怎样求出微分方程的特解？
微分方程的特解形式的求法如下：
1、变量离法
变量分离法是求解微分方程的常用方法之一。对于形如f(x,y)dx+g(y)dy=0的微分方程，我们可以尝试将f(x,y)和g(x,y)分别移到方程的两边，然后对两边同时积分，得到一个常数解。这样就完成了变量的分离，从而得到特解。
2、齐次方程法
齐次方程法适用于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的微分方程，其中M(,y)和N(x,y)是齐次函数。我们可以令y=ux，然后将原方程进行替换和整理，最后得到一个可分离变量的微分方程。通过变量分离法的求解步骤，我们可以得到特解。
3、一阶线性微分方程法
阶线性微分方程的一般形式为+P(x)y=)。我们可以使用分因子的方dy法来求解该方程。首先确定积分因子μ(x)，然后将方程两边同时乘以/(x)，再进行整理和积分，最后得到特解。
微分的介绍：
是一个变量在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。若函数y=f(x)在点x处有导数f'(x)存在，则y因x的变化量△x所引起的改变量是△y=f(x+△x)一f(x)=f'(x)·△x+o(△x)，式中o(△x)随△x趋于0。
因此△y的线性形式的主要部分dy=f'(x)△x是y的微分，可见，微分作为函数的一种运算，是与求导（函）数的运算一致的。微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。
设M为光滑流形，U为M的开集，𝓕U为U上光滑函数代数，p∈U，f∈𝓕U。则f在p的微分为对偶空间T*pM的元，定义为df(p)(v):=v(f)，v∈TpM。
绛旓細姹寰垎鏂圭▼ 2ydx=[(y^4)+x)]dy婊¤冻y(0)=1鐨勭壒瑙 瑙ｏ細2ydx-[(y^4)+x)]dy=0...鈶 P=2y锛∂P/∂y=2锛決=-[(y^4)+x]锛∂Q/∂x=-1锛涚敱浜嶩(y)=(1/p)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=3/(2y)鏄痽鐨勫嚱鏁帮紝鏁呮湁绉垎鍥犲瓙渭锛氱敤渭...
绛旓細閫氳В鍔燙锛孋浠ｈ〃甯告暟锛鐗硅В涓嶅姞C銆傞氳В婊¤冻杩欑褰㈠紡鐨勫嚱鏁伴兘鏄寰垎鏂圭▼鐨瑙ｏ紝渚嬪y'=0鐨勯氳В灏辨槸y=C锛孋鏄父鏁般傞氳В鏄竴涓嚱鏁般傝〃杈惧紡涓簓''+py'+qy=f(x)锛屽叾鐗硅Вy璁炬硶鍒嗕负:1銆佸鏋渇(x)=P(x锛 锛孭n (x锛変负n闃跺椤瑰紡锛2銆佸鏋渇(x)=P(x) e'a x锛孭n (x锛変负n闃跺椤瑰紡銆
绛旓細寰垎鏂圭▼鐗硅В鏂规硶锛氫竴鑸殑锛屽厛瑙ｅ嚭鍏堕氳В锛屽啀浠ｅ叆鍒濆鏉′欢鎴栬竟鐣屾潯浠讹紝纭畾绉垎甯告暟锛屽氨寰楀埌浜寰垎鏂圭▼鐨勭壒瑙銆傚井鍒嗘柟绋嬫槸浼撮殢鐫寰Н鍒嗗涓璧峰彂灞曡捣鏉ョ殑銆傚井绉垎瀛︾殑濂犲熀浜篘ewton鍜孡eibniz鐨勮憲浣滀腑閮藉鐞嗚繃涓庡井鍒嗘柟绋嬫湁鍏崇殑闂銆傚井鍒嗘柟绋嬬殑搴旂敤鍗佸垎骞挎硾锛屽彲浠ヨВ鍐宠澶氫笌瀵兼暟鏈夊叧鐨勯棶棰樸傜墿鐞嗕腑璁稿娑夊強鍙樺姏...
绛旓細1,鍏堟眰鐗瑰緛鏂圭▼鏍箁^2-8r+12=0寰梤1=2锛宺2=6鍒欏師鏂圭▼瀵瑰簲鍏舵鏂圭▼閫氳В涓簓*=C1e^2x+C2e^6x2,姹傜壒瑙锛岃娴嬫硶锛屽綋y涓哄父鏁-1/6鏃舵弧瓒崇瓑寮忔晠鍘熸柟绋嬮氳В涓 y=-1/6+C1e^2x+C2e^6x
绛旓細鍥炵瓟锛氳В:寰垎鏂圭▼涓篹^y(1+x²)dy-2x(1+e^y)dx=0, 鍖栦负e^ydy/(1+e^y)=2xdx/(1+x²), 涓よ竟绉垎鏈塴n|1+e^y|=ln(1+x²)+lnc (c涓轰换鎰忔瀹炴暟),鏂圭▼鐨勯氳В涓1+e^y=c+cx² 鈭祔|(x=1)=0 鈭存湁c=1 鈭寰垎鏂圭▼鐨勭壒瑙涓 e^y=x²
绛旓細寰垎鏂圭▼鐨勭壒寰佹柟绋 r^2 + 1 = 0, r = 卤i, 闈為綈娆￠」鏄 cosx锛 鍒 寰垎鏂圭▼鐨勭壒瑙搴旇涓 y = x(acosx + bsinx) = axcosx+bxsinx y' = acosx-axsinx+ bsinx+bxcosx = (a+bx)cosx+(-ax+b)sinx y'' = bcosx-(a+bx)sinx-asinx+(-ax+b)cosx = (-ax+2b)cosx-...
绛旓細3. 閫夋嫨閫傚綋鐨勬眰瑙ｆ柟娉曪細鏍规嵁寰垎鏂圭▼鐨绫诲瀷鍜屽垵濮嬫潯浠讹紝閫夋嫨鍚堥傜殑姹傝В鎶鏈備緥濡傦紝鍒嗙鍙橀噺娉曢傜敤浜庤兘灏嗗井鍒嗘柟绋嬪垎瑙ｄ负鐙珛鍙橀噺鐨勬柟绋嬶紱绉垎鍥犳暟娉曠敤浜庝竴闃跺井鍒嗘柟绋嬶紱绉垎鍙樻崲娉曞垯鐢ㄤ簬浜岄樁寰垎鏂圭▼銆4. 姹傝В鐗硅В锛氬埄鐢ㄩ夊畾鐨勬柟娉姹傝В寰垎鏂圭▼锛屽緱鍒扮壒瑙ｇ殑琛ㄨ揪寮忋5. 楠岃瘉鐗硅В锛氭眰寰鐨勭壒瑙闇瑕佹弧瓒冲井鍒...
绛旓細杩欎釜閫氳В鍏紡閫氬父鏄熀瑙ｇ殑绾挎х粍鍚堬紝鍏朵腑鍩鸿В鏄牴鎹井鍒嗘柟绋嬬殑鐗瑰緛鏂圭▼鏉ョ‘瀹氱殑銆2銆佹牴鎹壒瑙ｄ笌閫氳В鐨勫叧绯姹傝В鐗硅В 鏍规嵁闈為綈娆＄嚎鎬寰垎鏂圭▼鐨勭壒瑙涓庡搴旈綈娆＄嚎鎬у井鍒嗘柟绋嬬殑閫氳В鐨勫叧绯伙紝姹傚緱闈為綈娆＄嚎鎬у井鍒嗘柟绋嬬殑鐗硅В銆傝繖涓叧绯婚氬父鏄潪榻愭椤逛笌鐗硅В鐨勪箻绉姞涓婇綈娆￠」涓庨氳В鐨勪箻绉傞氳繃杩欎釜鍏崇郴锛屽彲浠ュ緱鍒伴潪...
绛旓細姹鐗硅В甯哥敤鐨勬柟娉曟槸鍙樼郴鏁版硶銆傚皢榻愭鏂圭▼閫氳В鐨勫父鏁帮紝涔熺湅鎴愯嚜鍙橀噺鐨勫嚱鏁帮紝姹傚锛屼唬鍏ュ師鏂圭▼锛瑙ｅ嚭杩欎釜鐢卞父鏁板彉鎴愮殑鍑芥暟锛屽氨鍙互寰楀埌鐗硅В銆
绛旓細鍒╃敤涓婇潰鐨勭粨璁猴紝鍙煡y=x-1涓巠=x²-1閮芥槸杩欎釜浜岄樁闈為綈娆″井鍒嗘柟绋嬫墍瀵瑰簲鐨勯綈娆鏂圭▼鐨勭壒瑙 鍥犱负杩欎袱涓壒瑙ｉ潪绾挎х浉鍏筹紝鎵浠ヨ繖涓綈娆℃柟绋嬬殑閫氳В鍙〃绀轰负 y=c1(x-1)+c2(x²-1)鎵浠ュ師寰垎鏂圭▼鐨閫氳В鍙〃绀轰负瀹冪殑榻愭鏂圭▼鐨勯氳В鍐嶅姞涓婂畠鐨勪竴涓壒瑙 y=c1(x-1)+c2(x²-1)+1...
