y=arcsinx的直接函数是x=siny是怎么求的？ 为什么y=arcsinx的反函数是x=siny求详解
y=arcsinx\u7684\u76f4\u63a5\u51fd\u6570\u662fx=siny\u662f\u600e\u4e48\u6c42\u7684\uff1fy=arcsinx\u7684\u76f4\u63a5\u51fd\u6570\u662f: x=siny
\u8fd9\u91cc\u51fd\u6570\u503c\u548c\u81ea\u53d8\u91cf\u662f\u53cd\u8fc7\u6765\u4e86\uff0c\u4e0d\u662f:y=sinx
y=arcsinx\u7684\u5bfc\u6570\uff1a
=1/(siny)'
=1/cosy
=1/\u221a(1-sin²y)
=1/\u221a(1-x²)
\u53cd\u6b63\u5f26\u51fd\u6570\uff08\u53cd\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u4e4b\u4e00\uff09\u4e3a\u6b63\u5f26\u51fd\u6570y=sinx\uff08x\u2208[-½\u03c0,½\u03c0]\uff09\u7684\u53cd\u51fd\u6570\uff0c\u8bb0\u4f5cy=arcsinx\u6216siny=x\uff08x\u2208[-1,1]\uff09\u3002\u3010\u6458\u8981\u3011
y=arcsinx\u7684\u76f4\u63a5\u51fd\u6570\u662fx=siny\u662f\u600e\u4e48\u6c42\u7684\uff1f\u3010\u63d0\u95ee\u3011
y=arcsinx\u7684\u76f4\u63a5\u51fd\u6570\u662f: x=siny
\u8fd9\u91cc\u51fd\u6570\u503c\u548c\u81ea\u53d8\u91cf\u662f\u53cd\u8fc7\u6765\u4e86\uff0c\u4e0d\u662f:y=sinx
y=arcsinx\u7684\u5bfc\u6570\uff1a
=1/(siny)'
=1/cosy
=1/\u221a(1-sin²y)
=1/\u221a(1-x²)
\u53cd\u6b63\u5f26\u51fd\u6570\uff08\u53cd\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u4e4b\u4e00\uff09\u4e3a\u6b63\u5f26\u51fd\u6570y=sinx\uff08x\u2208[-½\u03c0,½\u03c0]\uff09\u7684\u53cd\u51fd\u6570\uff0c\u8bb0\u4f5cy=arcsinx\u6216siny=x\uff08x\u2208[-1,1]\uff09\u3002\u3010\u56de\u7b54\u3011
\u7531\u539f\u51fd\u6570\u7684\u56fe\u50cf\u548c\u5b83\u7684\u53cd\u51fd\u6570\u7684\u56fe\u50cf\u5173\u4e8e\u4e00\u4e09\u8c61\u9650\u89d2\u5e73\u5206\u7ebf\u5bf9\u79f0\u53ef\u77e5\u6b63\u5f26\u51fd\u6570\u7684\u56fe\u50cf\u548c\u53cd\u6b63\u5f26\u51fd\u6570\u7684\u56fe\u50cf\u4e5f\u5173\u4e8e\u4e00\u4e09\u8c61\u9650\u89d2\u5e73\u5206\u7ebf\u5bf9\u79f0\u3002\u3010\u56de\u7b54\u3011
y=arcsinx的直接函数是: x=siny
这里函数值和自变量是反过来了，不是:y=sinx
y=arcsinx的导数：
=1/(siny)'
=1/cosy
=1/√(1-sin²y)
=1/√(1-x²)
反正弦函数（反三角函数之一）为正弦函数y=sinx（x∈[-½π,½π]）的反函数，记作y=arcsinx或siny=x（x∈[-1,1]）。
由原函数的图像和它的反函数的图像关于一三象限角平分线对称可知正弦函数的图像和反正弦函数的图像也关于一三象限角平分线对称。
扩展资料：
由原函数的图像和它的反函数的图像关于一三象限角平分线对称，知正弦函数的图像和反正弦函数的图像也关于一三象限角平分线对称。
当三角形边的长度已知时，当尝试确定直角三角形的剩余两个角度时，反三角函数是有用的。
对于0和π附近的角度，从而计算出计算机实现中精度降低的角度（由于位数有限）. 类似地，对于π/ 2和π/ 2附近的角度，反正弦不准确。
参考资料来源：百度百科--反正弦函数
其实直接函数就是原函数，为什么同济版高等数学88页例6写y＝arcsinx 的直接函数是x＝siny，那是因为y＝arcsinx 进行等式关系逆转化后变成x＝siny，就没有再进一步修改符号名称改为y＝sinx，因为就算不进一步修改，也不影响反函数求导逻辑。x＝siny其实只是符号没有进一步修改成 y＝sinx而已。要知道，单纯的符号改变表达的还是同一个函数，只要转成反函数关系，但不进一步修改符号名称，在反函数求导那例题里，目的也算达成了。
1、由 y＝sinx先经过等式关系逆转化成 x＝arcsiny，再经过修改符号名称成y＝arcsinx
但是注意！！！，我也可以这样调转顺序
2、由 y＝sinx先经过修改符号名称成x＝siny，再经过等式关系逆转化成y＝arcsinx
那么采用第二种方式逆推回
y＝arcsinx先经过等式关系逆转化成x＝siny，但不再修改符号名称成y＝sinx，因为后面那一步我就算不改也不影响88页的求导过程。
到这里，你是不是明白了呢。所谓的原函数和直接函数的关系，就是就是同一个东西，只是单纯的符号改变了也还是直接函数，也还是原函数。
这是定义
siny=sin(arcsinx)
=x
绛旓細y=arcsinx鐨勭洿鎺ュ嚱鏁版槸: x=siny 杩欓噷鍑芥暟鍊煎拰鑷彉閲忔槸鍙嶈繃鏉ヤ簡锛屼笉鏄:y=sinx y=arcsinx鐨勫鏁帮細=1/(siny)'=1/cosy =1/鈭(1-sin²y)=1/鈭(1-x²)鍙嶆寮﹀嚱鏁帮紙鍙嶄笁瑙掑嚱鏁颁箣涓锛変负姝ｅ鸡鍑芥暟y=sinx锛坸鈭圼-½蟺,½蟺]锛夌殑鍙嶅嚱鏁帮紝璁颁綔y=arcsinx鎴杝iny=x锛坸鈭圼-1...
绛旓細y=arcsinx 鏄 x=siny 鐨勫弽鍑芥暟锛岄偅涔 x=siny 灏辨槸y=arcsinx 鐨勭洿鎺ュ嚱鏁銆倄=siny 涔熸槸 y=arcsinx 鐨勫弽鍑芥暟锛岄偅涔坹=arcsinx 灏辨槸 x=siny 鐨勭洿鎺ュ嚱鏁般備紶缁熷畾涔夛細涓鑸殑锛屽湪涓涓彉鍖栬繃绋嬩腑锛屽亣璁炬湁涓や釜鍙橀噺x銆亂锛屽鏋滃浜庝换鎰忎竴涓獂閮芥湁鍞竴纭畾鐨勪竴涓獃鍜屽畠瀵瑰簲锛岄偅涔堝氨绉皒鏄嚜鍙橀噺锛寉鏄痻鐨...
绛旓細渚嬪锛歽=arcsinx 鏄 x=siny 鐨勫弽鍑芥暟锛岄偅涔 x=siny 灏辨槸y=arcsinx 鐨勭洿鎺ュ嚱鏁锛涘悓鏃讹紝x=siny 涔熸槸 y=arcsinx 鐨勫弽鍑芥暟锛岄偅涔坹=arcsinx 灏辨槸 x=siny 鐨勭洿鎺ュ嚱鏁般傚嚱鏁扮殑杩戜唬瀹氫箟 鏄粰瀹氫竴涓暟闆咥锛屽亣璁惧叾涓殑鍏冪礌涓簒锛屽A涓殑鍏冪礌x鏂藉姞瀵瑰簲娉曞垯f锛岃浣渇锛坸锛夛紝寰楀埌鍙︿竴鏁伴泦B锛屽亣璁綛涓殑...
绛旓細y=arcsinx锛 x琛ㄧず瀹炴暟锛寉琛ㄧず瑙掑害锛堜篃鍙互鏄疄鏁帮級鍙樺舰锛x=siny 锛堝畠浠槸鍚屼竴鍑芥暟锛夊弽鍑芥暟锛歽=sinx銆倄=siny鍙槸y=arcsinx鐨勬亽绛夊彉褰紝涓嶆槸鍙嶅嚱鏁般
绛旓細d(xlnsinx)/dx = dx/dx lnsinx + xdlnsinx/dx =lnsinx + x * 1/sinx * dsinx/dx =lnsinx +x/sinx *cosx
绛旓細鑰冭檻闇瑕佹眰瀵肩殑鍑芥暟y=x^锛1/2锛夛紝瀹冨瓨鍦ㄥ弽鍑芥暟x=y^2銆傦蓟x^锛1/2锛夛冀'=1/锛坹^2锛'=1/锛2y锛=1/锛2x^锛1/2锛夛冀=锛1/2锛墄^锛-1/2锛夈傜敤鍙嶅嚱鏁版眰瀵兼椂锛屾敞鎰忎笉鑳芥寜涔犳儻鎶婅鐢ㄧ殑鍙嶅嚱鏁皒=y^2鍐欐垚y=x^2 鍙嶅嚱鏁扮殑瀵兼暟鏄師鍑芥暟瀵兼暟鐨勫掓暟銆備緥棰橈細姹倅=arcsinx鐨瀵煎嚱鏁帮紝鍙嶅嚱鏁扮殑...
绛旓細arcsinx鐨鍘鍑芥暟涓簊inx鍑芥暟銆傚師鍑芥暟鏄鎸囧浜庝竴涓畾涔夊湪鏌愬尯闂寸殑宸茬煡鍑芥暟f(x)锛屽鏋滃瓨鍦ㄥ彲瀵煎嚱鏁癋(x)锛屼娇寰楀湪璇ュ尯闂村唴鐨勪换涓鐐归兘瀛樺湪dF(x)=f(x)dx锛屽垯鍦ㄨ鍖洪棿鍐呭氨绉板嚱鏁癋(x)涓哄嚱鏁癴(x)鐨勫師鍑芥暟銆傚凡鐭ュ嚱鏁癴(x)鏄竴涓畾涔夊湪鏌愬尯闂寸殑鍑芥暟锛屽鏋滃瓨鍦ㄥ彲瀵煎嚱鏁癋(x)锛屼娇寰楀湪璇ュ尯闂村唴鐨勪换涓鐐归兘...
绛旓細y=arcsinx鍙嶆寮﹀嚱鏁帮紝鍥惧儚璇︾粏瑙佷笅鍥撅細鍙嶆寮﹀嚱鏁帮紙鍙嶄笁瑙掑嚱鏁颁箣涓锛変负姝ｅ鸡鍑芥暟y=sinx锛坸鈭圼-½蟺,½蟺]锛夌殑鍙嶅嚱鏁帮紝璁颁綔y=arcsinx鎴杝iny=x锛坸鈭圼-1,1]锛夈傜敱鍘熷嚱鏁扮殑鍥惧儚鍜屽畠鐨勫弽鍑芥暟鐨勫浘鍍忓叧浜庝竴涓夎薄闄愯骞冲垎绾垮绉板彲鐭ユ寮﹀嚱鏁扮殑鍥惧儚鍜屽弽姝ｅ鸡鍑芥暟鐨勫浘鍍忎篃鍏充簬涓涓夎薄闄愯骞冲垎绾...
绛旓細y=arcsinx鍙嶆寮﹀嚱鏁帮紝鍥惧儚璇︾粏瑙佷笅鍥撅細姝ｅ鸡鍑芥暟y=sin x鍦╗-蟺/2锛屜/2]涓婄殑鍙嶅嚱鏁帮紝鍙仛鍙嶆寮﹀嚱鏁般傝浣渁rcsinx锛岃〃绀轰竴涓寮﹀间负x鐨勮锛岃瑙掔殑鑼冨洿鍦╗-蟺/2锛屜/2]鍖洪棿鍐呫傚畾涔夊煙[-1锛1] 锛屽煎煙[-蟺/2锛屜/2]銆傦紙1锛 arcsinx鏄 锛堜富鍊煎尯锛変笂鐨勪竴涓锛堝姬搴︽暟锛 銆傦紙2锛 ...
绛旓細arcsinx绛変簬y锛泂inx姝ｅ鸡鍑芥暟锛岃宎rcsinx琛ㄧず鍙嶆寮﹀嚱鏁帮紝鏄sinx鐨鍙嶅嚱鏁般傚弽姝ｅ鸡鍑芥暟锛氭寮鍑芥暟y=sin x鍦╗-蟺/2锛屜/2]涓婄殑鍙嶅嚱鏁帮紝鍙仛鍙嶆寮﹀嚱鏁般傝浣渁rcsinx锛岃〃绀轰竴涓寮﹀间负x鐨勮锛岃瑙掔殑鑼冨洿鍦╗-蟺/2锛屜/2]鍖洪棿鍐呫傚畾涔夊煙[-1锛1] 锛屽煎煙[-蟺/2锛屜/2]銆
