一的平方加二的平方加三的平方一直加到一百的平方等于多少 1的平方加2的平方一直加到100的平方等于多少？
\u4ece1\u7684\u5e73\u65b9\u4e00\u76f4\u52a0\u5230100\u7684\u5e73\u65b9\u662f\u591a\u5c111^2=1*2-1
2^2=2*3-2
.....
.....
n^2=n(n+1)-n
\u7531\u4e8en(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
\u6240\u4ee51*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[\u524d\u540e\u6d88\u9879]
=[n(n+1)(n+2)]/3
\u6240\u4ee51^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
\u6216\u8005\u6570\u5b66\u5f52\u7eb3\u6cd5..\u6216\u8005
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
\u7b49\u5f0f\u5168\u76f8\u52a0
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6
\u5f53n=100\u65f6(1^2+2^2+...+100^2)=100(100+1)(2*100+1)/6
=100*101*201/6
=50*101*67
=338350
\u5229\u7528\u7acb\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
\u5404\u7b49\u5f0f\u5168\u76f8\u52a0
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
\u53e6\u5916\u4e00\u4e2a\u5f88\u597d\u73a9\u7684\u505a\u6cd5
\u60f3\u50cf\u4e00\u4e2a\u6709\u5706\u5708\u6784\u6210\u7684\u6b63\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c
\u7b2c\u4e00\u884c1\u4e2a\u5708\uff0c\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u4e3a1
\u7b2c\u4e8c\u884c2\u4e2a\u5708\uff0c\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u90fd\u4e3a2\uff0c
\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8
\u7b2cn\u884cn\u4e2a\u5708\uff0c\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u90fd\u4e3an\uff0c
\u6211\u4eec\u8981\u6c42\u7684\u5e73\u65b9\u548c\uff0c\u5c31\u8f6c\u5316\u4e3a\u4e86\u6c42\u8fd9\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u6240\u6709\u5708\u5185\u6570\u5b57\u7684\u548c\u3002\u8bbe\u8fd9\u4e2a\u6570\u4e3ar
\u4e0b\u9762\u5c06\u8fd9\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u987a\u65f6\u9488\u65cb\u8f6c60\u5ea6\uff0c\u5f97\u5230\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62
\u518d\u5c06\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u987a\u65f6\u9488\u65cb\u8f6c60\u5ea6\uff0c\u5f97\u5230\u7b2c\u4e09\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62
\u7136\u540e\uff0c\u5c06\u8fd9\u4e09\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u5bf9\u5e94\u7684\u5706\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u76f8\u52a0\uff0c
\u6211\u4eec\u795e\u5947\u7684\u53d1\u73b0\u6240\u6709\u5708\u5185\u7684\u6570\u5b57\u90fd\u53d8\u6210\u4e862n+1
\u800c\u603b\u5171\u6709\u51e0\u4e2a\u5708\u5462\uff0c\u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u7b80\u5355\u7684\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u6c42\u548c
1+2+\u2026\u2026+n=n(n+1)/2
\u4e8e\u662f3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
1²+2²+3²+....+n²
=1/6 n(n+1)(2n+1)
所以
取n=100，得
原式=1/6 ×100×（100+1）×（2×100+1）
=338350
这个公式要记住：1 + 2 + 3 + ...＋n = n(n+1)(2n+1)/6 所以1 + 2 + 3 + ...＋100=（100×101×201）/6=338350
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利用立方差公式
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
另外一个很好玩的做法
想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
这是你自问自答？？
绛旓細锛濓紙x锛1锛夛紙2x锛3锛夛紙x锛2锛/6 锛濓紙x锛1锛塠锛坸锛1锛夛紜1][2锛坸锛1锛+1]/6 涔熸弧瓒冲叕寮 4銆佺患涓婃墍杩,骞虫柟鍜屽叕寮1^2+2^2+3^2+鈥+n^2=n(n+1)(2n+1)/6鎴愮珛,寰楄瘉.璇佹硶浜岋紙鍒╃敤鎭掔瓑寮(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1锛夛細(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3...
绛旓細=n(n+1)(2n+1)/6
绛旓細鍚勭瓑寮忓叏鐩稿姞 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...
绛旓細杩欏叾瀹炲氨鏄竴閬撳簭鍒楅锛岀孩濮愬洖绛旂殑鏄纭殑锛宻=1^2+2^2+...+100^2 =100[100+1][2*100+1]/6 =338350 S锛坣)=n(n+1)(2n+1)/6
绛旓細鍒╃敤鍏紡锛1^2+2^2+3^3+...+n^2=[n(n+1)(2n+1)]/6 1+2+3+...+n=[n(n+1)]/2 灏卞彲浠ユ眰鍑烘潵浜嗐涓鐨勫钩鏂瑰姞浜岀殑骞虫柟鍔犱笁鐨勫钩鏂涓鐩村姞鍒颁簩闆1涓冪殑骞虫柟闄や互涓鍔浜屽姞涓変竴鐩村姞鍒2017 =[(2017x2018x4035)/6]/[2017x2018)/2]=4035x2/6 =1345銆
绛旓細瑙ｏ細鍏紡锛1²+2²+3²+...+n²=1/6 n(n+1)(2n+1)鎵浠 鍙杗=100锛屽緱 鍘熷紡=1/6 脳100脳锛100+1锛壝楋紙2脳100+1锛=338350
绛旓細鍥炵瓟锛氫唬鍏(n+1)(2n+1)/6
绛旓細鍥炵瓟锛氭湁鍏垎涔嬩竴n(n+1)(2n+1)
绛旓細鎵浠1鐨勫钩鏂+2鐨勫钩鏂+3鐨勫钩鏂+鈥+n鐨勫钩鏂=n(n+1)(2n+1)/6 绠浠 鏁板褰掔撼娉曪紙Mathematical Induction, MI锛夋槸涓绉嶆暟瀛﹁瘉鏄庢柟娉曪紝閫氬父琚敤浜庤瘉鏄庢煇涓粰瀹氬懡棰樺湪鏁翠釜锛堟垨鑰呭眬閮級鑷劧鏁拌寖鍥村唴鎴愮珛銆傞櫎浜嗚嚜鐒舵暟浠ュ锛屽箍涔変笂鐨勬暟瀛﹀綊绾虫硶涔熷彲浠ョ敤浜庤瘉鏄庝竴鑸壇鍩虹粨鏋勶紝渚嬪锛氶泦鍚堣涓殑鏍戙傝繖绉嶅箍涔夌殑鏁板...
绛旓細...19* 20^2= 20^3 - 20^2 鍘熷紡=2^3 - 2^2+3^3 - 3^2+ 4^3 - 4^2銆傘傘+20^3 - 20^2 =锛1+2^3 +3^3 + 4^3 銆傘傘+20^3 锛-锛1+2^2 +3^2 + 4^2 銆傘傘+20^2锛=銆愶紙20*21锛/2銆慯2-20*锛20+1锛*锛40+1锛/6 =210^2-2870 =41230 ...
