非齐次线性方程组：A为m·n矩阵，证明Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)=r(A|b)=n 设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是r...
\u8bbeA\u4e3aM*N\u77e9\u9635,\u4e14\u975e\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4AX=b\u6709\u552f\u4e00\u89e3,\u4e3a\u4ec0\u4e48\u5219r(A)=n\u56e0\u4e3am\u662f\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u4e2a\u6570\uff0c\u800cn\u662f\u65b9\u7a0b\u7ec4\u4e2d\u672a\u77e5\u6570\u7684\u4e2a\u6570\uff0c\u8981\u6c42\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u552f\u4e00\u89e3\uff0c\u5219\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u5c31\u8981\u7b49\u4e8e\u8981\u6c42\u7684\u672a\u77e5\u6570\u4e2a\u6570\uff0c\u5982\u679cm>n\uff0cr\uff08A\uff09=m\uff0c\u4e0d\u5c31\u662f\u8d85\u5b9a\u65b9\u7a0b\u4e86\u5417\uff0c\u8fd8\u600e\u4e48\u6709\u552f\u4e00\u89e3\uff0c\u5982\u679cm<n\uff0cr\uff08A\uff09=n\uff0c\u4e0d\u5c31\u662f\u6709\u65e0\u6570\u89e3\u4e86\u5417
\u5145\u5206\u6761\u4ef6\u662f\u7cfb\u6570\u77e9\u9635A\u7684\u79e9\u7b49\u4e8e\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u7684\u79e9\uff0c\u5373rank(A)=rank(A\uff0cb)\uff08\u5426\u5219\u4e3a\u65e0\u89e3\uff09\uff0c\u5176\u4e2d\uff0crank(A)\u8868\u793aA\u7684\u79e9\uff0c\u8fd9\u4e5f\u662f\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u3002
\u975e\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4Ax=b\u7684\u6c42\u89e3\u6b65\u9aa4\uff1a
\uff081\uff09\u5bf9\u589e\u5e7f\u77e9\u9635B\u65bd\u884c\u521d\u7b49\u884c\u53d8\u6362\u5316\u4e3a\u884c\u9636\u68af\u5f62\u3002\u82e5R(A)<R(B)\uff0c\u5219\u65b9\u7a0b\u7ec4\u65e0\u89e3\u3002
\uff082\uff09\u82e5R(A)=R(B)\uff0c\u5219\u8fdb\u4e00\u6b65\u5c06B\u5316\u4e3a\u884c\u6700\u7b80\u5f62\u3002
\uff083\uff09\u8bbeR(A)=R(B)=r\uff1b\u628a\u884c\u6700\u7b80\u5f62\u4e2dr\u4e2a\u975e\u96f6\u884c\u7684\u975e0\u9996\u5143\u6240\u5bf9\u5e94\u7684\u672a\u77e5\u6570\u7528\u5176\u4f59n-r\u4e2a\u672a\u77e5\u6570\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u6027\u8d28
1.\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u4e24\u4e2a\u89e3\u7684\u548c\u4ecd\u662f\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u4e00\u7ec4\u89e3\u3002
2.\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u89e3\u7684k\u500d\u4ecd\u7136\u662f\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u89e3\u3002
3.\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u79e9r(A)=n\uff0c\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u552f\u4e00\u96f6\u89e3\u3002
\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u79e9r(A)<n,\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u65e0\u6570\u591a\u89e3\u3002
4. n\u5143\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u975e\u96f6\u89e3\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662f\u5176\u7cfb\u6570\u884c\u5217\u5f0f\u4e3a\u96f6\u3002\u7b49\u4ef7\u5730\uff0c\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u552f\u4e00\u7684\u96f6\u89e3\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662f\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u4e0d\u4e3a\u96f6\u3002\uff08\u514b\u83b1\u59c6\u6cd5\u5219\uff09
证明过程如下：
证明：设Ax=b有解
即b可以由A的列向量组线性表出
b为A的列向量组的线性组合
再由解唯一
Ax=b的导出组Ax=0只有零解
得知A列满秩
若有r(A)=n，则方程组有解且唯一
若r(A)=n-1，则方程组无解
若有r(A)=n，则方程组有解且唯一
若r(A)=n+1，则方程组无解
若有r(A)=m，则方程组有解
若还有m=n，则解唯一
若m＜n，则有无穷多解
若r(A)=m-1，则方程绀无解
扩展资料
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于
，即可写出含n-r个参数的通解。
证明：当r(A)=m时
则A是行满秩的
A多添任一列向量组成的增光矩阵还是行满秩的
即有r(A ei)=m
其中ei是单位阵的第i列
于是方程Ax＝ei有解bi
令X＝【b1 b2 ... bm】
则AX＝E
若AX=E有解
则m＝r(Em)=r(AX)<=r(A)<=m
于是r(A)=r(A|b)=n
扩展资料
解法：
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于
，即可写出含n-r个参数的通解。
定理中有解的充分必要条件是r(A,b)=r(A)。因为r(A)=m=A的行数，而(A,b)只有m行，秩不可能大于m，所以r(A,b)=m=r(A)，从而方程组Ax=b有解。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
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