微分方程求特解 该微分方程的特解怎么求？
\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u7279\u89e3\u600e\u4e48\u6c42\u4e8c\u6b21\u975e\u9f50\u6b21\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u822c\u89e3\u6cd5
\u4e00\u822c\u5f0f\u662f\u8fd9\u6837\u7684ay''+by'+cy=f(x)
\u7b2c\u4e00\u6b65\uff1a\u6c42\u7279\u5f81\u6839
\u4ee4ar²+br+c=0\uff0c\u89e3\u5f97r1\u548cr2\u4e24\u4e2a\u503c\uff0c\uff08\u8fd9\u91cc\u53ef\u4ee5\u662f\u590d\u6570\uff0c\u4f8b\u5982(\u03b2i)²=-\u03b2²\uff09
\u7b2c\u4e8c\u6b65\uff1a\u901a\u89e3
1\u3001\u82e5r1\u2260r2\uff0c\u5219y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
2\u3001\u82e5r1=r2,\u5219y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
3\u3001\u82e5r1,2=\u03b1\u00b1\u03b2i,\u5219y=e^(\u03b1x)*(C1cos\u03b2x+C2sin\u03b2x)
\u7b2c\u4e09\u6b65\uff1a\u7279\u89e3
f(x)\u7684\u5f62\u5f0f\u662fe^(\u03bbx)*P(x)\u578b\uff0c\uff08\u6ce8\uff1aP\uff08x\uff09\u662f\u5173\u4e8ex\u7684\u591a\u9879\u5f0f\uff0c\u4e14\u03bb\u7ecf\u5e38\u4e3a0\uff09
\u5219y*=x^k*Q(x)*e^\uff08\u03bbx\uff09 (\u6ce8\uff1aQ\uff08x\uff09\u662f\u548cP\uff08x\uff09\u540c\u6837\u5f62\u5f0f\u7684\u591a\u9879\u5f0f\uff0c\u4f8b\u5982P\uff08x\uff09\u662fx²+2x\uff0c\u5219\u8bbeQ\uff08x\uff09\u4e3aax²+bx+c\uff0cabc\u90fd\u662f\u5f85\u5b9a\u7cfb\u6570)
1\u3001\u82e5\u03bb\u4e0d\u662f\u7279\u5f81\u6839 k=0 y*=Q(x)*e^\uff08\u03bbx\uff09
2\u3001\u82e5\u03bb\u662f\u5355\u6839 k=1 y*=x*Q(x)*e^\uff08\u03bbx\uff09
3\u3001\u82e5\u03bb\u662f\u4e8c\u91cd\u6839 k=2 y*=x²*Q(x)*e^\uff08\u03bbx\uff09\uff08\u6ce8\uff1a\u4e8c\u91cd\u6839\u5c31\u662f\u4e0a\u9762\u89e3\u51far1=r2=\u03bb\uff09
f(x)\u7684\u5f62\u5f0f\u662fe^(\u03bbx)*P(x)cos\u03b2x\u6216e^(\u03bbx)*P(x)sin\u03b2x
1\u3001\u82e5\u03b1+\u03b2i\u4e0d\u662f\u7279\u5f81\u6839\uff0cy*=e^\u03bbx*Q(x)(Acos\u03b2x+Bsin\u03b2x)
2\u3001\u82e5\u03b1+\u03b2i\u662f\u7279\u5f81\u6839\uff0cy*=e^\u03bbx*x*Q(x)(Acos\u03b2x+Bsin\u03b2x)\uff08\u6ce8\uff1aAB\u90fd\u662f\u5f85\u5b9a\u7cfb\u6570\uff09
\u7b2c\u56db\u6b65\uff1a\u89e3\u7279\u89e3\u7cfb\u6570
\u628a\u7279\u89e3\u7684y*'',y*',y*\u90fd\u89e3\u51fa\u6765\u5e26\u56de\u539f\u65b9\u7a0b\uff0c\u5bf9\u7167\u7cfb\u6570\u89e3\u51fa\u5f85\u5b9a\u7cfb\u6570\u3002
\u6700\u540e\u7ed3\u679c\u5c31\u662fy=\u901a\u89e3+\u7279\u89e3\u3002
\u901a\u89e3\u7684\u7cfb\u6570C1\uff0cC2\u662f\u4efb\u610f\u5e38\u6570\u3002
\u62d3\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b
\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u6307\u63cf\u8ff0\u672a\u77e5\u51fd\u6570\u7684\u5bfc\u6570\u4e0e\u81ea\u53d8\u91cf\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\u7684\u65b9\u7a0b\u3002\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u662f\u4e00\u4e2a\u7b26\u5408\u65b9\u7a0b\u7684\u51fd\u6570\u3002\u800c\u5728\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u7684\u4ee3\u6570\u65b9\u7a0b\uff0c\u5176\u89e3\u662f\u5e38\u6570\u503c\u3002
\u9ad8\u6570\u5e38\u7528\u5fae\u5206\u8868
\u552f\u4e00\u6027
\u5b58\u5728\u5b9a\u4e00\u5fae \u5206\u7a0b\u53ca\u7ea6\u675f\u6761\u4ef6\uff0c\u5224\u65ad\u5176\u89e3\u662f\u5426\u5b58\u5728\u3002\u552f\u4e00\u6027\u662f\u6307\u5728\u4e0a\u8ff0\u6761\u4ef6\u4e0b\uff0c\u662f\u5426\u53ea\u5b58\u5728\u4e00\u4e2a\u89e3\u3002\u9488\u5bf9\u5e38\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u521d\u503c\u95ee\u9898\uff0c\u76ae\u4e9a\u8bfa\u5b58\u5728\u6027\u5b9a\u7406\u53ef\u5224\u522b\u89e3\u7684\u5b58\u5728\u6027\uff0c\u67ef\u897f-\u5229\u666e\u5e0c\u8328\u5b9a\u7406\u5219\u53ef\u4ee5\u5224\u522b\u89e3\u7684\u5b58\u5728\u6027\u53ca\u552f\u4e00\u6027\u3002\u9488\u5bf9\u504f\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\uff0c\u67ef\u897f-\u514b\u74e6\u5217\u592b\u65af\u57fa\u5b9a\u7406\u53ef\u4ee5\u5224\u522b\u89e3\u7684\u5b58\u5728\u6027\u53ca\u552f\u4e00\u6027\u3002 \u76ae\u4e9a\u8bfa\u5b58\u5728\u6027\u5b9a\u7406\u53ef\u4ee5\u5224\u65ad\u5e38\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u521d\u503c\u95ee\u9898\u7684\u89e3\u662f\u5426\u5b58\u5728\u3002
\u7528\u6362\u5143\u6cd5
解答如下图：
如图所示
先求通解，x=0代入求出常数。
齐次：
y'=2xy
y'/y=2x
lny=x²+C
y=e↑（x²+C）
变常数法：
y'=(2x+C')e↑（x²+C）
代入原方程：
(2x+C')e↑（x²+C）-2xe↑（x²+C）=xe↑（-x²）
C'e↑（x²+C）=xe↑（-x²）
C'e↑C=xe↑（-2x²）
e↑C=(-1/4)e↑（-2x²）+C2
C=ln[(-1/4)e↑（-2x²）+C2]
y=e↑（x²+C）
=y=e↑（x²+ln[(-1/4)e↑（-2x²）+C2]）
=[(-1/4)e↑（-2x²）+C2]e↑x²
=(-1/4)e↑（-x²）+C2e↑x²
x=0
y=(-1/4)+C2=1
C2=5/4
特解：
y=(-1/4)e↑（-x²）+（5/4）e↑x²
对应齐次微分方程y'-2xy=0的通解为y=C1e^x²,设原方程的特解为y*=C(x)e^x²y*'=[C'(x)+2xC(x)]e^x²y*'-2xy=C'(x)e^x²=xe^(-x²)C'(x)=xe^(-2x²)C(x)=-1/4*e^(-2x²)+C2y*=(-1/4*e^(-2x²)+C2)*e^x²=-1/4*e^(-x²)+C2e^x²所以原方程的通解为y=-1/4*e^(-x²)+Ce^x²由于x=0,y=1,代入解得C=5/4所以原方程的特解为y=-1/4*e^(-x²)+5/4*e^x²
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绛旓細1銆丄y''+By'+Cy=e^mx 鐗硅В y=C(x)e^mx 2銆丄y''+By'+Cy=a sinx + bcosx 鐗硅В y=msinx+nsinx 3銆丄y''+By'+Cy= mx+n 鐗硅В y=ax 浜岄樁甯哥郴鏁扮嚎鎬寰垎鏂圭▼鏄舰濡倅''+py'+qy=f(x)鐨勫井鍒嗘柟绋嬶紝鍏朵腑p锛宷鏄疄甯告暟銆傝嚜鐢遍」f(x)涓哄畾涔夊湪鍖洪棿I涓婄殑杩炵画鍑芥暟锛屽嵆y''+...
