已知函数f(x)=sinx^2+acosx+5/8a-2/3,a∈R
f(x)= sinx^2+acosx+5/8a-3/2 ,a\u5c5e\u4e8eR \uff081\uff09\u5f53a=1\u65f6\uff0c\u6c42\u51fd\u6570f\uff08x\uff09\u7684\u6700\u5927\u503c \uff082\uff09\u5982\u679c\u5bf9\u4e8e\u533a\u95f4[0,\u03c0/2]\u4e0a\u7684\uff081\uff09\u4ee4t=cosx, t\u7684\u8303\u56f4\u662f[-1,1]\uff0cf(x)max=3/8;
(2) a\u7684\u8303\u56f4\u662fa>=1/2
\u7b54\uff1a
f(x)=sinx+acosx\u7ecf\u8fc7\u70b9\uff08-\u03c0/3\uff0c0\uff09
\u4ee3\u5165\u5f97\uff1a
f(-\u03c0/3)=sin(-\u03c0/3)+acos(-\u03c0/3)=0
\u6240\u4ee5\uff1a-\u221a3/2+a/2=0
\u89e3\u5f97\uff1aa=\u221a3
f(x)=sinx+\u221a3cosx
=2*[(1/2)sinx+(\u221a3/2)cosx]
=2sin(x+\u03c0/3)
g(x)=f²(x)-2
=4sin²(x+\u03c0/3)-2
=2*[1-cos(2x+2\u03c0/3)]-2
=-2cos(2x+2\u03c0/3)
g(x)\u6700\u5c0f\u6b63\u5468\u671fT=2\u03c0/2=\u03c0
\u5355\u8c03\u9012\u589e\u533a\u95f4\u6ee1\u8db3\uff1a
2k\u03c0<=2x+2\u03c0/3<=2k\u03c0+\u03c0
k\u03c0-\u03c0/3<=x<=k\u03c0+\u03c0/6
\u6240\u4ee5\uff1a\u5355\u8c03\u9012\u589e\u533a\u95f4\u4e3a[k\u03c0-\u03c0/3\uff0ck\u03c0+\u03c0/6]\uff0ck\u4e3a\u6574\u6570
（1）当a=1时 原式为 f(x)=sin方x+cosx-7/8
又 sin方=1-cos方x
所以 f(x)=1-cos方x+cosx-7/8
=-cos方x+cosx+1/8
=-(cosx-1/2)方+3/8
所以 函数fx的最大值为3/8
（2）
根据题意：
f(x)=sinx^2+acosx+5/8a-2/3<=1
a(cosx+5/8)<=1+3/2-sin^2x=3/2+cos^2x
因为x∈[0,π/2]
所以1>=cosx>=0
所以a<=(3/2+cos^2x）/(cosx+5/8)
下面就转成了最值问题：
令g（x）=(3/2+cos^2x）/(cosx+5/8)
为了保持恒成立，只需求出g（x）的最小值就可以了
再令cosx=t t∈[0,1]
则g(t)=(3/2+t^2）/(t+5/8)>0
t^2+3/2=gt+5g/8
t^2-gt+3/2-5g/8=0
关于t的判别式△>=0
所以△=2g^2+5g-12>=0
(2g-3)(g+4)>=0
因为g>0
所以g>=3/2
也就是说g(x)的最小值为3/2
所以a<=3/2
∴所求a的范围是a≤3/2
当a=1时 原式为 f(x)=sin方x+cosx-7/8
又 sin方=1-cos方x
所以 f(x)=1-cos方x+cosx-7/8
=-cos方x+cosx+1/8
=-(cosx-1/2)方+3/8
所以 函数fx的最大值为3/8
绛旓細f(x)=ʃ(sinx)^2dx =1/2*ʃ(1-cos2x)dx =1/2x-1/4ʃcos2x d2x =1/2x-1/4sin2x+C 寰堥珮鍏翠负鎮ㄨВ绛旓紝绁濅綘瀛︿範杩涙锛併愪腑瀛︾敓鏁扮悊鍖栥戝洟闃熶负鎮ㄧ瓟棰樸傛湁涓嶆槑鐧界殑鍙互杩介棶锛佸鏋滄偍璁ゅ彲鎴戠殑鍥炵瓟銆傝鐐瑰嚮涓嬮潰鐨勩愰変负婊℃剰鍥炵瓟銆戞寜閽傚鏋滄湁鍏朵粬闂璇峰彟鍙戞垨鐐瑰嚮鍚戞垜姹傚姪锛...
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绛旓細f(x)=(1-cos2x)/2 =1/2[1-1+(2x)²/2!-(2x)^4/4!+...]=1/2[(2x)²/2!-(2x)^4/4!+...]=x²-2^3x^4/4!+2^5x^6/6!-...
绛旓細绛旓細f(x)=(sinx)^2+鈭3sinxcosx+2(cosx)^2 =1+鈭3sinxcosx+(cosx)^2 =(鈭3/2)sin2x+(1/2)cos2x+1/2+1 =sin(2x+蟺/6)+3/2 鏈灏忔鍛ㄦ湡T=2蟺/2=蟺 -蟺/6
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绛旓細(1) f[f(x)]=f(x^2)=(x^2)^2=x^4 (2) f[g(x)]=f(sinx)=(sinx)^2.(3) g[f(x)]=g(x^2)=sin(x^2).(4) g[g(x)]=g(sinx)=sin(sinx).
绛旓細f'(x)=2sinx+2xcosx f'(0)=0
绛旓細绛旀濡備笅鍥炬墍绀猴細鍦ㄥ井绉垎涓紝涓涓鍑芥暟f 鐨勪笉瀹氱Н鍒嗭紝鎴栧師鍑芥暟锛屾垨鍙嶅鏁帮紝鏄竴涓鏁扮瓑浜巉 鐨鍑芥暟 F 锛屽嵆F 鈥 = f銆備笉瀹氱Н鍒嗗拰瀹氱Н鍒嗛棿鐨勫叧绯荤敱寰Н鍒嗗熀鏈畾鐞嗙‘瀹氥傚叾涓璅鏄痜鐨勪笉瀹氱Н鍒嗐
绛旓細[x-sin2x/2]/2=x/2-sin2x/4鐨勫鏁版槸sinx鐨勫钩鏂 (sinx)^2=(1-cos2x)/2 鍥犱负[x-sin2x/2]鈥=1-cos2x 鎵浠(sinx)^2鍙互鏄痆x-sin2x/2]/2=x/2-sin2x/4鐨勫鏁帮紙鍔犱换鎰忓父鏁颁笉褰卞搷锛
