密度函数和分布函数的关系是什么?
概率密度和分布函数的区别是概念不同、描述对象不同、求解方式不同。
1、概念不同:概率指事件随机发生的机率,对于均匀分布函数,概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度,它的值是非负的,可以很大也可以很小;分布函数是概率统计中重要的函数,正是通过它,可用数学分析的方法来研究随机变量。
分布函数是随机变量最重要的概率特征,分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律,并且决定随机变量的一切其他概率特征。
2、描述对象不同:概率密度只是针对连续性变量而言,而分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论,包括连续性和离散型。
3、求解方式不同:已知连续型随机变量的密度函数,可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数;当已知连续型随机变量的分布函数时,对其求导就可得到密度函数。
对离散型随机变量而言,如果知道其概率分布(分布列),也可求出其分布函数;当然,当知道其分布函数时也可求出概率分布。
分布函数的性质:
1、非负有界性 0≤F(X)≤1。
2、单调不减性。
证明:即对任意的X1<X2时,有F(X1)<=F(X2),这是因为当X1<X2时,P{x1<X<x2}=P{X<=x2}-P{X<=x1}>=0,即:
P{x1<X<x2}=F(x2)-F(x1)>=0。从而证明F(x1)<=F(x2)。
3、右连续性 F(x+0)=F(x)。
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