高中数学解三角形
\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u2014\u2014\u89e3\u4e09\u89d2\u5f62\u5728\u89e3\u4e09\u89d2\u5f62\u95ee\u9898\u65f6\uff0c\u987b\u638c\u63e1\u7684\u4e09\u89d2\u5173\u7cfb\u5f0f
\u5728\u25b3ABC \u4e2d\uff0c\u4ee5\u4e0b\u7684\u4e09\u89d2\u5173\u7cfb\u5f0f\uff0c\u5728\u89e3\u7b54\u6709\u5173\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u95ee\u9898\u65f6\uff0c\u7ecf\u5e38\u7528\u5230\uff0c\u8981\u8bb0\u51c6\u3001\u8bb0\u719f\u3001\u7075\u6d3b\u5730\u52a0\u4ee5\u8fd0\u7528\u3002
4\uff0e\u89e3\u659c\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u95ee\u9898\uff0c\u901a\u5e38\u8981\u6839\u636e\u9898\u610f\uff0c\u4ece\u5b9e\u9645\u95ee\u9898\u4e2d\u62bd\u8c61\u51fa\u4e00\u4e2a\u6216\u51e0\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u7136\u540e\u901a\u8fc7\u89e3\u8fd9\u4e9b\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u5f97\u51fa\u6240\u8981\u6c42\u7684\u91cf\uff0c\u4ece\u800c\u5f97\u5230\u5b9e\u9645\u95ee\u9898\u7684\u89e3\u3002\u5176\u4e2d\u5efa\u7acb\u6570\u5b66\u6a21\u578b\u7684\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\uff0c\u4e5f\u662f\u6211\u4eec\u5b66\u4e60\u6570\u5b66\u7684\u5f52\u5bbf\uff0c\u7528\u6570\u5b66\u624b\u6bb5\u6765\u89e3\u51b3\u5b9e\u9645\u95ee\u9898\uff0c\u662f\u5b66\u4e60\u6570\u5b66\u7684\u6839\u672c\u76ee\u7684\u6240\u5728\u3002
\u89e3\u9898\u65f6\u5e94\u6839\u636e\u5df2\u77e5\u4e0e\u672a\u77e5\uff0c\u5408\u7406\u9009\u62e9\u6b63\u3001\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\u4f7f\u7528\uff0c\u4f7f\u89e3\u9898\u8fc7\u7a0b\u7b80\u6d01\uff0c\u8981\u8fbe\u5230\u7b97\u6cd5\u7b80\u7ec3\uff0c\u7b97\u5f0f\u5de5\u6574\u3001\u8ba1\u7b97\u51c6\u786e\u3002
\uff081\uff09\uff0e\u89e3\u659c\u4e09\u89d2\u5f62\u5e94\u7528\u9898\u7684\u6b65\u9aa4
\u2460\u51c6\u786e\u7406\u89e3\u9898\u610f\uff0c\u5206\u6e05\u5df2\u77e5\u548c\u672a\u77e5\uff0c\u51c6\u786e\u7406\u89e3\u5e94\u7528\u9898\u4e2d\u6709\u5173\u540d\u8bcd\u3001\u672f\u8bed\uff0c\u5982\u4ef0\u89d2\u3001\u4fef\u89d2\u3001\u89c6\u89d2\u3001\u65b9\u5411\u89d2\u3001\u65b9\u4f4d\u89d2\u53ca\u5761\u5ea6\u3001\u7ecf\u7eac\u5ea6\u7b49\uff1b
\u2461\u6839\u636e\u9898\u610f\u753b\u51fa\u56fe\u5f62\uff1b
\u2462\u5c06\u8981\u6c42\u89e3\u7684\u95ee\u9898\u5f52\u7ed3\u5230\u4e00\u4e2a\u6216\u51e0\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\uff0c\u901a\u8fc7\u5408\u7406\u8fd0\u7528\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\u3001\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\u7b49\u6709\u5173\u77e5\u8bc6\u5efa\u7acb\u6570\u5b66\u6a21\u578b\uff0c\u7136\u540e\u6b63\u786e\u6c42\u89e3\uff0c\u6f14\u7b97\u8fc7\u7a0b\u8981\u7b97\u6cd5\u7b80\u7ec3\uff0c\u8ba1\u7b97\u51c6\u786e\uff0c\u6700\u540e\u4f5c\u7b54\u3002
\uff082\uff09\uff0e\u5b9e\u9645\u5e94\u7528\u95ee\u9898\u4e2d\u6709\u5173\u540d\u8bcd\u3001\u672f\u8bed
\u2460\u4ef0\u89d2\u548c\u4fef\u89d2\uff1a\u4e0e\u76ee\u6807\u89c6\u7ebf\u5728\u540c\u4e00\u94c5\u76f4\u5e73\u9762\u5185\u7684\u6c34\u5e73\u89c6\u7ebf\u548c\u76ee\u6807\u89c6\u7ebf\u7684\u5939\u89d2\uff0c\u76ee\u6807\u89c6\u7ebf\u5728\u6c34\u5e73\u89c6\u7ebf\u4e0a\u65b9\u65f6\u53eb\u4ef0\u89d2\uff0c\u76ee\u6807\u89c6\u7ebf\u5728\u6c34\u5e73\u89c6\u7ebf\u4e0b\u65b9\u65f6\u53eb\u4fef\u89d2\u3002
\u2461\u65b9\u5411\u89d2\uff1a\u4ece\u6307\u5b9a\u65b9\u5411\u7ebf\u5230\u76ee\u6807\u65b9\u5411\u7ebf\u7684\u6c34\u5e73\u89d2\u3002
\u2462\u65b9\u4f4d\u89d2\uff1a\u4ece\u6307\u5b9a\u65b9\u5411\u7ebf\u987a\u65f6\u9488\u5230\u76ee\u6807\u65b9\u5411\u7ebf\u7684\u6c34\u5e73\u89d2\u3002
\u2463\u5761\u5ea6\uff1a\u5761\u9762\u4e0e\u6c34\u5e73\u9762\u6240\u6210\u7684\u4e8c\u9762\u89d2\u7684\u5ea6\u6570\u3002
\uff083\uff09\uff0e\u987b\u719f\u6089\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\u7684\u6709\u5173\u516c\u5f0f
\u89e3\u659c\u4e09\u89d2\u5f62\u4e3b\u8981\u5e94\u7528\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\u548c\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\uff0c\u6709\u65f6\u4e5f\u4f1a\u7528\u5230\u5468\u957f\u516c\u5f0f\u548c\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\uff0c\u6bd4\u5982\uff1a
\uff08 \u4e3a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5468\u957f\uff09
\uff08 \u8868\u793a \u8fb9\u4e0a\u7684\u9ad8\uff09
\uff08\u53ef\u7528\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\u63a8\u5f97\uff09
\uff08 \u4e3a\u5185\u5207\u5706\u534a\u5f84\uff09
\u8fd8\u987b\u719f\u6089\u4e24\u89d2\u548c\u5dee\u5f97\u6b63\u5f26\u3001\u4f59\u5f26\u3001\u6b63\u5207\u53ca\u4e8c\u500d\u89d2\u7684\u6b63\u5f26\u3001\u4f59\u5f26\u3001\u6b63\u5207\u516c\u5f0f\u3002
\u4e94\u3001\u6ce8\u610f\u70b9
1\uff0e\u5728\u6211\u4eec\u7684\u8bfe\u672c\u4e0a\uff0c\u63a8\u5bfc\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\u662f\u4ece\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u51fa\u53d1\u5f97\u5230\u7684\uff0c\u8bf4\u660e\u5bf9\u4e8e\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\u4e5f\u662f\u6210\u7acb\u7684\uff0c\u6211\u4eec\u4e5f\u987b\u77e5\u9053\u63a8\u5bfc\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\u7684\u4f20\u7edf\u65b9\u6cd5\uff0c\u662f\u9996\u5148\u63a8\u51fa \uff0c\u7136\u540e\u5404\u5f0f\u5747\u9664\u4ee5 \uff0c\u5373\u5f97\u5230\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\u516c\u5f0f\u3002
\u8bfe\u672c\u4e0a\u662f\u5229\u7528\u5411\u91cf\u77e5\u8bc6\u63a8\u5bfc\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\u516c\u5f0f\u3002\u5b83\u662f\u5e73\u9762\u5411\u91cf\u77e5\u8bc6\u7684\u5177\u4f53\u5e94\u7528\u3002
2\uff0e\u6ce8\u610f\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\u7684\u53d8\u5f62\u5e94\u7528\u3002
\u6211\u4eec\u4e0d\u96be\u8bc1\u660e \uff0c\uff08\u5176\u4e2dR\u4e3a \u5916\u63a5\u5706\u534a\u5f84\uff09\u3002
\u8fd9\u6837\uff0c\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\u53ef\u6709\u5982\u4e0b\u4e00\u4e9b\u53d8\u5f62\uff1a
\uff0c \uff0c \uff1b
\uff0c \uff0c \uff1b
\uff1b
\uff0c \uff0c \uff1b
\uff0c \uff0c \u3002
\u4ee5\u4e0a\u8fd9\u4e9b\u5173\u7cfb\u5f0f\uff0c\u53ef\u6839\u636e\u95ee\u9898\u7684\u6761\u4ef6\u548c\u6c42\u5f97\u7ed3\u8bba\u9009\u62e9\u52a0\u4ee5\u5e94\u7528\u3002
3\uff0e\u5173\u4e8e\u5df2\u77e5\u4e24\u8fb9\u548c\u5176\u4e2d\u4e00\u8fb9\u7684\u5bf9\u89d2\uff0c\u89e3\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u8ba8\u8bba
\u5df2\u77e5\u4e24\u8fb9\u548c\u5176\u4e2d\u4e00\u8fb9\u7684\u5bf9\u89d2\uff0c\u4e0d\u80fd\u552f\u4e00\u786e\u5b9a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5f62\u72b6\uff0c\u89e3\u8fd9\u7c7b\u4e09\u89d2\u5f62\u95ee\u9898\u5c06\u51fa\u73b0\u65e0\u89e3\u3001\u4e00\u89e3\u548c\u4e24\u89e3\u7684\u60c5\u51b5\uff0c\u5e94\u5206\u60c5\u51b5\u4e88\u4ee5\u8ba8\u8bba\uff0c\u56fe1\u4e0e\u56fe2\u5373\u662f\u8868\u793a\u4e86\u5728 \u4e2d\uff0c\u5df2\u77e5 \u3001 \u548cA\u65f6\u89e3\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5404\u79cd\u60c5\u51b5
\u5f53A\u4e3a\u9510\u89d2\u65f6\uff0c
\u5f53A\u4e3a\u76f4\u89d2\u6216\u949d\u89d2\u65f6\uff0c
4\uff0e\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\u7684\u6bcf\u4e00\u4e2a\u7b49\u5f0f\u4e2d\u5747\u542b\u6709\u56db\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u91cf\uff0c\u5b83\u4eec\u5206\u522b\u662f\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u8fb9\u548c\u4e00\u4e2a\u89d2\uff0c\u77e5\u9053\u5176\u4e2d\u7684\u4e09\u4e2a\u91cf\uff0c\u4fbf\u53ef\u6c42\u5f97\u7b2c\u56db\u4e2a\u91cf\uff0c\u5f53\u5df2\u77e5\u4e09\u8fb9\uff0c\u53ef\u4ee5\u6c42\u89d2\uff0c\u6b64\u65f6\u5229\u7528\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\u5f97\u53e6\u4e00\u79cd\u5f62\u5f0f\u3002
解：我们用数形结合的办法解决这一问题。
作45°的∠PBQ，最好把BP画成水平线。在BQ上取一点A₁，使BA₁=2，以A₁为圆心，2为
半径画弧，此弧与BP有两个交点B和C₁，只有A₁BC₁能钩成一个等腰直角三角形，此时BC₁=2√2这是x的最大值；再在BQ上取A₂，使BA₂=2√2，再以A₂为圆心，2为半径作弧，
此弧与BP相切于C₂，△A₂BC₂也是等腰直角三角形，BC₂=2是x的最小值。故2<x<2√2
是使△ABC 有两解的x的取值范围。
2.三角形ABC中 A等于60度 BC等于3 求三角形ABC周长
解：3/sin60°=3/(√3/2)=6/√3=2√3=2R，故外接圆半径R=√3。
故△ABC的周长L=3+2R[sinA+sin(120°-A)]=3+2(√3)[sinA+(√3/2)cosA+(1/2)sinA]
=3+3(√3)sinA+3cosA=3+6[(√3/2)sinA+(1/2)cosA]=3+6[sinAcos(π/6)+cosAsin(π/6)]
=3+6sin(A+π/6)，由于0<A<2π/3，故1/2<sin(A+π/6)<1，于是得6<L<9.
3.若钝角三角形三内角度数成等差数列，且最大边比最小边等于m，m取值？
解：设B=A+d，C=A+2d，于是A+B+C=3A+3d=180°，故B=A+d=60°=(A+C)/2，∴A+C=120°；
c最大，a最小；m=c/a=sinC/sinA=sin(120°-A)/sinA=(sin120°cosA-cos120°sinA)/sinA
=(√3/2)cotA+(1/2)=(1/2)[(√3)/tanA+1]；由于0°<A<60°，故0<tanA<√3；故1≦m<+∞.
4.三角形三内角A、B、C对边分别为a、b、c、已知A-C=90°， a+b=(√2)b ，求C=？
解：∵a+b=(√2)b，∴有sinA+sinB=(√2)sinB，即有sinB=sinA/(√2-1)=(√2+1)sinA......(1)
又A-C=90°，故C=A-90°，于是B=180°-(A+C)=180°-(A+A-90°)=270°-2A；
故sinB=sin(270°-2A)=-cos2A=-(1-2sin²A)=2sin²A-1..........(2)
由(1)(2)得2sin²A-1=(√2+1)sinA；即有2sin²A-(√2+1)sinA-1=0，
∴sinA={√2+1±√[(√2+1)²+8]}/4=[√2+1±√(11+2√2)]/4=[√2+1±√(3+√2)²]/4=[√2+1±(3+√2)]/4
=-1/2或1+√2/2(舍去)，sinA=-1/2....???原题可能有错！
5.在三角形ABC中 b=2a ，B=A+60°， 求A等于？
解：由b=2a，得sinB=2sinA，将B=A+60°代入得sin(A+60°)=2sinA，展开得：
(1/2)sinA+(√3/2)cosA=2sinA，(√3/2)cosA=(3/2)sinA，故得tanA=√3/3，∴A=30°。
第五题：是一个直角三角形，A=30，C=60，
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