈥+(2n-1)xn-1 鈭磝Sn=x+3x2+5x3+7x4+鈥+(2n-1)xn 涓ゅ紡鐩稿噺寰(1-x)Sn=1+2(x+x2+x3+x4+鈥+xn-1)-(2n-1)xn ...
绛旓細2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 鎶婁笂闈涓紡瀛愮浉鍔犲緱锛(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+...+n] +n 鎵浠= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)
绛旓細1銆佸鏁伴」姹傚拰 2銆佸伓鏁伴」姹傚拰 3銆佸钩鏂规眰鍜 鍦ㄦ暟瀛︿笂锛屾枑娉㈤偅濂鏁板垪浠ュ涓嬭浠ラ掓帹鐨勬柟娉曞畾涔夛細F(1)=1锛孎(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)锛坣>=3锛宯鈭圢*锛夊湪鐜颁唬鐗╃悊銆佸噯鏅朵綋缁撴瀯銆佸寲瀛︾瓑棰嗗煙锛屾枑娉㈢撼濂戞暟鍒楅兘鏈夌洿鎺ョ殑搴旂敤銆備负姝わ紝缇庡浗鏁板浼氫粠1963骞磋捣鍑虹増浜嗕互銆婃枑娉㈢撼濂戞暟鍒楀鍒娿嬩负鍚嶇殑涓...
绛旓細璁維n=1*2^2+2*2^3+3^2^4+...+n*2^(n+1);---(1)Sn/2=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n;---(2);(1)-(2):Sn-Sn/2=-2^1-2^2-2^3-...-2^n+n*2^(n+1);Sn/2=n*2^(n+1)-2*[1+2^1+2^2+...+2^(n-1)]Sn=n*2^(n+2)-4*[2^n-1]=n...
绛旓細绛夋瘮鏁板垪姹傚拰鍏紡鏄眰绛夋瘮鏁板垪涔嬪拰鐨勫叕寮忋傚鏋滀竴涓暟鍒椾粠绗2椤硅捣锛屾瘡涓椤逛笌瀹冪殑鍓嶄竴椤圭殑姣旂瓑浜庡悓涓涓父鏁帮紝杩欎釜鏁板垪灏卞彨鍋氱瓑姣旀暟鍒楋紝杩欎釜甯告暟鍙仛绛夋瘮鏁板垪鐨勫叕姣旓紝鍏紡鍙互蹇熺殑璁＄畻鍑哄嚭璇ユ暟鍒楃殑鍜屻備竴涓暟鍒楋紝濡傛灉浠绘剰鐨勫悗涓椤逛笌鍓嶄竴椤圭殑姣斿兼槸鍚屼竴涓父鏁(杩欎釜甯告暟閫氬父鐢╭鏉ヨ〃绀)涓旀暟鍒椾腑浠讳綍椤归兘涓...
绛旓細1脳1锛2脳2锛3脳3锛嬧︹︼紜n脳n=n(n锛1)(2n锛1)/6 鏉ュ巻鏄:鐢ㄥ畬鍏ㄧ珛鏂瑰叕寮忓拰绛夊樊鏁板垪姹傚拰鍏紡鎺ㄥ 鍥犱负:(n锛1)^3=n^3+3n^2+3n+1 鍦ㄨ繖涓瓑寮忎腑,璁╀緷娆″彇浠1寮濮嬬殑n涓繛缁殑鑷劧鏁,灏卞緱鍒皀涓浉瀵瑰簲鐨勭瓑寮,2^3=1^3+3脳1^2+3脳1+1 3^3=2^3+3脳2^2+3脳2+1 4^3=3^3...
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绛旓細瑙ｏ細浠鏁板垪an=n*(n+1)锛岄偅涔1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+...n*(n+1)鍗充负鏁板垪an鍓峮椤瑰拰Sn銆傚張鍥犱负an=n*(n+1)=n^2+n锛岄偅涔圫n=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+...n*(n+1)=1^2+1+2^2+2+3^2+3+...+(n-1)^2+(n-1)+n^2+n =(1^2+2^2+3^2+......
