杨氏模量的定义和确定方法 杨氏模量与哪些因素有关，有没有计算公式？
\u6768\u6c0f\u6a21\u91cf\u7684\u8be6\u7ec6\u5b9a\u4e49\u6768\u6c0f\u6a21\u91cf\u662f\u63cf\u8ff0\u56fa\u4f53\u6750\u6599\u62b5\u6297\u5f62\u53d8\u80fd\u529b\u7684\u7269\u7406\u91cf\u3002\u5f53\u4e00\u6761\u957f\u5ea6\u4e3aL\u3001\u622a\u9762\u79ef\u4e3aS\u7684\u91d1\u5c5e\u4e1d\u5728\u529bF\u4f5c\u7528\u4e0b\u4f38\u957f\u0394L\u65f6\uff0cF/S\u53eb\u5e94\u529b\uff0c\u5176\u7269\u7406\u610f\u4e49\u662f\u91d1\u5c5e\u4e1d\u5355\u4f4d\u622a\u9762\u79ef\u6240\u53d7\u5230\u7684\u529b\uff1b\u0394L/L\u53eb\u5e94\u53d8\uff0c\u5176\u7269\u7406\u610f\u4e49\u662f\u91d1\u5c5e\u4e1d\u5355\u4f4d\u957f\u5ea6\u6240\u5bf9\u5e94\u7684\u4f38\u957f\u91cf\u3002\u5e94\u529b\u4e0e\u5e94\u53d8\u7684\u6bd4\u53eb\u5f39\u6027\u6a21\u91cf\u3002\u0394L\u662f\u5fae\u5c0f\u53d8\u5316\u91cf\u3002\u6768\u6c0f\u6a21\u91cf\uff08Young's modulus\uff09\uff0c\u53c8\u79f0\u62c9\u4f38\u6a21\u91cf\uff08tensile modulus\uff09\u662f\u5f39\u6027\u6a21\u91cf\uff08elastic modulus or modulus of elasticity\uff09\u4e2d\u6700\u5e38\u89c1\u7684\u4e00\u79cd\u3002\u6768\u6c0f\u6a21\u91cf\u8861\u91cf\u7684\u662f\u4e00\u4e2a\u5404\u5411\u540c\u6027\u5f39\u6027\u4f53\u7684\u521a\u5ea6\uff08stiffness\uff09\uff0c \u5b9a\u4e49\u4e3a\u5728\u80e1\u514b\u5b9a\u5f8b\u9002\u7528\u7684\u8303\u56f4\u5185\uff0c\u5355\u8f74\u5e94\u529b\u548c\u5355\u8f74\u5f62\u53d8\u4e4b\u95f4\u7684\u6bd4\u3002\u4e0e\u5f39\u6027\u6a21\u91cf\u662f\u5305\u542b\u5173\u7cfb\uff0c\u9664\u4e86\u6768\u6c0f\u6a21\u91cf\u4ee5\u5916\uff0c\u5f39\u6027\u6a21\u91cf\u8fd8\u5305\u62ec\u4f53\u79ef\u6a21\u91cf\uff08bulk modulus\uff09\u548c\u526a\u5207\u6a21\u91cf\uff08shear modulus\uff09\u7b49\u3002Young's modulus E, shear modulus G, bulk modulus K, \u548c Poisson's ratio \u03bd \u4e4b\u95f4\u53ef\u4ee5\u8fdb\u884c\u6362\u7b97\uff0c\u516c\u5f0f\u4e3a\uff1aE=2G(1+v)=3K(1-2v).
\u6d4b\u8bd5\u65b9\u6cd5
\u6768\u6c0f\u6a21\u91cf\u6d4b\u8bd5\u65b9\u6cd5\u4e00\u822c\u6709\u9759\u6001\u6cd5\u548c\u52a8\u6001\u6cd5\u3002
\u52a8\u6001\u6cd5\u6709\u8109\u51b2\u6fc0\u632f\u6cd5\u3001\u58f0\u9891\u5171\u632f\u6cd5\u3001\u58f0\u901f\u6cd5\u7b49\u3002
\u8109\u51b2\u6fc0\u632f\u6cd5\uff1a\u901a\u8fc7\u5408\u9002\u7684\u5916\u529b\u7ed9\u5b9a\u8bd5\u6837\u8109\u51b2\u6fc0\u632f\u4fe1\u53f7\uff0c\u5f53\u6fc0\u632f\u4fe1\u53f7\u4e2d\u7684\u67d0\u4e00\u9891\u7387\u4e0e\u8bd5\u6837\u7684\u56fa\u6709\u9891\u7387\u76f8\u4e00\u81f4\u65f6\uff0c\u4ea7\u751f\u5171\u632f\uff0c\u6b64\u65f6\u632f\u5e45\u6700\u5927\uff0c\u5ef6\u65f6\u6700\u957f\uff0c\u8fd9\u4e2a\u6ce2\u901a\u8fc7\u6d4b\u8bd5\u63a2\u9488\u6216\u6d4b\u91cf\u8bdd\u7b52\u7684\u4f20\u9012\u8f6c\u6362\u6210\u7535\u8baf\u53f7\u9001\u5165\u4eea\u5668\uff0c\u6d4b\u51fa\u8bd5\u6837\u7684\u56fa\u6709\u9891\u7387\uff0c\u7531\u516c\u5f0f \u8ba1\u7b97\u5f97\u51fa\u6768\u6c0f\u6a21\u91cfE\u3002
\u7279\u70b9\uff1a\u56fd\u9645\u901a\u7528\u7684\u4e00\u79cd\u5e38\u6e29\u6d4b\u8bd5\u65b9\u6cd5\uff1b \u4fe1\u53f7\u6fc0\u53d1\u3001\u63a5\u6536\u7ed3\u6784\u7b80\u5355\uff0c\u6d4b\u8bd5\u6d4b\u8bd5\u51c6\u786e\uff1b
\u51c6\u786e\u3001\u76f4\u89c2\u3002
\u58f0\u9891\u5171\u632f\u6cd5\uff1a\u6307\u7531\u58f0\u9891\u53d1\u751f\u5668\u53d1\u9001\u58f0\u9891\u7535\u4fe1\u53f7\uff0c\u7531\u6362\u80fd\u5668\u8f6c\u6362\u4e3a\u632f\u52a8\u4fe1\u53f7\u9a71\u52a8\u8bd5\u6837\uff0c\u518d\u7531\u6362\u80fd\u5668\u63a5\u6536\u5e76\u8f6c\u6362\u4e3a\u7535\u4fe1\u53f7\uff0c\u5206\u6790\u6b64\u4fe1\u53f7\u4e0e\u53d1\u751f\u5668\u4fe1\u53f7\u5728\u793a\u6ce2\u5668\u4e0a\u5f62\u6210\u7684\u56fe\u5f62\uff0c\u5f97\u51fa\u8bd5\u6837\u7684\u56fa\u6709\u9891\u7387f\uff0c\u7531\u516c\u5f0fE=C1\u00b7w\u00b7f\u5f97\u51fa\u8bd5\u6837\u7684\u6768\u6c0f\u6a21\u91cf\u3002
\u7279\u70b9\uff1a
--- \u58f0\u9891\u53d1\u751f\u5668\u3001\u653e\u5927\u5668\u7b49\u7ec4\u6210\u6fc0\u53d1\u5668\uff1b
--- \u6362\u80fd\u5668\u63a5\u6536\u4fe1\u53f7\uff0c\u793a\u6ce2\u5668\u663e\u793a\u4fe1\u53f7\uff1b
---\u674e\u8428\u5982\u56fe\u5f62\u5224\u65ad\u8bd5\u6837\u56fa\u6709\u9891\u7387\u3002
\u7f3a\u70b9\uff1a
--- \u6fc0\u53d1\u5668\u7ed3\u6784\u590d\u6742\uff0c\u5fc5\u8981\u65f6\u6fc0\u53d1\u5668\u9700\u8981\u4e0e\u8bd5\u6837\u8868\u9762\u8026\u5408\uff0c\u64cd\u4f5c\u4e0d\u65b9\u4fbf\uff1b
--- \u793a\u6ce2\u5668\u6570\u636e\u5904\u7406\u53ca\u663e\u793a\u5355\u4e00\uff1b
--- \u53ef\u80fd\u5b58\u5728\u591a\u4e2a\u674e\u8428\u5982\u56fe\u5f62\uff0c\u6613\u8bef\u5224\uff1b
--- \u8be5\u65b9\u6cd5\u4e0d\u65b9\u4fbf\u7528\u4e8e\u9ad8\u6e29\u6d4b\u8bd5\u3002
\u58f0\u901f\u6cd5\uff1a\u7531\u4fe1\u53f7\u53d1\u751f\u5668\u7ed9\u51fa\u8d85\u58f0\u4fe1\u53f7\uff0c\u6d4b\u8bd5\u4fe1\u53f7\u5728\u8bd5\u6837\u4e2d\u7684\u4f20\u64ad\u65f6\u95f4\uff0c\u5f97\u51fa\u8be5\u4fe1\u53f7\u5728\u8bd5\u6837\u4e2d\u7684\u4f20\u64ad\u901f\u5ea6\u03bd\uff0c\u7531\u516c\u5f0fE=\u03c1\u00b7\u03bd^2\u8ba1\u7b97\u5f97\u8bd5\u6837\u6768\u6c0f\u6a21\u91cf\u3002
\u7279\u70b9\uff1a
---\u8d85\u58f0\u6ce2\u53d1\u751f\u5668\u53ca\u6362\u80fd\u5668\u7ec4\u6210\u6fc0\u53d1\u7cfb\u7edf\uff1b
--- \u6362\u80fd\u5668\u8f6c\u6362\u4fe1\u53f7\uff1b
--- \u6d4b\u8bd5\u8d85\u58f0\u6ce2\u5728\u8bd5\u6837\u4e24\u5e73\u884c\u9762\u7684\u4f20\u64ad\u65f6\u95f4\u5dee\uff0c\u8ba1\u7b97\u58f0\u901f\u3002
\u7f3a\u70b9\uff1a
--- \u6fc0\u53d1\u5668\u7ed3\u6784\u590d\u6742\uff0c\u5fc5\u8981\u65f6\u6fc0\u53d1\u5668\u9700\u8981\u4e0e\u8bd5\u6837\u8868\u9762\u8026\u5408\uff0c\u64cd\u4f5c\u4e0d\u65b9\u4fbf\uff1b
--- \u65f6\u95f4\u5dee\u7684\u4fe1\u53f7\u5904\u7406\u70b9\u5bb9\u6613\u5f15\u5165\u8bef\u5dee\uff0c\u53ea\u80fd\u5f97\u51fa\u8fd1\u4f3c\u6768\u6c0f\u6a21\u91cf\uff1b
--- \u8be5\u65b9\u6cd5\u4e0d\u65b9\u4fbf\u7528\u4e8e\u9ad8\u6e29\u6d4b\u8bd5\u3002
\u9759\u6001\u6cd5
\u9759\u6001\u6cd5\u662f\u6307\u5728\u8bd5\u6837\u4e0a\u65bd\u52a0\u4e00\u6052\u5b9a\u7684\u5f2f\u66f2\u5e94\u529b\uff0c\u6d4b\u5b9a\u5176\u5f39\u6027\u5f2f\u66f2\u6320\u5ea6\uff0c\u6216\u662f\u5728\u8bd5\u6837\u4e0a\u65bd\u52a0\u4e00\u6052\u5b9a\u7684\u62c9\u4f38\uff08\u6216\u538b\u7f29\uff09\u5e94\u529b\uff0c\u6d4b\u5b9a\u5176\u5f39\u6027\u53d8\u5f62\u91cf\uff1b\u6216\u6839\u636e\u5e94\u529b\u548c\u5e94\u53d8\u8ba1\u7b97\u5f39\u6027\u6a21\u91cf\u3002
\u7279\u70b9\uff1a
--- \u56fd\u5185\u91c7\u7528\u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u56fd\u5185\u5916\u8010\u706b\u884c\u4e1a\u8fd8\u6ca1\u5236\u5b9a\u76f8\u5e94\u7684\u6807\u51c6\uff1b
--- \u83b7\u5f97\u6750\u6599\u7684\u771f\u5b9e\u53d8\u5f62\u91cf \u5e94\u529b---\u5e94\u53d8\u66f2\u7ebf\u3002
\u7f3a\u70b9\uff1a\u8bd5\u6837\u7528\u91cf\u5927\uff1b\u51c6\u786e\u5ea6\u4f4e\uff1b\u4e0d\u80fd\u91cd\u590d\u6d4b\u5b9a\u3002
4.1.1 杨氏模量的定义
岩石是非均质性材料，岩样单轴压缩的应力-应变关系并非直线，有切线模量、割线模量和平均模量等选取方法［11，12］，如图4-1所示。
切线模量一般选取应力-应变曲线在原点或应力为岩样强度一半处的切线斜率。所谓切线斜率多是微小割线的斜率，由于计算时牵涉两个小量的比值，其精度必须仔细判断，不过该值目前应用较少。另外，规程所定义的实际上就是两点的割线模量［13］，但具体位置并未给定。割线模量ES多采用应力为岩样强度一半时应力与应变的比值，即E50。许多试验规程推荐使用该值来表示岩样的变形特性［13，14］，通常称为变形模量。平均模量Eav是指应力-应变曲线上近似直线部分的斜率，也有称之为弹性模量［15］。不过必须认识到对岩石材料而言，卸载过程与加载过程通常不能重复，岩样的线性变形并非可恢复的弹性变形［16］。尽管围压对部分岩石的杨氏模量具有明显影响［17］，但工程上还多用单轴压缩试验来评价材料的变形特性。
岩样单轴压缩的加载初期，应力-应变曲线大多存在一个明显的下凹，图4-2中A点附近。一般认为这体现了岩样内部裂隙的闭合过程。当然在正应力较低时裂隙之间摩擦力较小，也可能发生滑移，使岩样产生较大的轴向变形。此外岩样端部的不平整以及压头球座的调整也是产生加载初期非线性变形的原因。对图4-2中4个中砂岩试样而言，割线模量E50差别显著，而平均模量Eav大致相同。
图4-1 单轴压缩的应力-应变全程曲线
图4-2 岩样单轴压缩全程曲线和杨氏模量
E50的大小取决于应力在50%强度处的应变，该值受到加载初期OA段变形的显著影响，离散性都很大。而平均模量是应力-应变曲线中近似直线部分的斜率，表示了应力与应变的变化量之间的比例关系，受试验条件的影响较小，具有明确的力学含义。硬脆性岩石接近破坏时仍具有很好的线性变形特征，采用平均模量Eav比割线模量E50也更为充分。另一方面，实际岩体的初始变形并不能确定，需要研究的是载荷或变形发生变化时材料的响应。因此在研究岩石力学性质时多采用平均模量表示岩石的变形特征［18，19］。以下所说的杨氏模量也都是指平均模量。
4.1.2 计算机数值采样时平均模量的确定方法
图4-3是煤系岩层粉砂岩和中砂岩部分试样的单轴压缩全程曲线。岩样的E50和强度σ0以及对应的应变ε0在表4-1给出，离散性都很大。
即使岩体内确实存在原始裂隙，实际岩体通常都处于三向应力状态，内部裂隙也会闭合，并存在较大的摩擦力阻止滑移的发生。例如岩样在围压作用下轴向压缩时，加载初期的非线性变形随着围压的增大而逐步消失。图4-4中试样8在围压6MPa下的强度低于试样6在围压2MPa的强度，表明其内部具有较多缺陷，但由于较高围压的作用，试样8仍具有较好的线性变形特征。
但是试验规程并未明确给出平均模量的计算方法。如果只具有X-Y记录仪得到的应力-应变曲线，那么直接作图确定Eav，误差大约会达到3%或更大。不过现在测试技术得到极大的发展，多利用计算机连续采样、记录试验数据。在此基础上定义一种最大割线模量EM来表征岩石的平均模量：
岩石的力学性质
图4-3 单轴压缩的应力-应变全程曲线
表4-1 粉砂岩（S）和中砂岩（M）单轴压缩的试验结果
式中：A、B是应力-应变曲线上两点，纵向距离为岩样单轴压缩强度σ0的一半，即满足σA-σB=0.5σ0。减小A、B两点的应力差距，得到的EM会增大，但可能减小杨氏模量的适用范围。图4-2中两种岩石的EM已在表4-1 给出。特别要说明的是，达到最大割线模量的应力σB是不同的。因此不能用给定两点的割线模量来代替式（4.1）定义的最大割线模量EM。
图4-4 不同围压下泥岩的全程曲线
从表4-1可以看出，同组岩样最大割线模量EM的离散性明显小于E50的离散性。这也说明了EM可以作为岩体的一个性能参数。从图4-3b可以看到，中砂岩试样M2、M3的变形特征大致相同，EM相近，而两者的E50相距甚远。至于岩样M4的EM明显偏低，表明其力学性质确实与其他几个岩样存在差异。
对一般的岩样而言，应力较低时其切线模量小于EM，与岩样内裂隙的闭合、滑移以建立摩擦力的过程相对应。如前所述，这一过程与实际岩体的变形并相同。而应力较高时其切线模量同样小于EM，表明岩样内材料进入屈服阶段，裂隙开始扩展或产生新的裂隙，变形也就不能再用虎克定律来描述。
4.1.3 多个杨氏模量数据的平均方法
岩样之间的杨氏模量并不相同。对沉积岩石而言，不同深度处成岩时间不同，矿物颗粒及内部结构也有所不同，因而直接从岩体钻孔取心得到的岩样，差异更为显著。通常利用多个岩样试验结果的平均值来表示岩石的综合性质。不过，杨氏模量的算术平均值EA与岩体的实际变形特征并不符合。如果考虑到从岩层钻孔得到的岩样具有串联的特征，那么利用n个岩样杨氏模量的调和平均值EH更能反映载荷σ变化时岩层总的变形ε。即
岩石的力学性质
式中：ui为岩样的压缩变形量；L为岩样的长度。
文献［19］为研究煤矿突水问题，对煤层底板深达150m的岩体取样，进行了大量试验。表4-2是8组岩样单轴压缩得到的平均模量，即应力-应变曲线中近似直线部分的斜率。各组岩样的算术平均值EA和调和平均值EH已在表4-2中给出。从数学上可以证明一组正数的算术平均值总是大于调和平均值［20］。
表4-2 八组煤层底板岩石的杨氏模量［19］ 单位：GPa
从表4-2中给出的具体数值可以看出，算术平均值与调和平均值之间的偏差明显存在，从3.3%～98.3%不等，随数据的离散程度而增大。8 组数据的平均偏差为20.0%。显然在地层岩性特征变化较大时，利用杨氏模量的算术平均值表示其变形特性可能会偏高。如组号7的中粗砂岩和组号8的细砂岩。
值得一提的是，调和平均值更能反映较小数值的作用。若n-1个数值Ei的算术平均值为EA，调和平均值为EH，增加第n个数据En时，算术平均值的变化是
ΔEA=（En-EA）/n （4.3）
影响程度是1/n，与En的大小无关。而调和平均值的变化是
岩石的力学性质
式中：m=1+（n-1）En/EH，在En＞EH时，有m＞n，调和平均值增加较小；在En＜EH时，有m＜n，调和平均值减小较多。如果n个数据的最小值为Emin，则由式（4.2）可以知道，调和平均值EH一定小于nEmin，具有一个明确的上限。这就是说，只要有一个数值极小，那么其他数据的影响就不会显著，如表4-2第8组岩样。调和平均确定的杨氏模量，可以反映岩层局部的软弱结构对整体变形的控制作用，而算术平均所得到的结果则可能引起相当的误差。
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